2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение02.05.2015, 16:02 


17/09/10
94
grizzly в сообщении #1009787 писал(а):
Я решил привести полное доказательство с нуля. Оно не будет опираться на предыдущие обсуждения, будет более аккуратным, но и объёмным. Повторюсь, что в идеях решения нет моей заслуги, но если здесь будут обнаружены пробелы -- они на моей совести.

Задача. Даны три скрещивающиеся прямые $l,k,m$ и треугольник $ABC$. Доказать, что выбрав по одной точке на каждой из прямых, можно сформировать треугольник, подобный данному.

Доказательство.

Часть 1. Прямые общего положения (нет общей параллельной плоскости).

Пусть $CD$ -- высота треугольника, опущенная на сторону $AB$. Не уменьшая общности, можем считать, что т.$D$ лежит между $A$ и $B$ и делит отрезок $AB$ в отношении $a:b$.
Рассмотрим все отрезки, соединяющие прямые $l$ и $k$. Каждый из этих отрезков разделим точкой в отношении $a:b$ (в направлении от $l$ к $k$). Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$, которая параллельна прямым $l$ и $k$, проходит между их параллельными плоскостями, деля расстояние между этими плоскостями в отношении $a:b$.

В силу общности положения прямых, прямая $m$ пересекает плоскость $P$ в некоторой точке $D_0$. Эта точка делит некоторый отрезок $A_0B_0$ в отношении $a:b$ ($A_0$ и $B_0$ лежат на прямых $l$ и $k$, соответственно).
Рассмотрим в пространстве геометрическое место т.$C_0$ таких, что треугольник $A_0B_0C_0$ подобен данному (с учётом ориентации вершин). Это окружность с центром в т.$D_0$, которая лежит в плоскости, перпендикулярной $A_0B_0$.

Существует отрезок $A_1B_1$, соединяющий прямые $l$ и $k$, такой, что плоскость, перпендикулярная этому отрезку, параллельна прямой $m$. По аналогии с предыдущим строим множество вершин, формирующих с $A_1B_1$ треугольники подобные данному -- это окружность из точек $C_1$ с центром в т.$D_1$. Эта окружность лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $A_1B_1$ -- значит, эта плоскость параллельна прямой $m$.

Таким образом, мы построили ловушку для прямой $m$: в одном случае она попала в центр окружности, в другом -- параллельна плоскости окружности. Теперь непрерывным образом переведём отрезок $A_0B_0$ в $A_1B_1$ (вместе с их окружностями -- ГМТ подобных треугольников). В силу построенной ловушки, прямая $m$ пересечёт одну из этих окружностей в т.$C_t$. Эта точка пересечения вместе с соответствующим ей отрезком $A_tB_t$ сформирует искомый треугольник.

Часть 2. Прямые $l,k,m$ лежат на параллельных плоскостях.

Спроецируем прямые на одну из плоскостей. Решим плоскую задачу -- это всегда возможно, причём треугольник этого решения всегда можно сделать сколь угодно большим по сравнению с расстоянием между данными плоскостями.

Точки плоского решения спроецируем обратно на плоскости с соответствующими прямыми. Получившийся при этом треугольник будет с небольшой погрешностью подобен данному.

Откорректируем погрешность за счёт небольшого движения в пространстве одной из вершин так, чтобы две другие вершины остались фиксированными на своих прямых, а третья прямая пересекала сторону треугольника недалеко от третьей вершины. Жёстко зафиксируем треугольник и перемещая две первые вершины по своим прямым сможем добиться попадания третьей вершины на свою прямую.

Вполне убедительно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение02.05.2015, 16:44 


20/03/14
12041
 !  mihatel
Устное замечание за избыточное цитирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение03.05.2015, 16:21 


01/12/11

1047
grizzly в сообщении #1009787 писал(а):
В силу общности положения прямых, прямая $m$ пересекает плоскость $P$ в некоторой точке $D_0$. Эта точка делит некоторый отрезок $A_0B_0$ в отношении $a:b$ ($A_0$ и $B_0$ лежат на прямых $l$ и $k$, соответственно).
Рассмотрим в пространстве геометрическое место т.$C_0$ таких, что треугольник $A_0B_0C_0$ подобен данному (с учётом ориентации вершин). Это окружность с центром в т.$D_0$, которая лежит в плоскости, перпендикулярной $A_0B_0$.

(Оффтоп)

Чтобы прямая $m$ общего положения, пересекая плоскость $P$, попала на отрезок $A_0B_0$, нужно определить порядок обозначения прямых. Это можно сделать, соединив прямые отрезком, и прямые проходящие через концы отрезка обозначить как $l$ или $k$

Прямая $m$ общего положения может проходить сколь угодно близко к одной из прямых $l$ или $k$, т.е. в общем случае, точка $D_0$ необязательно будет делить некоторый отрезок $A_0B_0$ в заданном отношении $a:b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение03.05.2015, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Skeptic
Я поясню Вам этот момент задачи в очень упрощённом варианте -- на плоскости, где формулировка аналога этого момента будет выглядеть следующим образом:

Лемма. Пусть даны два произвольных положительных числа $a$ и $b$, а также три прямые $l, k, m$ на плоскости. При этом прямые $l$ и $k$ параллельны, а прямая $m$ их пересекает.
Доказать, что найдутся три точки $A, B, D$, удовлетворяющие следующим условиям: $A \in k, B\in l, D\in m; \ D\in AB; \ AD:DB=a:b$. Доказать также, что решение единственно.

(Оффтоп)

Если сможете дать аккуратное доказательство, будет смысл вернуться к пространственному аналогу. Если не сможете, тогда либо оставьте бесплодные попытки, либо создайте новую тему для плоской задачи и просите помочь разобраться (чтобы не разводить здесь оффтоп).


-- 03.05.2015, 18:45 --

PS. Для единственности нужно, конечно, чтобы параллельные прямые не совпадали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение04.05.2015, 09:00 


01/12/11

1047
grizzly.
С леммой на плоскости понял.

Перейдём в трёхмерное пространство - повернём в пространстве прямую $m$, например, перпендикулярно плоскости. Рассмотрим плоскость, образованную параллельными прямыми $l, k$, и точку $D$ пересечения с ней прямой $m$. Теперь попытайтесь провести через точку $D$ отрезок $AB$, соединяющий прямые $l, k$, так, чтобы точка $D$ делила его в заданном отношении.

(Оффтоп)

Когда выберетесь из трёхмерного пространства, может быть и продолжим.
Успехов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение04.05.2015, 09:12 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Skeptic в сообщении #1011074 писал(а):
Рассмотрим плоскость, образованную параллельными прямыми $l, k$

$l, k$ - не параллельны (прямые общего положения). Поэтому, когда точки $A, B$ бегают по ним всевозможными способами, точка $C$, делящая отрезок $AB$ в заранее фиксированном отношении $a:b$, бегает по всей плоскости $h$, параллельной прямым $l$ и $k$. В частности, существуют точки $A_0,B_0$ такие, что $C_0$ совпадает с точкой пересечения этой плоскости $h$ и прямой $m$.

(Оффтоп)

Когда научитесь читать и думать прежде, чем писать, может быть к вам и будут относиться серьёзно.
Успехов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение04.05.2015, 17:15 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Skeptic
Давайте поступим проще: запишите обе прямые в векторном виде, и посмотрите, каково уравнение точек на серединах отрезков. Если уж и после этого вам что-нибудь будет не очевидно, то я лично на вас повешу ярлык.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 187 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group