Скрещивающиеся прямые

[INGELRII]

grizzly
Я пристрастный судья, согласен. Но это не мешает мне сохранить уверенность в красоте и простоте моего решения. Скорее даже помогает А если не секрет, какое именно место там вызывает трудности для понимания? С радостью поясню подробнее.

[grizzly]

INGELRII
Ни коим образом не хотел бы умалять Ваших достижений в решении этой задачи, которая была признана всеми достаточно сложной и интересной. И я ведь не говорю о пробелах в Вашем решении. Но предложенная мной компиляция идей (Ваших и Evgenjy, но ценность идеи Evgenjy мне в данном случае представляется выше -- я просто чуть аккуратнее, имхо, пересказал его решение) содержит все необходимые рассуждения, по строгости и подробности ни в чём не уступает Вашему решению, но оно в несколько раз короче -- именно за счёт идейной составляющей. Лично для меня это очень важный критерий.

(Оффтоп)

Я ведь не критики ради -- мне действительно интересно мнение сообщества по вопросу понимания. Давно мечтаю поднять мега-тему "Понимания" в "Свободном полёте". Но всё ждал, пока улягутся философские страсти, а теперь жду подходящего настроения.

(Оффтоп)

А с Evgenjy у меня были тёрки в другой теме, где мы здорово повздорили, но так и не пришли к согласию. Так что мне "болеть" за его решение не было ни малейшего резону. Тут было бы уместнее сказать, что "он мне враг, но истина дороже" (шутка, конечно :)

[Skeptic]

Проведём прямую, пересекающую скрещивающиеся прямые $a$, $b$ и $c$ в точках $A$, $B$ и $C$. Для определённости, считаем точку $B$ внутренней. Через отрезок $AC и прямую $b$ проведём плоскость. Любой треугольник, построенный основании $AC с вершиной на прямой $b$ будет располагаться и на прямых $a$, $b$ и $c$. Одним из таких треугольников может быть прямоугольный треугольник.
Для прямоугольных треугольников задача решена.

[INGELRII]

grizzly
Зато мое решение можно изложить вообще без формул, и оно в понятности не проиграет. Но предлагаю уже прекратить холивар и признать, что все мы, нашедшие решения, молодцы!

А что скажете о жутком случае общей параллельной плоскости? У меня даже для равнобедренных треугольников возникает проблема. Не могу построить его так, чтобы угол был сколь угодно близок к развернутому. К нулю легко, а к развернутому никак. Соответственно, и метод имени меня применить невозможно. Есть идеи?

[Brukvalub]

Skeptic в сообщении #1008864 писал(а):

... Одним из таких треугольников может быть прямоугольный треугольник.
Для прямоугольных треугольников задача решена.

А карась икру метал, за что его уважают металлисты. А треугольник может быть и не одним, и не прямоугольным, вот задача и не решена.
Не нужно нести бред в математических темах.

[grizzly]

INGELRII в сообщении #1008872 писал(а):

А что скажете о жутком случае общей параллельной плоскости? У меня даже для равнобедренных треугольников возникает проблема. Не могу построить его так, чтобы угол был сколь угодно близок к развернутому.

Почему не получается? Давайте я попробую нестрогими рассуждениями на пальцах показать, что любой треугольник можно построить. А Вы ткнёте меня в проблемное место. Но для начала скажу, как моя интуиция пришла к такой идее -- я представил себе всю 3D-картинку в чудовищно мелком масштабе и решил, что расстояние между параллельными плоскостями принципиальной роли не играет.

Посмотрим на три параллельные плоскости, на которых лежат наши прямые. Возьмём для определённости ту, что лежит между двумя другими. Спроецируем на неё прямые с двух других плоскостей. Рассмотрим теперь уже плоскую задачу. Решив её, "вернём" полученное решение обратно в пространство, чуть подправив положение точек. Мы сможем это сделать из соображений непрерывности (не знаю, насколько сложно будет подобрать нужную параметризацию, но надеюсь, что не особенно сложно). А решить плоскую задачу должно быть намного проще (я думаю, что решение на плоскости всегда найдётся).

Ваша интуиция согласится взять эту идею за основу? Если да, то какой из шагов рассуждения "на пальцах" вызывает наибольшие сомнения?

[unistudent]

Прикольная дискуссия
grizzly, не знаю, мне как то и плоская задача не очень то очевидна. Ну а переход из плоскости снова в 3D и подавно..

[grizzly]

unistudent в сообщении #1008914 писал(а):

не знаю, мне как то и плоская задача не очень то очевидна. Ну а переход из плоскости снова в 3D и подавно..

Это здорово! Значит, как минимум, получилось сформулировать по дороге неочевидный плоский аналог задачи. (Там тоже свои подзадачи -- (а) прямые общего положения и (б) три прямые пересекаются в одной точке.)

А как предложенные решения, которые используют идеи параметризации -- они для Вас достаточно убедительны?

Но вызов принят -- я поищу пока идею решения плоской задачи.

[unistudent]

grizzly в сообщении #1008950 писал(а):

А как предложенные решения, которые используют идеи параметризации -- они для Вас достаточно убедительны?

Эта там, где третья прямая пересекает перпендикулярную плоскость внутри окружности? Нормально, вроде-бы, но непонятно..

[grizzly]

unistudent в сообщении #1008961 писал(а):

Нормально, вроде-бы, но непонятно..

Тогда Вам от меня ожидать нечего :) В любом случае я даже если и дам решение оставшейся задачи или её части, то оно не будет алгебраическим. Я потому и задал такой вопрос -- будьте уверены, что в нём не было никакого подвоха.

[Evgenjy]

Решение при наличии общей параллельной плоскости $Q$.
Воспользуемся тем же построением со специальным выбором.
1 Прямые $a$ и $b$ такие, что угол между ними не менее $\pi/3$. Проведем плоскость, которая параллельна прямой $c$ и перпендикулярна $Q$. Точки пересечения построенной плоскости с прямыми $a$ и $b$ будут точками $A$ и $B$. На отрезке $AB$ строим треугольник $ABC$ так, чтобы угол $C$ был не более $\pi/3$. Вращаем треугольник $ABC$ вокруг $AB$. Если отодвигать плоскость в бесконечность, то при достаточно большом удалении прямая $c$ пройдет внутри окружности.
2 Второе положение точек $A$ и $B$, когда отрезок $AB \perp Q$.
3 При движении из первого положения во второе точка пересечения с прямой $c$ из внутренности окружности непрерывно уходит в бесконечность.
4 Особый случай, когда все углы между всеми прямыми равны $\pi/3$, а треугольник равносторонний. В этом случае задача решения не имеет.

[grizzly]

Evgenjy
Пока не принимается. Я привык читать доказательства с конца, а тут сразу такое:

Evgenjy в сообщении #1008965 писал(а):

4 Особый случай, когда все углы между всеми прямыми равны $\pi/3$, а треугольник равносторонний. В этом случае задача решения не имеет.

Что значит "задача решения не имеет"? Ваш метод его не находит? Потому как совсем несложно привести явный пример существования решения при заданных условиях.
Ну вот, например: плоскость $Q$ перпендикулярна оси $OX$, одна прямая -- ось $OZ$, вторая проходит через точку $A=(1;0;0)$, третья -- через точку $B=(-1;0;0)$ (углы между прямыми заданы, так что этих данных достаточно с точностью до симметрий). Если выбрать на оси $OZ$ точку $C=(0;0;\sqrt{3})$, получим равносторонний треугольник $ABC$.

Посмотрите, пжл, в чём проблема и тогда продолжим обсуждение.

[unistudent]

В тех же обозначениях, что и раньше

$$(a,a)=A_0+2A_tt+t^2,$$

где $A_0=A_2^2+A_3^2, \quad A_t=A_3\tau_3.$

$$(b,b)=B_0+2B_ss+s^2,$$

где $B_0=B_2^2+B_3^2, \quad B_s=B_3\kappa_3.$

$$(a,b)=C_0+C_s s+C_t t+C_{ts} st, \qquad (1) $$

где

$C_0=B_3A_3+B_2A_2(\vec{v},\vec{g}), \quad C_s=A_3\vec{\kappa_3}+A_2(\vec{v},\vec{\kappa}), \quad C_t=B_3\tau_3+B_2(\vec{\tau},\vec{g}), \quad C_{ts}=(\vec{\tau},\vec{\kappa}). $

Для $A_3,B_3$ имеем

$$A_3=C-\delta, \quad B_3=-C-\delta,$$

где $C \ge 0,$ а $\delta$-свободный параметр.
Треугольник равнобедренный, когда $(a,a)=(b,b)$. Соответствующее этому условию уравнение

$$(t+A_t)^2-(s+B_s)^2=A_t^2-B_s^2+B_0-A_0 \qquad (2)$$

- это ур-е гиперболы. Чтобы треугольник был правильным, надо, чтобы на этой гиперболе существовала точка, удовлетворяющая условию

$$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{(a,b)}{(a,a)}.$$

Выражаем из (2) $s$

$$s=\sqrt{(t+A_t)^2+K}-B_s, \quad K=-A_t^2+B_s^2-B_0+A_0$$

и подставляем в (1):

$$(a,b)=C_0+C_t t+(C_s +C_{ts} t)(\sqrt{(t+A_t)^2+K}-B_s). $$

Рассматриваем функцию переменного $t$:

$$\cos\theta=f(t;\delta)= \frac{C_0+C_t t+(C_s +C_{ts} t)(\sqrt{(t+A_t)^2+K}-B_s)}{A_0+2A_tt+t^2}.$$

Достаточно показать, что существуют значения $t$, при которых $\cos\theta \ge 1/2$.

[grizzly]

unistudent
Посмотрел плоскую задачу. Уверился в том, что решение всегда существует. Элегантного решения пока не вижу, а с тупым описанием перебора случаев пока повременю -- авось и вовсе не потребуется.

Evgenjy
Очевидно, что переход от плоского решения к пространственному с небольшой потерей точности всегда возможен. Также очевидно, что эту потерю можно сделать сколь угодно малой. Чуть менее очевидно, что после перехода в пространство эту потерю точности можно устранить. Я в этом по прежнему уверен (хотя и не прилагал пока усилий по обоснованию). Могу поставить 3 очка репутации на то, что решение существует всегда, без исключений.

[unistudent]

grizzly А вот я склоняюсь к тому, что существует такая конфигурация, для которой правильный треугольник построить нельзя, ни в 3D ни на плоскости