Скрещивающиеся прямые

[mihatel]

grizzly в сообщении #1009787 писал(а):

Я решил привести полное доказательство с нуля. Оно не будет опираться на предыдущие обсуждения, будет более аккуратным, но и объёмным. Повторюсь, что в идеях решения нет моей заслуги, но если здесь будут обнаружены пробелы -- они на моей совести.

Задача. Даны три скрещивающиеся прямые $l,k,m$ и треугольник $ABC$. Доказать, что выбрав по одной точке на каждой из прямых, можно сформировать треугольник, подобный данному.

Доказательство.

Часть 1. Прямые общего положения (нет общей параллельной плоскости).

Пусть $CD$ -- высота треугольника, опущенная на сторону $AB$. Не уменьшая общности, можем считать, что т.$D$ лежит между $A$ и $B$ и делит отрезок $AB$ в отношении $a:b$.
Рассмотрим все отрезки, соединяющие прямые $l$ и $k$. Каждый из этих отрезков разделим точкой в отношении $a:b$ (в направлении от $l$ к $k$). Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$, которая параллельна прямым $l$ и $k$, проходит между их параллельными плоскостями, деля расстояние между этими плоскостями в отношении $a:b$.

В силу общности положения прямых, прямая $m$ пересекает плоскость $P$ в некоторой точке $D_0$. Эта точка делит некоторый отрезок $A_0B_0$ в отношении $a:b$ ($A_0$ и $B_0$ лежат на прямых $l$ и $k$, соответственно).
Рассмотрим в пространстве геометрическое место т.$C_0$ таких, что треугольник $A_0B_0C_0$ подобен данному (с учётом ориентации вершин). Это окружность с центром в т.$D_0$, которая лежит в плоскости, перпендикулярной $A_0B_0$.

Существует отрезок $A_1B_1$, соединяющий прямые $l$ и $k$, такой, что плоскость, перпендикулярная этому отрезку, параллельна прямой $m$. По аналогии с предыдущим строим множество вершин, формирующих с $A_1B_1$ треугольники подобные данному -- это окружность из точек $C_1$ с центром в т.$D_1$. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $A_1B_1$ -- значит, эта плоскость параллельна прямой $m$.

Таким образом, мы построили ловушку для прямой $m$: в одном случае она попала в центр окружности, в другом -- параллельна плоскости окружности. Теперь непрерывным образом переведём отрезок $A_0B_0$ в $A_1B_1$ (вместе с их окружностями -- ГМТ подобных треугольников). В силу построенной ловушки, прямая $m$ пересечёт одну из этих окружностей в т.$C_t$. Эта точка пересечения вместе с соответствующим ей отрезком $A_tB_t$ сформирует искомый треугольник.

Часть 2. Прямые $l,k,m$ лежат на параллельных плоскостях.

Спроецируем прямые на одну из плоскостей. Решим плоскую задачу -- это всегда возможно, причём треугольник этого решения всегда можно сделать сколь угодно большим по сравнению с расстоянием между данными плоскостями.

Точки плоского решения спроецируем обратно на плоскости с соответствующими прямыми. Получившийся при этом треугольник будет с небольшой погрешностью подобен данному.

Откорректируем погрешность за счёт небольшого движения в пространстве одной из вершин так, чтобы две другие вершины остались фиксированными на своих прямых, а третья прямая пересекала сторону треугольника недалеко от третьей вершины. Жёстко зафиксируем треугольник и перемещая две первые вершины по своим прямым сможем добиться попадания третьей вершины на свою прямую.

Вполне убедительно, спасибо.

[Lia]

mihatel
Устное замечание за избыточное цитирование.

[Skeptic]

grizzly в сообщении #1009787 писал(а):

В силу общности положения прямых, прямая $m$ пересекает плоскость $P$ в некоторой точке $D_0$. Эта точка делит некоторый отрезок $A_0B_0$ в отношении $a:b$ ($A_0$ и $B_0$ лежат на прямых $l$ и $k$, соответственно).
Рассмотрим в пространстве геометрическое место т.$C_0$ таких, что треугольник $A_0B_0C_0$ подобен данному (с учётом ориентации вершин). Это окружность с центром в т.$D_0$, которая лежит в плоскости, перпендикулярной $A_0B_0$.

(Оффтоп)

Чтобы прямая $m$ общего положения, пересекая плоскость $P$, попала на отрезок $A_0B_0$, нужно определить порядок обозначения прямых. Это можно сделать, соединив прямые отрезком, и прямые проходящие через концы отрезка обозначить как $l$ или $k$

Прямая $m$ общего положения может проходить сколь угодно близко к одной из прямых $l$ или $k$, т.е. в общем случае, точка $D_0$ необязательно будет делить некоторый отрезок $A_0B_0$ в заданном отношении $a:b$.

[grizzly]

Skeptic
Я поясню Вам этот момент задачи в очень упрощённом варианте -- на плоскости, где формулировка аналога этого момента будет выглядеть следующим образом:

Лемма. Пусть даны два произвольных положительных числа $a$ и $b$, а также три прямые $l, k, m$ на плоскости. При этом прямые $l$ и $k$ параллельны, а прямая $m$ их пересекает.
Доказать, что найдутся три точки $A, B, D$, удовлетворяющие следующим условиям: $A \in k, B\in l, D\in m; \ D\in AB; \ AD:DB=a:b$. Доказать также, что решение единственно.

(Оффтоп)

Если сможете дать аккуратное доказательство, будет смысл вернуться к пространственному аналогу. Если не сможете, тогда либо оставьте бесплодные попытки, либо создайте новую тему для плоской задачи и просите помочь разобраться (чтобы не разводить здесь оффтоп).

-- 03.05.2015, 18:45 --

PS. Для единственности нужно, конечно, чтобы параллельные прямые не совпадали.

[Skeptic]

grizzly.
С леммой на плоскости понял.

Перейдём в трёхмерное пространство - повернём в пространстве прямую $m$, например, перпендикулярно плоскости. Рассмотрим плоскость, образованную параллельными прямыми $l, k$, и точку $D$ пересечения с ней прямой $m$. Теперь попытайтесь провести через точку $D$ отрезок $AB$, соединяющий прямые $l, k$, так, чтобы точка $D$ делила его в заданном отношении.

(Оффтоп)

Когда выберетесь из трёхмерного пространства, может быть и продолжим.
Успехов.

[NSKuber]

Skeptic в сообщении #1011074 писал(а):

Рассмотрим плоскость, образованную параллельными прямыми $l, k$

$l, k$ - не параллельны (прямые общего положения). Поэтому, когда точки $A, B$ бегают по ним всевозможными способами, точка $C$, делящая отрезок $AB$ в заранее фиксированном отношении $a:b$, бегает по всей плоскости $h$, параллельной прямым $l$ и $k$. В частности, существуют точки $A_0,B_0$ такие, что $C_0$ совпадает с точкой пересечения этой плоскости $h$ и прямой $m$.

(Оффтоп)

Когда научитесь читать и думать прежде, чем писать, может быть к вам и будут относиться серьёзно.
Успехов.

[INGELRII]

Skeptic
Давайте поступим проще: запишите обе прямые в векторном виде, и посмотрите, каково уравнение точек на серединах отрезков. Если уж и после этого вам что-нибудь будет не очевидно, то я лично на вас повешу ярлык.