Произведение тензоров

[Underwood_]

Есть вектор (который, как я понимаю, частный случай контрвариантного тензора 1-го порядка), условно $\begin{pmatrix}1\; 2\; 3\end{pmatrix}\!$. Есть матрица (которая, как я понимаю, частный случай тензора 2-го порядка, причем я не знаю, контр- или ковариантна она), условно $\begin{pmatrix}1\;2\;3\;\\4\;5\;6\\7\;8\;9\end{pmatrix}$. Если я хочу перемножить первое и второе, я просто пользуюсь правилом произведения вектора на матрицу, получается $\begin{pmatrix}30 \; 36 \; 42 \end{pmatrix}$. А если второе на первое?

[Dan B-Yallay]

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):

А если второе на первое?

Транспонировать вектор.

[arseniiv]

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):

Есть матрица (которая, как я понимаю, частный случай тензора 2-го порядка, причем я не знаю, контр- или ковариантна она)

Матрица может быть и у линейного оператора, и у билинейной формы, которые, кроме того, могут брать аргументы и из сопряжённого пространства. Так что получаются тензоры второго ранга любой вариантности — для линейных операторов она разная, для билинейных форм одинаковая.

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):

Есть вектор (который, как я понимаю, частный случай контрвариантного тензора 1-го порядка)

Почему частный? Кроме векторов никаких контравариантных тензоров 1-го ранга нет!

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Underwood_
Наберитевсе формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Munin]

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):

Есть вектор (который, как я понимаю, частный случай контрвариантного тензора 1-го порядка), условно (1,2,3).

Вектор - это частный случай тензора. А именно, он - контрвариантный тензор 1-го порядка в точности и есть.

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):

Есть матрица (которая, как я понимаю, частный случай тензора 2-го порядка, причем я не знаю, контр- или ковариантна она)

А вот матрица - это ещё не тензор. (И вектор-столбец - ещё не вектор, и соответственно, ещё не тензор...)

Матрицу можно интерпретировать как тензор. И несколькими способами. И увы, тут никто за вас не решит, как именно.

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):

условно ((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)).

Здесь положено писать так (нажмите на кнопку "Цитата", чтобы увидеть код):

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 \\ 32 \\ 50 \end{pmatrix}$$

----------------

Можете смотреть на матрицы и на тензоры как на разные "миры". Между ними есть соответствие, но не полное: некоторые произведения матриц можно приравнять произведениям тензоров - они изоморфны. Но произведения тензоров богаче, разнообразнее. А с другой стороны, у матриц бывают разные размеры по столбцам и строкам, а у тензоров - всё одинаковое.

Обычно матрицами записывают векторы-столбцы и матрицы-операторы в пространстве векторов-столбцов. При этом, подразумевается какой-то один умолчательный базис - причём ортонормированный. Если менять базис, то вся формула, составленная из матриц, поменяется по определённым правилам.

А тензорами записывают векторы и операторы в пространстве этих векторов, и более высокоранговые объекты. При этом, базис часто не подразумевается, хотя может и подразумеваться. Если менять базис, то тензорная формула не меняется вообще - в этом её преимущество перед матричной, одно из.

Когда вы пишете матричную формулу, то вы можете записать её в безындексной форме: например, $ABc.$ А потом уже, расставить и поименовать индексы, причём по правилу: последний индекс предыдущей матрицы совпадает с первым индексом последующей матрицы. Индексы подчиняются порядку умножения в формуле. Так, у вас будет:

$$ABc=\sum\sum A_{\_\,\_}B_{\_\,\_}c_{\_}=\sum_j\sum_k A_{ij}B_{jk}c_k.$$

А когда вы пишете тензорную формулу, то вы изначально пишете её в индексной форме, например: $A^i{}_j B^j{}_k c^k.$ Здесь индексы сами подчиняют себе порядок умножения в формуле: если бы эти индексы были расставлены иначе, то и умножение происходило бы иначе: можно записать $A^j{}_k B^i{}_j c^k,$ и это будет совсем другая формула: $A^j{}_k B^i{}_j c^k=B^i{}_j A^j{}_k c^k.$ А вот порядок сомножителей, как видите, можно менять безболезненно. Как именно будет вычисляться формула, определяют именно индексы:

$$A^i{}_j B^j{}_k c^k=\sum_j\sum_k A^i{}_j B^j{}_k c^k.$$