2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение07.05.2015, 06:23 


30/04/15
15
Дан вектор $a\begin{pmatrix}\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ и какой-то тензор, представленный матрицей $A=\begin{pmatrix}1 &2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$. Насколько я понимаю, за таким представлением скрываться может какой угодно ранг тензора валентности 2, т.е. любой из $(1,1), (2,0), (0,2)$. Требуется найти произведение $aA$.

Не могу разрешить для себя несколько вопросов. $a$ — вектор, т.е. контрвариантый тензор ранга (0,1), и тут всё однозначно. Зависит ли результат $aA$ от значения ранга $A$?

Пусть для простоты $A$ — тензор ранга $(1,1)$, записывающийся как $A^i{}_j$. (Причем тут я опять выбираю частность, поскольку его можно записать также как $A^j{}_i$, и это будут разные тензоры, так?)

Теперь собственно умножение. Тензор ранга $(1,2)$ $B^{ki}_j=a^k{}A^i{}_j$ есть результат этого умножения, и представляется он чем-то вроде кубика, и таблицей его уже не изобразить, и поэтому непонятно, что писать в ответе. Но ведь есть еще операция свертки, которую можно проводить по двум индексам, верхнему и нижнему, и тогда, по-хорошему, должен получиться тензор с рангом $(0,1)$, легко представимый на бумаге.

Всегда ли её, операцию свертки, можно использовать? Всегда ли нужно? Можно ли её использовать сейчас? Можно ли её использовать для тензора ранга $(1,1)$, чтобы сперва превратить его в скаляр, а потом уже на этот скаляр просто умножить вектор $a$?

Если я собираюсь проводить свертку, я ведь должен соответствующие индексы обозначить одним символом. Можно ли это делать для любых двух индексов (одного верхнего и одного нижнего) на свой выбор?

Еще вот что неочевидно: свертка всегда "убивает" часть информации, содержащейся в тензоре, поскольку убирает некоторое количество компонент тензора. Значит ли это, что свертку к тензору надо использовать не всегда? Насколько вообще правомерно использование свертки при умножении?

(Оффтоп)

Можно ли, исходя из того, что задание по гидродинамике, определить ранг тензора $A$ из задания?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.05.2015, 06:35 
Модератор


20/03/14
11522
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Уберите картинку.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение07.05.2015, 12:12 
Модератор


20/03/14
11522
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение07.05.2015, 14:11 
Заслуженный участник


23/07/08
9163
Харьков
В результате вывода тензорного выражения получается некоторое определенное произведение тензорных сомножителей, в каждом случае своё. Если в данном выражении свёртка не получилась, Вы не можете её ввести искусственно — это не вопрос выбора. Если Вы получили, что третий индекс $a^{i}{}_{j}{}^{k}$ сворачивается с первым индексом $b_{k\ell}{}^{mn}$, это нельзя изменить, кроме случая каких-то известных симметрий.

Запись $aA$ мне непонятна без дополнительных пояснений ни в матричной интерпретации, ни в безиндексной тензорной. (В матричной, если $a$ — вектор-столбец, «прокатило бы» $a^T A$ или $Aa$.) Потом, разные авторы используют различные системы обозначений. Это может означать, например, $\mathbf a\cdot\textsf A$ или $\mathbf a\otimes\textsf A$. В свою очередь, в зависимости от ранга $\textsf A$, в индексной записи первое может означать $a^i A_i^k$ или $a^i A_{ik\ell}$, второе, например, $a^i A_{k}{}^{\ell m}$.
Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):
Можно ли, исходя из того, что задание по гидродинамике, определить ранг тензора $A$ из задания?
Да, пожалуйста, покажите задание. Возможно, отпадут какие-то вопросы. Если задание из учебника, скажите, как называется. Если из методички, и её можно скачать, дайте ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение07.05.2015, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):
Можно ли, исходя из того, что задание по гидродинамике, определить ранг тензора $A$ из задания?

Поскольку речь о гидродинамике, то скорей всего, используется ортогональная система координат, так что все ранги валентности 2 между собой совпадают (и говорят просто "ранг 2"). Соответственно, индексы можно поднимать и опускать, вообще ничего не делая с компонентами. Но разумеется, переставлять индексы "по горизонтали" нельзя, $A_{ij}\ne A_{ji}.$

Кроме того, может подразумеваться некоторая "безындексная" запись, в которой векторы и тензоры умножаются друг на друга "внутренне" (dot product, со свёрткой) по принципу "правый индекс левого тензора на левый индекс правого тензора". То есть, $aA$ надо читать как $a_i A_{ij}.$ А "внешне" (tensor product, $\otimes,$ без свёртки) - до тех пор, пока не получится ранг 2. Например, $a\otimes b$ надо читать как $a_i b_j.$

-- 07.05.2015 16:00:27 --

Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):
Всегда ли её, операцию свертки, можно использовать? Всегда ли нужно?
Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):
Значит ли это, что свертку к тензору надо использовать не всегда?

Ответ на эти вопросы простой: надо использовать такие операции, которые нужны по смыслу. Например, когда вы работаете с векторами, вы иногда используете скалярное произведение, а иногда - векторное произведение. И вы не путаетесь, когда нужно одно, а когда нужно другое. Точно так же и здесь: разные произведения и свёртки - это разные операции. Смысл у них разный. И поэтому используются они тогда, когда нужны по смыслу именно они, а не что-то другое.

-- 07.05.2015 16:05:50 --

svv в сообщении #1012047 писал(а):
Если задание из учебника, скажите, как называется.

В учебниках (хороших), кстати, обычно где-то в начале объясняются обозначения. В методичках (плохих) этого не делается. Кроме того, обозначения обязательно рассказывает лектор. Если его не слушать, то они становятся непонятны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение07.05.2015, 21:06 


30/04/15
15
Изображение
Вот само задание. К сожалению, тут тоже из контекста неясно, что именно имеется в виду под $aA$. Могу лишь добавить, что это самые-самые основы гидродинамики, а потому ув. Munin скорее всего прав, и
Цитата:
используется ортогональная система координат, так что все ранги валентности 2 между собой совпадают (и говорят просто "ранг 2"). Соответственно, индексы можно поднимать и опускать, вообще ничего не делая с компонентами.


Поэтому предлагаю взять это как данность, тем более что в тему тензоров мы пока на парах вообще не углублялись. (И, видимо, углубляться не будем.)
Тогда если $aA$ -- это внутреннее произведение (которое со сверткой) $\mathbf a\cdot\textsf A$, то в случае $a\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$ и $A=\begin{pmatrix}1 &2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix}$ оно есть
$$
\mathbf a\cdot\textsf A = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 &2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix} = \sum_i a^iA^j_i =  
a^1 A^j_1 + a^{2} A^j_2 + a^3 A^j_3= 1 \cdot (1  \; 2 \; 3) + 2 \cdot (4 \;5\; 6) + 3 \cdot (7 \;8\; 9) = (30\; 36\; 42)
$$

Только вот когда тензор ранга $(0,1)$ "свертывается" с тензором ранга $(1,1)$, выходит тензор ранга $(0,1)$. А у меня получился $(1,0)$ :facepalm: Правда, поскольку тут ковекторы и векторы друг в друга переходят безболезненно для компонент, это вроде бы нестрашно. Но всё равно есть ощущение, что я чего-то недопонял.

Если же предполагать, что за обозначением $aA$ скрывается тензорное произведение $\mathbf a\otimes\textsf A$, то выписать его здесь будет затруднительно, поскольку это будет тензор ранга 3. Верно?

Я не вижу границ использования внутреннего произведения и внешнего (тензорного). Правильно я понимаю, что над двумя тензорами в общем случае можно применить и то, и другое, но какое именно применять нужно - это уже определяется условиями задачи?

-- 07.05.2015, 21:13 --

Цитата:
Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):
Всегда ли её, операцию свертки, можно использовать? Всегда ли нужно?
Underwood_ в сообщении #1011966 писал(а):
Значит ли это, что свертку к тензору надо использовать не всегда?

Ответ на эти вопросы простой: надо использовать такие операции, которые нужны по смыслу. Например, когда вы работаете с векторами, вы иногда используете скалярное произведение, а иногда - векторное произведение. И вы не путаетесь, когда нужно одно, а когда нужно другое. Точно так же и здесь: разные произведения и свёртки - это разные операции. Смысл у них разный. И поэтому используются они тогда, когда нужны по смыслу именно они, а не что-то другое.


Прошу прощения, оказывается, вы уже ответили на мой последний вопрос. Проглядел почему-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение07.05.2015, 21:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Тут вот такая штука. Есть общепринятые индексные обозначения. И безындексные - увы, необщепринятые. В разных местах они излагаются по-разному, с разными нюансами.

Боюсь, спросить, что такое эти ваши произведения, остаётся только у преподавателя.

-- 07.05.2015 21:21:42 --

Underwood_ в сообщении #1012199 писал(а):
Я не вижу границ использования внутреннего произведения и внешнего (тензорного). Правильно я понимаю, что над двумя тензорами в общем случае можно применить и то, и другое, но какое именно применять нужно - это уже определяется условиями задачи?

Над двумя тензорами можно в общем случае применить гораздо больше операций.

Сначала можно взять внешнее (тензорное) произведение. Получится тензор очень большой валентности.

А потом его можно сворачивать. По-разному. Сколько у него есть вариантов выбора пары из верхнего и нижнего индексов - столько и будет свёрток. "Внутреннее произведение" - по сути, комбинация внешнего произведения и свёртки, но как видите, им одним такие комбинации не ограничиваются.

А потом ещё можно совершить вторую свёртку, если индексы остались. А потом третью, и так далее.

Кроме того, можно индексы поднимать и опускать. Можно по индексам симметризовать и антисимметризовать. То есть, произведения и свёртки - это ещё не все операции, которые доступны. А ещё есть дифференциальные и интегральные операции...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение07.05.2015, 21:21 


30/04/15
15
Да, спасибо, я так и поступлю. Но хочется всё-таки разобраться хоть немного в аппарате тензоров. Если по существу, то написанное мной выше верно?
Или это бессмысленное стремление и бессмысленный вопрос до тех пор, пока я основательно не изучу теории?

А если верно, то мне всё-таки кажется, что в задании нужно найти внутреннее произведение, поскольку результат тензорного сложно представить на бумаге.

-- 07.05.2015, 21:29 --

Munin в сообщении #1012209 писал(а):

А потом его можно сворачивать. По-разному. Сколько у него есть вариантов выбора пары из верхнего и нижнего индексов - столько и будет свёрток. "Внутреннее произведение" - по сути, комбинация внешнего произведения и свёртки, но как видите, им одним такие комбинации не ограничиваются.

А потом ещё можно совершить вторую свёртку, если индексы остались. А потом третью, и так далее.

А закончится всё это тогда, когда тензор станет валентности 1 или 0?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение07.05.2015, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Underwood_ в сообщении #1012214 писал(а):
Но хочется всё-таки разобраться хоть немного в аппарате тензоров.

Тензоры - это обобщение векторов. Тоже такие геометрические объекты, но содержат более сложную информацию. А операции над тензорами - обобщение операций над векторами. Часто в физике нужны тензоры 2 ранга, иногда 3, 4, 6 - хотя реже. Есть довольно наглядные геометрические интерпретации у двух-трёх разновидностей тензоров, а в остальном это довольно абстрактные объекты.

Underwood_ в сообщении #1012214 писал(а):
Если по существу, то написанное мной выше верно?
Или это бессмысленное стремление и бессмысленный вопрос до тех пор, пока я основательно не изучу теории?

Я не понял, о чём вы конкретно? От и до.

Underwood_ в сообщении #1012214 писал(а):
А если верно, то мне всё-таки кажется, что в задании нужно найти внутреннее произведение, поскольку результат тензорного сложно представить на бумаге.

Да, мне тоже так кажется. А получится ли у вас при этом строчка или столбец - не важно. Для матриц это важно, а для тензоров нет.

Underwood_ в сообщении #1012214 писал(а):
А закончится всё это тогда, когда тензор станет валентности 1 или 0?

Если можно поднимать и опускать индексы по ходу дела - то да. А если нельзя - то закончится при ранге $(k,0)$ или $(0,k).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение08.05.2015, 19:26 
Заслуженный участник


23/07/08
9163
Харьков
Underwood_
Мне, как и Muninу, не очень верится, что в Вашем курсе различаются верхние и нижние индексы (и это подтверждается кое-какими нюансами формулировки задания на листочке). Но Вы о таком различении знаете — это немного настораживает. Если Вы знаете о контра- и ковариантных индексах из других источников (Википедии, например), то почти наверняка их различие можно игнорировать при выполнении задания.
И тогда Вам даны $a_i, b_i, A_{ik}, B_{ik}$.
А найти надо $a_i A_{ik}, A_{ik}a_k, A_{ik}B_{k\ell}, B_{ik}A_{k\ell}, A_{ik}B_{ik}, \delta_{ik}A_{ik}$
По соглашению, когда тензор $A_{ik}$ представляется матрицей, первый индекс становится номером строки, второй — столбца.

Вот текст, в котором, похоже, примерно такая же идеология, как в Вашем курсе:
http://fea.ru/spaw2/uploads/files/Palmov/p_109.pdf
Детали обозначений там, правда, чуть отличаются. Следы ведут в Санкт-Петербург.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензоры, свертка и произведение тензоров
Сообщение11.05.2015, 11:50 


30/04/15
15
svv, Munin огромное спасибо!


Цитата:
Следы ведут в Санкт-Петербург

Всё верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group