Тензоры, свертка и произведение тензоров

[Underwood_]

Дан вектор $a\begin{pmatrix}\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ и какой-то тензор, представленный матрицей $A=\begin{pmatrix}1 &2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$. Насколько я понимаю, за таким представлением скрываться может какой угодно ранг тензора валентности 2, т.е. любой из $(1,1), (2,0), (0,2)$. Требуется найти произведение $aA$.

Не могу разрешить для себя несколько вопросов. $a$ — вектор, т.е. контрвариантый тензор ранга (0,1), и тут всё однозначно. Зависит ли результат $aA$ от значения ранга $A$?

Пусть для простоты $A$ — тензор ранга $(1,1)$, записывающийся как $A^i{}_j$. (Причем тут я опять выбираю частность, поскольку его можно записать также как $A^j{}_i$, и это будут разные тензоры, так?)

Теперь собственно умножение. Тензор ранга $(1,2)$ $B^{ki}_j=a^k{}A^i{}_j$ есть результат этого умножения, и представляется он чем-то вроде кубика, и таблицей его уже не изобразить, и поэтому непонятно, что писать в ответе. Но ведь есть еще операция свертки, которую можно проводить по двум индексам, верхнему и нижнему, и тогда, по-хорошему, должен получиться тензор с рангом $(0,1)$, легко представимый на бумаге.

Всегда ли её, операцию свертки, можно использовать? Всегда ли нужно? Можно ли её использовать сейчас? Можно ли её использовать для тензора ранга $(1,1)$, чтобы сперва превратить его в скаляр, а потом уже на этот скаляр просто умножить вектор $a$?

Если я собираюсь проводить свертку, я ведь должен соответствующие индексы обозначить одним символом. Можно ли это делать для любых двух индексов (одного верхнего и одного нижнего) на свой выбор?

Еще вот что неочевидно: свертка всегда "убивает" часть информации, содержащейся в тензоре, поскольку убирает некоторое количество компонент тензора. Значит ли это, что свертку к тензору надо использовать не всегда? Насколько вообще правомерно использование свертки при умножении?

(Оффтоп)

Можно ли, исходя из того, что задание по гидродинамике, определить ранг тензора $A$ из задания?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Уберите картинку.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

В результате вывода тензорного выражения получается некоторое определенное произведение тензорных сомножителей, в каждом случае своё. Если в данном выражении свёртка не получилась, Вы не можете её ввести искусственно — это не вопрос выбора. Если Вы получили, что третий индекс $a^{i}{}_{j}{}^{k}$ сворачивается с первым индексом $b_{k\ell}{}^{mn}$, это нельзя изменить, кроме случая каких-то известных симметрий.

Запись $aA$ мне непонятна без дополнительных пояснений ни в матричной интерпретации, ни в безиндексной тензорной. (В матричной, если $a$ — вектор-столбец, «прокатило бы» $a^T A$ или $Aa$.) Потом, разные авторы используют различные системы обозначений. Это может означать, например, $\mathbf a\cdot\textsf A$ или $\mathbf a\otimes\textsf A$. В свою очередь, в зависимости от ранга $\textsf A$, в индексной записи первое может означать $a^i A_i^k$ или $a^i A_{ik\ell}$, второе, например, $a^i A_{k}{}^{\ell m}$.

Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):

Можно ли, исходя из того, что задание по гидродинамике, определить ранг тензора $A$ из задания?

Да, пожалуйста, покажите задание. Возможно, отпадут какие-то вопросы. Если задание из учебника, скажите, как называется. Если из методички, и её можно скачать, дайте ссылку.

[Munin]

Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):

Можно ли, исходя из того, что задание по гидродинамике, определить ранг тензора $A$ из задания?

Поскольку речь о гидродинамике, то скорей всего, используется ортогональная система координат, так что все ранги валентности 2 между собой совпадают (и говорят просто "ранг 2"). Соответственно, индексы можно поднимать и опускать, вообще ничего не делая с компонентами. Но разумеется, переставлять индексы "по горизонтали" нельзя, $A_{ij}\ne A_{ji}.$

Кроме того, может подразумеваться некоторая "безындексная" запись, в которой векторы и тензоры умножаются друг на друга "внутренне" (dot product, со свёрткой) по принципу "правый индекс левого тензора на левый индекс правого тензора". То есть, $aA$ надо читать как $a_i A_{ij}.$ А "внешне" (tensor product, $\otimes,$ без свёртки) - до тех пор, пока не получится ранг 2. Например, $a\otimes b$ надо читать как $a_i b_j.$

-- 07.05.2015 16:00:27 --

Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):

Всегда ли её, операцию свертки, можно использовать? Всегда ли нужно?

Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):

Значит ли это, что свертку к тензору надо использовать не всегда?

Ответ на эти вопросы простой: надо использовать такие операции, которые нужны по смыслу. Например, когда вы работаете с векторами, вы иногда используете скалярное произведение, а иногда - векторное произведение. И вы не путаетесь, когда нужно одно, а когда нужно другое. Точно так же и здесь: разные произведения и свёртки - это разные операции. Смысл у них разный. И поэтому используются они тогда, когда нужны по смыслу именно они, а не что-то другое.

-- 07.05.2015 16:05:50 --

svv в сообщении #1012047 писал(а):

Если задание из учебника, скажите, как называется.

В учебниках (хороших), кстати, обычно где-то в начале объясняются обозначения. В методичках (плохих) этого не делается. Кроме того, обозначения обязательно рассказывает лектор. Если его не слушать, то они становятся непонятны.

[Underwood_]

Вот само задание. К сожалению, тут тоже из контекста неясно, что именно имеется в виду под $aA$. Могу лишь добавить, что это самые-самые основы гидродинамики, а потому ув. Munin скорее всего прав, и

Цитата:

используется ортогональная система координат, так что все ранги валентности 2 между собой совпадают (и говорят просто "ранг 2"). Соответственно, индексы можно поднимать и опускать, вообще ничего не делая с компонентами.

Поэтому предлагаю взять это как данность, тем более что в тему тензоров мы пока на парах вообще не углублялись. (И, видимо, углубляться не будем.)
Тогда если $aA$ -- это внутреннее произведение (которое со сверткой) $\mathbf a\cdot\textsf A$, то в случае $a\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$ и $A=\begin{pmatrix}1 &2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$ оно есть

$$ \mathbf a\cdot\textsf A = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 &2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix} = \sum_i a^iA^j_i = a^1 A^j_1 + a^{2} A^j_2 + a^3 A^j_3= 1 \cdot (1 \; 2 \; 3) + 2 \cdot (4 \;5\; 6) + 3 \cdot (7 \;8\; 9) = (30\; 36\; 42) $$

Только вот когда тензор ранга $(0,1)$ "свертывается" с тензором ранга $(1,1)$, выходит тензор ранга $(0,1)$. А у меня получился $(1,0)$ Правда, поскольку тут ковекторы и векторы друг в друга переходят безболезненно для компонент, это вроде бы нестрашно. Но всё равно есть ощущение, что я чего-то недопонял.

Если же предполагать, что за обозначением $aA$ скрывается тензорное произведение $\mathbf a\otimes\textsf A$, то выписать его здесь будет затруднительно, поскольку это будет тензор ранга 3. Верно?

Я не вижу границ использования внутреннего произведения и внешнего (тензорного). Правильно я понимаю, что над двумя тензорами в общем случае можно применить и то, и другое, но какое именно применять нужно - это уже определяется условиями задачи?

-- 07.05.2015, 21:13 --

Цитата:

Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):

Всегда ли её, операцию свертки, можно использовать? Всегда ли нужно?

Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):

Значит ли это, что свертку к тензору надо использовать не всегда?

Ответ на эти вопросы простой: надо использовать такие операции, которые нужны по смыслу. Например, когда вы работаете с векторами, вы иногда используете скалярное произведение, а иногда - векторное произведение. И вы не путаетесь, когда нужно одно, а когда нужно другое. Точно так же и здесь: разные произведения и свёртки - это разные операции. Смысл у них разный. И поэтому используются они тогда, когда нужны по смыслу именно они, а не что-то другое.

Прошу прощения, оказывается, вы уже ответили на мой последний вопрос. Проглядел почему-то.

[Munin]

Тут вот такая штука. Есть общепринятые индексные обозначения. И безындексные - увы, необщепринятые. В разных местах они излагаются по-разному, с разными нюансами.

Боюсь, спросить, что такое эти ваши произведения, остаётся только у преподавателя.

-- 07.05.2015 21:21:42 --

Underwood_ в сообщении #1012199 писал(а):

Я не вижу границ использования внутреннего произведения и внешнего (тензорного). Правильно я понимаю, что над двумя тензорами в общем случае можно применить и то, и другое, но какое именно применять нужно - это уже определяется условиями задачи?

Над двумя тензорами можно в общем случае применить гораздо больше операций.

Сначала можно взять внешнее (тензорное) произведение. Получится тензор очень большой валентности.

А потом его можно сворачивать. По-разному. Сколько у него есть вариантов выбора пары из верхнего и нижнего индексов - столько и будет свёрток. "Внутреннее произведение" - по сути, комбинация внешнего произведения и свёртки, но как видите, им одним такие комбинации не ограничиваются.

А потом ещё можно совершить вторую свёртку, если индексы остались. А потом третью, и так далее.

Кроме того, можно индексы поднимать и опускать. Можно по индексам симметризовать и антисимметризовать. То есть, произведения и свёртки - это ещё не все операции, которые доступны. А ещё есть дифференциальные и интегральные операции...

[Underwood_]

Да, спасибо, я так и поступлю. Но хочется всё-таки разобраться хоть немного в аппарате тензоров. Если по существу, то написанное мной выше верно?
Или это бессмысленное стремление и бессмысленный вопрос до тех пор, пока я основательно не изучу теории?

А если верно, то мне всё-таки кажется, что в задании нужно найти внутреннее произведение, поскольку результат тензорного сложно представить на бумаге.

-- 07.05.2015, 21:29 --

Munin в сообщении #1012209 писал(а):

А потом его можно сворачивать. По-разному. Сколько у него есть вариантов выбора пары из верхнего и нижнего индексов - столько и будет свёрток. "Внутреннее произведение" - по сути, комбинация внешнего произведения и свёртки, но как видите, им одним такие комбинации не ограничиваются.

А потом ещё можно совершить вторую свёртку, если индексы остались. А потом третью, и так далее.

А закончится всё это тогда, когда тензор станет валентности 1 или 0?

[Munin]

Underwood_ в сообщении #1012214 писал(а):

Но хочется всё-таки разобраться хоть немного в аппарате тензоров.

Тензоры - это обобщение векторов. Тоже такие геометрические объекты, но содержат более сложную информацию. А операции над тензорами - обобщение операций над векторами. Часто в физике нужны тензоры 2 ранга, иногда 3, 4, 6 - хотя реже. Есть довольно наглядные геометрические интерпретации у двух-трёх разновидностей тензоров, а в остальном это довольно абстрактные объекты.

Underwood_ в сообщении #1012214 писал(а):

Если по существу, то написанное мной выше верно?
Или это бессмысленное стремление и бессмысленный вопрос до тех пор, пока я основательно не изучу теории?

Я не понял, о чём вы конкретно? От и до.

Underwood_ в сообщении #1012214 писал(а):

А если верно, то мне всё-таки кажется, что в задании нужно найти внутреннее произведение, поскольку результат тензорного сложно представить на бумаге.

Да, мне тоже так кажется. А получится ли у вас при этом строчка или столбец - не важно. Для матриц это важно, а для тензоров нет.

Underwood_ в сообщении #1012214 писал(а):

А закончится всё это тогда, когда тензор станет валентности 1 или 0?

Если можно поднимать и опускать индексы по ходу дела - то да. А если нельзя - то закончится при ранге $(k,0)$ или $(0,k).$

[svv]

Underwood_
Мне, как и Muninу, не очень верится, что в Вашем курсе различаются верхние и нижние индексы (и это подтверждается кое-какими нюансами формулировки задания на листочке). Но Вы о таком различении знаете — это немного настораживает. Если Вы знаете о контра- и ковариантных индексах из других источников (Википедии, например), то почти наверняка их различие можно игнорировать при выполнении задания.
И тогда Вам даны $a_i, b_i, A_{ik}, B_{ik}$.
А найти надо $a_i A_{ik}, A_{ik}a_k, A_{ik}B_{k\ell}, B_{ik}A_{k\ell}, A_{ik}B_{ik}, \delta_{ik}A_{ik}$
По соглашению, когда тензор $A_{ik}$ представляется матрицей, первый индекс становится номером строки, второй — столбца.

Вот текст, в котором, похоже, примерно такая же идеология, как в Вашем курсе:
http://fea.ru/spaw2/uploads/files/Palmov/p_109.pdf
Детали обозначений там, правда, чуть отличаются. Следы ведут в Санкт-Петербург.

[Underwood_]

svv, Munin огромное спасибо!

Цитата:

Следы ведут в Санкт-Петербург

Всё верно.