Дан вектор
![$a\begin{pmatrix}\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $a\begin{pmatrix}\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/6/38691b572e4bc616fc8d6e3886d899e582.png)
и какой-то тензор, представленный матрицей
![$A=\begin{pmatrix}1 &2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$ $A=\begin{pmatrix}1 &2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/1/60113fe5d76bca42dce721052981fdcd82.png)
. Насколько я понимаю, за таким представлением скрываться может какой угодно ранг тензора валентности 2, т.е. любой из
![$(1,1), (2,0), (0,2)$ $(1,1), (2,0), (0,2)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/4/d24582bac3d99fe76788f7b4aecc7fde82.png)
. Требуется найти произведение
![$aA$ $aA$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/2/142550b0337febf87a7c7c2df42c574182.png)
.
Не могу разрешить для себя несколько вопросов.
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
— вектор, т.е. контрвариантый тензор ранга (0,1), и тут всё однозначно. Зависит ли результат
![$aA$ $aA$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/2/142550b0337febf87a7c7c2df42c574182.png)
от значения ранга
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
?
Пусть для простоты
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
— тензор ранга
![$(1,1)$ $(1,1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/8/6a8b4ac498753592cf18e12e85ace49182.png)
, записывающийся как
![$A^i{}_j$ $A^i{}_j$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/2/0d2a6b53a2ca118a9d941615ec9c0a8a82.png)
. (Причем тут я опять выбираю частность, поскольку его можно записать также как
![$A^j{}_i$ $A^j{}_i$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/1/b01bff9f828ce1eddc477e341429d8b682.png)
, и это будут разные тензоры, так?)
Теперь собственно умножение. Тензор ранга
![$B^{ki}_j=a^k{}A^i{}_j$ $B^{ki}_j=a^k{}A^i{}_j$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/4/7b46172c8862509e1e8412b3ffe554e782.png)
есть результат этого умножения, и представляется он чем-то вроде кубика, и таблицей его уже не изобразить, и поэтому непонятно, что писать в ответе. Но ведь есть еще операция свертки, которую можно проводить по двум индексам, верхнему и нижнему, и тогда, по-хорошему, должен получиться тензор с рангом
![$(0,1)$ $(0,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/5/1e5ba49ae6981862f61b4d510dcf29af82.png)
, легко представимый на бумаге.
Всегда ли её, операцию свертки, можно использовать? Всегда ли нужно? Можно ли её использовать сейчас? Можно ли её использовать для тензора ранга
![$(1,1)$ $(1,1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/8/6a8b4ac498753592cf18e12e85ace49182.png)
, чтобы сперва превратить его в скаляр, а потом уже на этот скаляр просто умножить вектор
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
?
Если я собираюсь проводить свертку, я ведь должен соответствующие индексы обозначить одним символом. Можно ли это делать для любых двух индексов (одного верхнего и одного нижнего) на свой выбор?
Еще вот что неочевидно: свертка всегда "убивает" часть информации, содержащейся в тензоре, поскольку убирает некоторое количество компонент тензора. Значит ли это, что свертку к тензору надо использовать не всегда? Насколько вообще правомерно использование свертки при умножении?
(Оффтоп)
Можно ли, исходя из того, что задание по гидродинамике, определить ранг тензора
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
из задания?