2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение тензоров
Сообщение30.04.2015, 02:58 


30/04/15
15
Есть вектор (который, как я понимаю, частный случай контрвариантного тензора 1-го порядка), условно $\begin{pmatrix}1\; 2\; 3\end{pmatrix}\!$. Есть матрица (которая, как я понимаю, частный случай тензора 2-го порядка, причем я не знаю, контр- или ковариантна она), условно $\begin{pmatrix}1\;2\;3\;\\4\;5\;6\\7\;8\;9\end{pmatrix}$. Если я хочу перемножить первое и второе, я просто пользуюсь правилом произведения вектора на матрицу, получается $\begin{pmatrix}30 \; 36 \; 42 \end{pmatrix}$. А если второе на первое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение30.04.2015, 03:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9592
Кентакска волост
Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):
А если второе на первое?
Транспонировать вектор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение30.04.2015, 03:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):
Есть матрица (которая, как я понимаю, частный случай тензора 2-го порядка, причем я не знаю, контр- или ковариантна она)
Матрица может быть и у линейного оператора, и у билинейной формы, которые, кроме того, могут брать аргументы и из сопряжённого пространства. Так что получаются тензоры второго ранга любой вариантности — для линейных операторов она разная, для билинейных форм одинаковая.

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):
Есть вектор (который, как я понимаю, частный случай контрвариантного тензора 1-го порядка)
Почему частный? Кроме векторов никаких контравариантных тензоров 1-го ранга нет!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.04.2015, 15:52 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5727
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Underwood_
Наберитевсе формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение тензоров
Сообщение30.04.2015, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):
Есть вектор (который, как я понимаю, частный случай контрвариантного тензора 1-го порядка), условно (1,2,3).

Вектор - это частный случай тензора. А именно, он - контрвариантный тензор 1-го порядка в точности и есть.

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):
Есть матрица (которая, как я понимаю, частный случай тензора 2-го порядка, причем я не знаю, контр- или ковариантна она)

А вот матрица - это ещё не тензор. (И вектор-столбец - ещё не вектор, и соответственно, ещё не тензор...)

Матрицу можно интерпретировать как тензор. И несколькими способами. И увы, тут никто за вас не решит, как именно.

Underwood_ в сообщении #1009429 писал(а):
условно ((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)).

Здесь положено писать так (нажмите на кнопку "Цитата", чтобы увидеть код):
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 14 \\ 32 \\ 50 \end{pmatrix}$$

----------------

Можете смотреть на матрицы и на тензоры как на разные "миры". Между ними есть соответствие, но не полное: некоторые произведения матриц можно приравнять произведениям тензоров - они изоморфны. Но произведения тензоров богаче, разнообразнее. А с другой стороны, у матриц бывают разные размеры по столбцам и строкам, а у тензоров - всё одинаковое.

Обычно матрицами записывают векторы-столбцы и матрицы-операторы в пространстве векторов-столбцов. При этом, подразумевается какой-то один умолчательный базис - причём ортонормированный. Если менять базис, то вся формула, составленная из матриц, поменяется по определённым правилам.

А тензорами записывают векторы и операторы в пространстве этих векторов, и более высокоранговые объекты. При этом, базис часто не подразумевается, хотя может и подразумеваться. Если менять базис, то тензорная формула не меняется вообще - в этом её преимущество перед матричной, одно из.

Когда вы пишете матричную формулу, то вы можете записать её в безындексной форме: например, $ABc.$ А потом уже, расставить и поименовать индексы, причём по правилу: последний индекс предыдущей матрицы совпадает с первым индексом последующей матрицы. Индексы подчиняются порядку умножения в формуле. Так, у вас будет:
$$ABc=\sum\sum A_{\_\,\_}B_{\_\,\_}c_{\_}=\sum_j\sum_k A_{ij}B_{jk}c_k.$$
А когда вы пишете тензорную формулу, то вы изначально пишете её в индексной форме, например: $A^i{}_j B^j{}_k c^k.$ Здесь индексы сами подчиняют себе порядок умножения в формуле: если бы эти индексы были расставлены иначе, то и умножение происходило бы иначе: можно записать $A^j{}_k B^i{}_j c^k,$ и это будет совсем другая формула: $A^j{}_k B^i{}_j c^k=B^i{}_j A^j{}_k c^k.$ А вот порядок сомножителей, как видите, можно менять безболезненно. Как именно будет вычисляться формула, определяют именно индексы:
$$A^i{}_j B^j{}_k c^k=\sum_j\sum_k A^i{}_j B^j{}_k c^k.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group