2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13  След.
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 16:47 


06/12/14
510
grizzly
Все понятно для случая прямых в общем положении. А подход в случае трех параллельных плоскостей какой-то колдовской.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
grizzly
Часть 1 - полностью меня устраивает. Спасибо за ясное изложение!

grizzly в сообщении #1009787 писал(а):
Таким образом, мы построили ловушку для прямой $m$: в одном случае она попала в центр окружности, в другом -- параллельна плоскости окружности. Теперь непрерывным образом переведём отрезок $A_0B_0$ в $A_1B_1$ (вместе с их окружностями -- ГМТ подобных треугольников). В силу построенной ловушки, прямая $m$ пересечёт одну из этих окружностей в т.$C_t$. Эта точка пересечения вместе с соответствующим ей отрезком $A_tB_t$ сформирует искомый треугольник.

Кстати, поскольку область изменения $(A,B)$ двумерна, то вы одновременно доказали, что существует бесконечно много искомых треугольников (в чём, видимо, и трудность решения задачи). Между двумя точками на плоскости можно провести бесконечно много разных путей, и на каждом встретится (как минимум один раз) "точка пересечения окружности".

Часть 2: как мне кажется, вот здесь дыра:
    grizzly в сообщении #1009787 писал(а):
    Откорректируем погрешность за счёт небольшого движения в пространстве одной из вершин так, чтобы две другие вершины остались фиксированными на своих прямых, а третья прямая пересекала сторону треугольника недалеко от третьей вершины.
Не факт, что это вообще можно сделать.

Предлагаю, хотя это и скучно, часть 2 тоже переписать в виде явно поименованных точек и дополнительных построений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 17:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6237
Munin

Спасибо за анализ решения! Согласен с комментарием по Части 1.

(Лирическое отступление к этому комментарию)

Более того, эти же рассуждение сподвигли меня подумать о существовании решения для двух скрещенных прямых и одной фиксированной точки. Но тут я сразу упёрся в ограничения, подобные тем, что возникали в Вашем "сферическом" решении. Судя по всему, для двух прямых и одной точки существует решение в некотором диапазоне треугольников и этот диапазон монотонно расширяется при устремлении точки в бесконечность от кратчайшего отрезка между прямыми. В некотором смысле я считаю для себя это рассуждение качественным толкованием устройства данной части задачи (Осторожно! интуиция detected).

По второму пункту соглашусь только отчасти. Конкретно в этом моменте я уверен и смогу его описать аналитически. А вот со следующим шагом немного хуже (там где мы двигаем уже зафиксированный нужный треугольник): я в нём тоже уверен, но пока эта уверенность основана не на аналитике, а на умозрительной наглядности, которой мы, по большому счёту, доверять не вправе. Поэтому согласен на все 100 с предложением:
Munin в сообщении #1009978 писал(а):
часть 2 тоже переписать в виде явно поименованных точек и дополнительных построений.

Не исключаю, что я выберу другой вариант доказательства для этой части -- благо, правильные идеи в этой теме ещё не все исчерпаны :)

-- 01.05.2015, 18:45 --

unistudent
Вам тоже большое спасибо за обратную связь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 17:49 


01/12/11

1047
Lia в сообщении #1009898 писал(а):
Skeptic
Утверждение
grizzly в сообщении #1009787 писал(а):
Рассмотрим все отрезки, соединяющие прямые $l$ и $k$. Каждый из этих отрезков разделим точкой в отношении $a:b$ (в направлении от $l$ к $k$). Геометрическое место всех таких точек образует плоскость $P$, которая параллельна прямым $l$ и $k$, проходит между их параллельными плоскостями, деля расстояние между этими плоскостями в отношении $a:b$.

не ошибочно, а вовсе наоборот, что легко доказать. А картинки любят быть обманчивыми.

Будьте добры, прежде чем вступать в полемику, озаботьтесь доказательными аргументами. Иллюстрация в качестве доказательства не подходит.

Это было китайское предупреждение.

Lia, у меня не иллюстрации, а точные построения, выполненные в AutoCad.
Lia, если рассматривать только эту часть всего сообщения, то оно справедливо. Но, учитывая начало сообщения (пункт 1), вами опущенное, то там речь идёт о прямых общего положения. Становится непонятно, какое отношение эта плоскость $P$, строящаяся для параллельных прямых $l$ и $k$, имеет отношение к пункту 1, и вообще задаче.
Если эти прямые лежат в параллельных плоскостях, то утверждение неверно.
Это утверждение справедливо для прямых общего положения только, если отрезки, соединяющие прямые принадлежат линейчатой поверхности.
Или я не понимаю, что такое прямые общего положения, или скрещивающиеся прямые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6237
Munin в сообщении #1009978 писал(а):
Не факт, что это вообще можно сделать.

О да, конечно! Она будет пересекать либо сторону, либо продолжение стороны, но главное, что недалеко от вершины.
Да, нужно переделывать!

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 18:11 
Аватара пользователя


11/08/11
1079
Munin
Эммм... стесняюсь заострять на этом внимание, но первым на существование бесконечного количества решений указал именно я.

grizzly
По первому пункту по-хорошему нужно еще доказать, что существует способ непрерывного движения треугольников без нарушения их подобия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6237
Skeptic в сообщении #1010007 писал(а):
Если эти прямые лежат в параллельных плоскостях, то утверждение неверно.

Для любых двух скрещивающихся прямых существует две параллельные плоскости, на каждой из которых лежит одна из данных прямых. Другими словами, эти прямые обязательно лежат в параллельных плоскостях.

Skeptic в сообщении #1010007 писал(а):
Или я не понимаю, что такое прямые общего положения, или скрещивающиеся прямые.

Эх, если бы знать наверняка, что Вы хоть что-то понимаете. Иначе совсем нет мотивации что-то Вам объяснять.

-- 01.05.2015, 19:30 --

INGELRII в сообщении #1010018 писал(а):
По первому пункту по-хорошему нужно еще доказать, что существует способ непрерывного движения треугольников без нарушения их подобия.

Мы не двигаем треугольники -- нам они в первой части без надобности, только окружности. Отрезок двигаем непрерывно, а окружность отстраиваем каждый раз заново -- куда же она денется, если радиус и угол поворота плоскости изменятся на ничтожно малую величину? Можно, конечно, и на языке "эпсилон-дельта" всё расписать, но это уже перебор, я считаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 18:50 


06/12/14
510
grizzly в сообщении #1010002 писал(а):
Вам тоже большое спасибо за обратную связь!


Было бы еще не плохо показать, что найдется плоскость, которая перпендикулярна отрезку $AB$, где $A,B$ точки на двух прямых , и одновременно параллельна третьей прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6237
unistudent в сообщении #1010047 писал(а):
Было бы еще не плохо показать, что найдется плоскость, которая перпендикулярна отрезку $AB$, где $A,B$ точки на двух прямых , и одновременно параллельна третьей прямой.

Вот с этим полностью согласен -- для полноты картины нужно будет сделать. Я ведь долго думал, вставить это или нет, но решил на данном этапе не углубляться в такие детали, чтобы главная идея не потерялась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 19:23 


06/12/14
510
grizzly в сообщении #1010058 писал(а):
Вот с этим полностью согласен -- для полноты картины нужно будет сделать. Я ведь долго думал, вставить это или нет, но решил на данном этапе не углубляться в такие детали, чтобы главная идея не потерялась.

Да, все было бы хорошо, если бы не это досадное недоразумение. Дело в том, что ваше доказательство существенно опирается на этот "факт". Но если это не так, то нарушается общность. А это не вскгда так. Например, если прямая $m$ перпендикулярна параллельным плоскостям, содержащим первые две прямые, то интересующей нас плоскости не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6237
unistudent в сообщении #1010061 писал(а):
Да, все было бы хорошо, если бы не это досадное недоразумение.

Конечно, в этом есть досадный момент и, да, Вы правы -- это огромное упущение с моей стороны.
Но всё не настолько плохо, как может показаться. Дело в том, что мы всегда можем взять другую пару прямых, а это означает, что вся неприятность будет сведена только к случаю, когда все три прямые параллельны координатным осям некоторой прямоугольной системы координат. Возможно, что этот случай придётся также рассмотреть отдельно. А может и нет. Но у меня нет никаких сомнений, что и в нём всегда имеется решение.

Спасибо! Вот насколько полезно коллективное обсуждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение01.05.2015, 23:25 
Аватара пользователя


11/08/11
1079
Вообще существование такой плоскости не всегда возможно: если данные прямые параллельны координатным осям, ее нету. В остальных случаях берем произвольную плоскость, перпендикулярную третьей и пересекающую две другие. Тогда эти точки пересечения и есть искомые $A, B$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение02.05.2015, 01:31 


06/12/14
510
grizzly в сообщении #1010072 писал(а):
а это означает, что вся неприятность будет сведена только к случаю, когда все три прямые параллельны координатным осям некоторой прямоугольной системы координат. Возможно, что этот случай придётся также рассмотреть отдельно. А может и нет. Но у меня нет никаких сомнений, что и в нём всегда имеется решение.

Имеется. Можно использовать подобный вашему метод, отказавшись от "неприятного" (но на мой взгляд очень оригинально) условия. Легко увидеть как это работает можно, если посмотреть на картинку в проекции на плоскость, перпендикулярную одной из прямых. Увидим две перпендикулярные прямые и точку (третья прямая).

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение02.05.2015, 11:03 
Модератор
Аватара пользователя


20/03/14
10780
Skeptic

(Оффтоп)

Вам ответили за меня: post1010007.html#p1010007
И да, Вы не только не понимаете, - хуже, Вы не знаете определения скрещивающихся прямых, без знания которого столь активно сражаться за свои истины в теме, непосредственно посвященной таким прямым, мягко говоря, странно. Вам уже не в первый раз об этом говорят, можно было и прочитать за это время определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Скрещивающиеся прямые
Сообщение02.05.2015, 13:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1010292 писал(а):
И да, Вы не только не понимаете, - хуже, Вы не знаете определения скрещивающихся прямых

Я бы сказал, что он не знает даже понятия скрещивающихся прямых, то есть попросту что это слово значит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 187 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group