2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ
Сообщение22.03.2015, 10:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
maximav
Задумчиво. По-моему, Вы ошибаетесь. Свойство разрешимости групп Ли никак не связано с методом последовательного исключения переменных.
Но если таки связано, было бы крайне любопытно узнать, как это..

(Оффтоп)

Кстати, интересно, какие сейчас есть новости по части классификации конечномерных групп Ли? Например, разрешимых, или, к примеру, нильпотентных..

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ
Сообщение23.03.2015, 21:32 


19/03/15
291
Слова "треугольный" и "исключение по Гауссу" были исключительно мнемоническими. Возьмите любую 2-мерную алгебру и приведите ее к явно разрешимому виду. Вы там увидите и "треугольник" и "гауссовское исключение". Общая Жордано-Гельдеровская башня тоже с очевидностью может быть проинтерпретирована этими словами. Если далее перегнать любое ур-е в систему первого порядка, то они вообще все линеаризуемы (локально). Тогда вопрос-ответ вряд ли может не использовать слова типа "над каким дифф полем". На таком контактном языке разница между алгебрами симметрий как бы исчезает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ
Сообщение24.03.2015, 07:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО

(Откланиваюсь)

К сожалению, ничего не понял из Вашего текста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ
Сообщение24.03.2015, 13:10 
Аватара пользователя


12/03/11
688

(Оффтоп)

Мне это напоминает генератор рефератов Яндекса :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ
Сообщение26.04.2015, 20:12 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Еще чутка размышления про линеаризуемость и алгебру Ли.
Рассмотрим ОДУ 3-го порядка. Пусть у него в алгебре симметрий есть абелева подалгебра размерности 3.
Можно перейти в новые координаты, в которых один из инфинитиземальных операторов принимает вид
$$X_1 = \frac{d}{du},$$
Тогда:
1. С учетом коммутирования $X_1$ с $X_2$ и $X_3$
$$X_2 = f_1(t) \frac{d}{du} + g_1(t) \frac{d}{dt}, X_3 = f_2(t) \frac{d}{du} + g_2(t) \frac{d}{du},$$
2. А с учетом коммутирования $X_2$ и $X_3$ между собой сразу выводим отсюда либо три оператора линейно зависимы, либо $X_2 = f_1(t) \frac{d}{du}$ и $X_3 = f_2(t) \frac{d}{du}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ
Сообщение27.04.2015, 07:53 
Аватара пользователя


12/03/11
688
3. Три инфинитиземальных генератора порождает группу симметрий
$$U = u + C_1 f_1(t) + C_2 f_2(t) + C_3 f_3(t)$$
4. Так как функции $f_1(t), f_2(t), f_3(t)$ линейно независимы, то их вронскиан не равен нулю, значит варьируя $C_1, C_2, C_3$ можно добиться того, что $U(0), U'(0), U''(0)$ принимали любые наперед заданные значения, то есть
$$U(t) = u(t) + C_1 f_1(t) + C_2 f_2(t) + C_3 f_3(t),$$
где $u(t)$ - фиксированное решение, все возможные решение дифференциального уравнения в новых координатах.
P.S: вроде все логично, да? :roll:
2P.S: вот тут я немного затупил, как из последнего факта следует, что уравнение линейное? :roll:
3P.S: модератору: можно присоединить к последнему посту, увы не редактируется :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ
Сообщение27.04.2015, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Вроде бы все верно, только одна из 3 функций константа.
Помнится, техника там такая: к трем известным решениям добавляем четвертое общее, и пишем равенство нулю вронскиана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 82 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group