Скрещивающиеся прямые

[grizzly]

unistudent в сообщении #1009197 писал(а):

grizzly А вот я склоняюсь к тому, что существует такая конфигурация, для которой правильный треугольник построить нельзя, ни в 3D ни на плоскости

О, здесь Вас интуиция (или алгебра) здорово подвела. На плоскости так уж точно -- можем рассмотреть все случаи:
1) Если прямые общего положения, то три точки пересечения задают треугольник. На сторонах этого (любого) треугольника всегда можно разместить вершины правильного треугольника -- это совсем уж просто.
2) Вырожденный случай -- все прямые пересекаются в одной точке $O$. Возьмите точку $A$ на одной прямой рядышком с т. $O$, но так, чтобы угол из двух других прямых за т.$O$ не был острым. На тех двух прямых выберите тоже по точке ($B$, $C$) подальше от т.$O$, так чтобы $AB=AC$. Получили равнобедренный треугольник с углом в $A$ большим, чем $\pi/3$. Теперь отдаляем т.$A$ от т.$O$, немного подправляя т.$C$, чтобы треугольник оставался равнобедренным. Угол в $A$ при этом устремится к нулю. Значит, по дороге станет $\pi/3$.

Простите, если рассуждение выглядит немного сумбурно, но расписывать на несколько экранов очень строго и аккуратно совсем простые вещи немного лень :)

[Skeptic]

Всегда можно провести плоскость, на которой проекции прямых будут представлены прямыми, пересекающимися в одной точке. На этих проекциях можно построить любой треугольник.

[Brukvalub]

Skeptic в сообщении #1009205 писал(а):

Всегда можно провести плоскость, на которой проекции прямых будут представлены прямыми, пересекающимися в одной точке. На этих проекциях можно построить любой треугольник.

Ага, а карась - икру метал! За это его уважают металлисты! Какое отношение к решению задачи имеет процитированное мной утверждение?

[unistudent]

grizzly в сообщении #1009203 писал(а):

Простите, если рассуждение выглядит немного сумбурно, но расписывать на несколько экранов очень строго и аккуратно совсем простые вещи немного лень :)

Ну хорошо, согласен, с плоскостью я немного погорячился. Но в 3D, хоть убей, думаю, что "плохая" конфигурация имеется

[grizzly]

unistudent в сообщении #1009217 писал(а):

Но в 3D, хоть убей, думаю, что "плохая" конфигурация имеется

Слишком высокая ставка против моих трёх очков репутации
Но давайте я попробую на примере правильного треугольника обосновать возможность возврата плоского решения в пространство. Возьму для примера только случай, дающий вырожденный вариант на плоскости (если аргументация получится универсальной -- тем лучше, но стремиться я к этому не буду). Мне будет сколько-то полезна такая попытка, а если получится, то дальше я с этой задачей возиться не стану -- слишком уж она стала очевидной для моей интуиции.

[Nemiroff]

М-м-м, плоскость. Вот три точки. Если одна точка прибита гвоздями, вторая точка бегает по прямой, а треугольник, образованный тремя точками, всегда остаётся подобным себе, то третья точка бегает по прямой. Ну или по двум прямым, если ориентацию не фиксировать.

[unistudent]

grizzly в сообщении #1009221 писал(а):

Но давайте я попробую на примере правильного треугольника обосновать возможность возврата плоского решения в пространство.

Давайте. А я попробую обрадовать вас потом чем-нибудь алгебраическим.

(Оффтоп)

Nemiroff, за бегающий гвоздики на плоскость спасибо

[grizzly]

Nemiroff
О, спасибо! Это и есть то самое элегантное рассуждение, которое я как раз собирался придумать :)

А можете так же красиво вот с таким помочь?:
Пусть построили для плоской задачи нужный треугольник на трёх прямых. Теперь эти прямые совсем немного раздвинули в пространстве так, что все они лежат на параллельных плоскостях. В общем случае подобие треугольника, конечно, нарушилось. Зафиксируем одну из точек. Нужно обосновать, что две другие можно сдвинуть (тоже совсем немного, но чтобы оставались на своих прямых), восстановив при этом подобие треугольника.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #1009225 писал(а):

Ну или по двум прямым, если ориентацию не фиксировать.

По четырём?

[Nemiroff]

Почему по четырём? Если просто крутить вокруг точки, чтоб углы сохранялись, то будет одна прямая. А в другую сторону развернуть — другая.

grizzly в сообщении #1009243 писал(а):

А можете так же красиво вот с таким помочь?:

Это какая-то не геометрия. Это анализ. А про правильный треугольник я где-то статейку видел. О том, что его для любых трёх прямых можно построить.

А! Я понял.

[Lia]

Skeptic post1008263.html#p1008263 etc
Предупреждение за упорствующее невежество в учебном разделе.

Brukvalub, просьба не генерировать многочисленные посты про карася :), жмите, пожалуйста, кнопку "Жалоба".

[Nemiroff]

Munin в сообщении #1009302 писал(а):

По четырём?

Nemiroff в сообщении #1009309 писал(а):

А! Я понял.

Мда. По одной, если фиксировать ориентацию и то, какая из точек бегает по прямой, а у какой мы смотрим локус. Две, если что-то из этого фиксировано, а что-то нет. Четыре, если ничего не фиксировано (и не равносторонний треугольник).

[grizzly]

svv, Munin
Быть может кто-то из Вас сможет помочь. Я пересматривал тему и обнаружил, что вот эта идея была высказана вами ещё в самом начале обсуждения (на стр.3):

grizzly в сообщении #1008887 писал(а):

я представил себе всю 3D-картинку в чудовищно мелком масштабе...

(цитата из раннего обсуждения)

svv в сообщении #1004818 писал(а):

Жаль. А то бы можно было взять скрещивающиеся прямые и сжать всю фигуру с очень большим коэффициентом сжатия, тогда бы они превратились в почти пересекающиеся в одной точке, и Ваше решение можно было бы поцепить на них со сколь угодно малой коррекцией.

(Мне-то казалось, что к аналогичной идее я пришёл сам, но теперь не исключаю, что всё было как в песне Высоцкого о плагиаторе )

Только я теперь рассматриваю оставшийся частный случай -- все прямые лежат на параллельных плоскостях, что при сжатии в пределе приводит к плоской задаче, всегда имеющей решение.

Если "вернуть" эти решения с плоскости обратно в пространство возникнут погрешности (которые можно сделать сколь угодно малыми). Интуитивно возможность исправить эти погрешности колебанием точек мне представляется очевидной. Вы тогда этот момент тоже обсуждали. Не могли бы Вы помочь с аргументацией или советом? Или, может, на каком-то уровне понимания (до которого я пока не дотягиваю) действительно достаточно сослаться на очевидность?

[Evgenjy]

Решение для особого случая: при наличии общей параллельной плоскости $Q$, все углы между всеми прямыми равны $\pi/3$, а треугольник равносторонний.

1 Возьмем проекции трех прямых на плоскость $Q$.
2 Если получится невырожденный треугольник, то для этого случая подходит предыдущее (представленной мной) доказательство.
3 Если проекции пересекаются в одной точке, т. е. имеется общий перпендикуляр. Тогда на двух лучах, имеющих между собой угол $2\pi/3$ на расстояниях $t$ от общего перпендикуляра возьмем две точки $A$ и $B$. Построим равносторонний треугольник $ABC$. Если вращать этот треугольник вокруг $AB$, то при достаточно больших $t$ одна из его сторон наткнется на на третью скрещивающуюся прямую. Тогда, оставляя треугольник жестким, одной вершиной скользим по соответствующей прямой по направлению к общему перпендикуляру, другой -- от него, чтобы третья вершина приближалась к третьей прямой(сторона треугольника скользит по этой прямой), пока ее не достигнет.
4 Таким образом задача полностью решена. Для любой конфигурации трех скрещивающихся прямых и треугольника любого вида требуемый треугольник можно построить всегда.

[grizzly]

У меня решение от Evgenjy (в смысле п.3 последнего сообщения) не вызывает сомнений.

Более того, я примерно такой же подход имел в виду, говоря о возврате плоского решения в пространство. То есть, если расстояние между плоскостями пренебрежимо мало по сравнению с размерами треугольника, дающего плоское решение, то мы можем:
1. Вернуть плоскости (вместе с точками решающего треугольника) на своё место в пространство (при этом незначительно нарушится подобие треугольника);
2. Откорректировать подобие за счёт движения одной из вершин так, что две другие вершины остались на своих прямых (не смещаясь с соответствующих позиций), а третья прямая пересекала сторону треугольника недалеко от третьей вершины;
3. Также как в решении Evgenjy перемещая 2 первые точки по своим прямым добиться попадания третьей вершины на третью прямую.

Если это совершенно наглядное рассуждение не вызовет возражений, то своё решение (предлагаю считать его компиляцией идей svv--Munin, Evgenjy и, конечно, Nemiroff) случая параллельных плоскостей я буду считать коротким, простым и, следовательно, красивым