Скрещивающиеся прямые

[unistudent]

grizzly
Все понятно для случая прямых в общем положении. А подход в случае трех параллельных плоскостей какой-то колдовской.

[Munin]

grizzly
Часть 1 - полностью меня устраивает. Спасибо за ясное изложение!

grizzly в сообщении #1009787 писал(а):

Таким образом, мы построили ловушку для прямой $m$: в одном случае она попала в центр окружности, в другом -- параллельна плоскости окружности. Теперь непрерывным образом переведём отрезок $A_0B_0$ в $A_1B_1$ (вместе с их окружностями -- ГМТ подобных треугольников). В силу построенной ловушки, прямая $m$ пересечёт одну из этих окружностей в т.$C_t$. Эта точка пересечения вместе с соответствующим ей отрезком $A_tB_t$ сформирует искомый треугольник.

Кстати, поскольку область изменения $(A,B)$ двумерна, то вы одновременно доказали, что существует бесконечно много искомых треугольников (в чём, видимо, и трудность решения задачи). Между двумя точками на плоскости можно провести бесконечно много разных путей, и на каждом встретится (как минимум один раз) "точка пересечения окружности".

Часть 2: как мне кажется, вот здесь дыра:

grizzly в сообщении #1009787 писал(а):

Откорректируем погрешность за счёт небольшого движения в пространстве одной из вершин так, чтобы две другие вершины остались фиксированными на своих прямых, а третья прямая пересекала сторону треугольника недалеко от третьей вершины.

Не факт, что это вообще можно сделать.

Предлагаю, хотя это и скучно, часть 2 тоже переписать в виде явно поименованных точек и дополнительных построений.

[grizzly]

Munin

Спасибо за анализ решения! Согласен с комментарием по Части 1.

(Лирическое отступление к этому комментарию)

Более того, эти же рассуждение сподвигли меня подумать о существовании решения для двух скрещенных прямых и одной фиксированной точки. Но тут я сразу упёрся в ограничения, подобные тем, что возникали в Вашем "сферическом" решении. Судя по всему, для двух прямых и одной точки существует решение в некотором диапазоне треугольников и этот диапазон монотонно расширяется при устремлении точки в бесконечность от кратчайшего отрезка между прямыми. В некотором смысле я считаю для себя это рассуждение качественным толкованием устройства данной части задачи (Осторожно! интуиция detected).

По второму пункту соглашусь только отчасти. Конкретно в этом моменте я уверен и смогу его описать аналитически. А вот со следующим шагом немного хуже (там где мы двигаем уже зафиксированный нужный треугольник): я в нём тоже уверен, но пока эта уверенность основана не на аналитике, а на умозрительной наглядности, которой мы, по большому счёту, доверять не вправе. Поэтому согласен на все 100 с предложением:

Munin в сообщении #1009978 писал(а):

часть 2 тоже переписать в виде явно поименованных точек и дополнительных построений.

Не исключаю, что я выберу другой вариант доказательства для этой части -- благо, правильные идеи в этой теме ещё не все исчерпаны :)

-- 01.05.2015, 18:45 --

unistudent
Вам тоже большое спасибо за обратную связь!

[Skeptic]

Lia в сообщении #1009898 писал(а):

Skeptic
Утверждение

grizzly в сообщении #1009787 писал(а):

Рассмотрим все отрезки, соединяющие прямые $l$ и $k$. Каждый из этих отрезков разделим точкой в отношении $a:b$ (в направлении от $l$ к $k$). Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$, которая параллельна прямым $l$ и $k$, проходит между их параллельными плоскостями, деля расстояние между этими плоскостями в отношении $a:b$.

не ошибочно, а вовсе наоборот, что легко доказать. А картинки любят быть обманчивыми.

Будьте добры, прежде чем вступать в полемику, озаботьтесь доказательными аргументами. Иллюстрация в качестве доказательства не подходит.

Это было китайское предупреждение.

Lia, у меня не иллюстрации, а точные построения, выполненные в AutoCad.
Lia, если рассматривать только эту часть всего сообщения, то оно справедливо. Но, учитывая начало сообщения (пункт 1), вами опущенное, то там речь идёт о прямых общего положения. Становится непонятно, какое отношение эта плоскость $P$, строящаяся для параллельных прямых $l$ и $k$, имеет отношение к пункту 1, и вообще задаче.
Если эти прямые лежат в параллельных плоскостях, то утверждение неверно.
Это утверждение справедливо для прямых общего положения только, если отрезки, соединяющие прямые принадлежат линейчатой поверхности.
Или я не понимаю, что такое прямые общего положения, или скрещивающиеся прямые.

[grizzly]

Munin в сообщении #1009978 писал(а):

Не факт, что это вообще можно сделать.

О да, конечно! Она будет пересекать либо сторону, либо продолжение стороны, но главное, что недалеко от вершины.
Да, нужно переделывать!

[INGELRII]

Munin
Эммм... стесняюсь заострять на этом внимание, но первым на существование бесконечного количества решений указал именно я.

grizzly
По первому пункту по-хорошему нужно еще доказать, что существует способ непрерывного движения треугольников без нарушения их подобия.

[grizzly]

Skeptic в сообщении #1010007 писал(а):

Если эти прямые лежат в параллельных плоскостях, то утверждение неверно.

Для любых двух скрещивающихся прямых существует две параллельные плоскости, на каждой из которых лежит одна из данных прямых. Другими словами, эти прямые обязательно лежат в параллельных плоскостях.

Skeptic в сообщении #1010007 писал(а):

Или я не понимаю, что такое прямые общего положения, или скрещивающиеся прямые.

Эх, если бы знать наверняка, что Вы хоть что-то понимаете. Иначе совсем нет мотивации что-то Вам объяснять.

-- 01.05.2015, 19:30 --

INGELRII в сообщении #1010018 писал(а):

По первому пункту по-хорошему нужно еще доказать, что существует способ непрерывного движения треугольников без нарушения их подобия.

Мы не двигаем треугольники -- нам они в первой части без надобности, только окружности. Отрезок двигаем непрерывно, а окружность отстраиваем каждый раз заново -- куда же она денется, если радиус и угол поворота плоскости изменятся на ничтожно малую величину? Можно, конечно, и на языке "эпсилон-дельта" всё расписать, но это уже перебор, я считаю.

[unistudent]

grizzly в сообщении #1010002 писал(а):

Вам тоже большое спасибо за обратную связь!

Было бы еще не плохо показать, что найдется плоскость, которая перпендикулярна отрезку $AB$, где $A,B$ точки на двух прямых , и одновременно параллельна третьей прямой.

[grizzly]

unistudent в сообщении #1010047 писал(а):

Было бы еще не плохо показать, что найдется плоскость, которая перпендикулярна отрезку $AB$, где $A,B$ точки на двух прямых , и одновременно параллельна третьей прямой.

Вот с этим полностью согласен -- для полноты картины нужно будет сделать. Я ведь долго думал, вставить это или нет, но решил на данном этапе не углубляться в такие детали, чтобы главная идея не потерялась.

[unistudent]

grizzly в сообщении #1010058 писал(а):

Вот с этим полностью согласен -- для полноты картины нужно будет сделать. Я ведь долго думал, вставить это или нет, но решил на данном этапе не углубляться в такие детали, чтобы главная идея не потерялась.

Да, все было бы хорошо, если бы не это досадное недоразумение. Дело в том, что ваше доказательство существенно опирается на этот "факт". Но если это не так, то нарушается общность. А это не вскгда так. Например, если прямая $m$ перпендикулярна параллельным плоскостям, содержащим первые две прямые, то интересующей нас плоскости не существует.

[grizzly]

unistudent в сообщении #1010061 писал(а):

Да, все было бы хорошо, если бы не это досадное недоразумение.

Конечно, в этом есть досадный момент и, да, Вы правы -- это огромное упущение с моей стороны.
Но всё не настолько плохо, как может показаться. Дело в том, что мы всегда можем взять другую пару прямых, а это означает, что вся неприятность будет сведена только к случаю, когда все три прямые параллельны координатным осям некоторой прямоугольной системы координат. Возможно, что этот случай придётся также рассмотреть отдельно. А может и нет. Но у меня нет никаких сомнений, что и в нём всегда имеется решение.

Спасибо! Вот насколько полезно коллективное обсуждение.

[INGELRII]

Вообще существование такой плоскости не всегда возможно: если данные прямые параллельны координатным осям, ее нету. В остальных случаях берем произвольную плоскость, перпендикулярную третьей и пересекающую две другие. Тогда эти точки пересечения и есть искомые $A, B$.

[unistudent]

grizzly в сообщении #1010072 писал(а):

а это означает, что вся неприятность будет сведена только к случаю, когда все три прямые параллельны координатным осям некоторой прямоугольной системы координат. Возможно, что этот случай придётся также рассмотреть отдельно. А может и нет. Но у меня нет никаких сомнений, что и в нём всегда имеется решение.

Имеется. Можно использовать подобный вашему метод, отказавшись от "неприятного" (но на мой взгляд очень оригинально) условия. Легко увидеть как это работает можно, если посмотреть на картинку в проекции на плоскость, перпендикулярную одной из прямых. Увидим две перпендикулярные прямые и точку (третья прямая).

[Lia]

Skeptic

(Оффтоп)

Вам ответили за меня: post1010007.html#p1010007
И да, Вы не только не понимаете, - хуже, Вы не знаете определения скрещивающихся прямых, без знания которого столь активно сражаться за свои истины в теме, непосредственно посвященной таким прямым, мягко говоря, странно. Вам уже не в первый раз об этом говорят, можно было и прочитать за это время определение.

[Munin]

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1010292 писал(а):

И да, Вы не только не понимаете, - хуже, Вы не знаете определения скрещивающихся прямых

Я бы сказал, что он не знает даже понятия скрещивающихся прямых, то есть попросту что это слово значит.