Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ

[пианист]

Откуда куда наследуется?
Если Вы подразумеваете переход к новым координатам, в которых оду линеаризуется, то да, наследуется.
Алгебраически это просто тот же самый объект, просто записанный в других координатах.

[DLL]

Отлично
Давайте подумаем. У линейных ОДУ наверняка какая-нибудь очень специфическая алгебра?

[пианист]

Я не знаю.
Возможно, чем-то поможет: существуют результаты Ли, аналогичные теории Галуа, но только для ОДУ (вместо алгебраических).
Ссылками помочь, увы, не смогу.

[DLL]

Спасибо за ответ. Давайте все-таки чуточку подумаем, возможно все-таки это достаточно просто.
Дело в том, что абстрактную алгебру Ли точечных симметрий для ОДУ порядка 2 и более можно построить алгоритмически, не решая определяющих уравнений.
Может как-то возможно идентифицировать линеаризуемость ОДУ только по алгебре?
Есть гипотеза - что наличие в алгебре Ли абелевой подалгебры той же размерности, что и порядок ОДУ, является необходимым и достаточным условием линеаризуемости?

[пианист]

Ну, давайте попробуем. Может, еще кто подтянется..
Значит, Вы хотите доказать достаточность этого условия? Необходимость, очевидно, сомнений не вызывает..
В качестве первого шага я бы попробовал помедитировать над формулами действия этой подгруппы на некоторое решение ("размножение" решений) в, так сказать, абстрактной ситуации, без конкретизации уравнения и собственно группы. Типа, например, попробовать избавиться от групповых параметров дифференцированиями, чтобы они становились константами интегрирования получающегося диффура.

[VanD]

DLL в сообщении #954780 писал(а):

Есть гипотеза - что наличие в алгебре Ли абелевой подалгебры той же размерности, что и порядок ОДУ, является необходимым и достаточным условием линеаризуемости?

Если я не обсчитался нигде, то в качестве контрпримера подходит $u_{xx} = \sin u_x$.
На основании теоремы Ли о том, что уравнение
порядка 2 линеаризуемо точечной заменой если и только если размерность алгебры точечных симметрий есть 8, а у данного примера вроде она 2, однако, она абелева.

Может быть, разумно затребовать, чтобы поля в этой подалгебре все отличались на функциональный множитель и как-то оговорить еще одну заведомо неучтенную этой подалгеброй симметрию, которая всегда есть у линейных уравнений. Хотя бы ее наличие, но может и еще какую связь с подалгеброй - более тонкую.

P.S.
Хотя если алгоритмически находится только размерность, то из дополнительных требований только то, что подалгебра эта не совпадает со всей алгеброй имеет смысл в Ваших изысканиях. Но как тогда планируете Вы установить абелевость подалгебры нужной размерности? Таким образом, возникает вопрос: что именно Вы умеете находить алгоритмически, чтоб понять, достаточно ли этого для того, чтобы сформулировать такой критерий только на основании данных, полученных этим алгоритмом?

[пианист]

Согласен. Группа $\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial u}$, вне всякого сомнения, абелева, и я согласен с VanD, что других симметрий уравнение $u_{xx}=\sin u_x$ не имеет. А линейное уравнение второго порядка обладает 8-параметрической группой (насчет в обратную сторону не встречал, но верю; но это в любом случае неважно), так что Ваша, DLL, гипотеза, увы, не проходит.
Ситуация более сложная: произвольную абелеву группу соответствующего размера превратить в добавление фундаментальной системы решений не получается, есть какое-то препятствие.

[DLL]

Цитата:

Если я не обсчитался нигде, то в качестве контрпримера подходит $u_{xx} = \sin u_x$.
На основании теоремы Ли о том, что уравнение
порядка 2 линеаризуемо точечной заменой если и только если размерность алгебры точечных симметрий есть 8, а у данного примера вроде она 2, однако, она абелева.

Да, Вы правы.

Цитата:

Хотя если алгоритмически находится только размерность, то из дополнительных требований только то, что подалгебра эта не совпадает со всей алгеброй имеет смысл в Ваших изысканиях. Но как тогда планируете Вы установить абелевость подалгебры нужной размерности? Таким образом, возникает вопрос: что именно Вы умеете находить алгоритмически, чтоб понять, достаточно ли этого для того, чтобы сформулировать такой критерий только на основании данных, полученных этим алгоритмом?

Судя по этой статье помимо размерности можно и всю алгебру Ли найти

[VanD]

DLL в сообщении #955282 писал(а):

помимо размерности можно и всю алгебру Ли найти

Если я правильно понял, то в статье говорится о возможности находить структурные константы. Но навскидку для случая одного уравнения есть необходимое условие на искомую подалгебру, которое состоит в том, чтобы все поля в ней отличались друг от друга на функциональный множитель. Может, это можно выразить и в терминах структурных констант общей алгебры точечных симметрий, но я не знаю как именно. Хотя может выполнение этого условия вытекает из чего-нибудь более общего необходимого для линеаризуемости, что можно установить по структурным константам.

А про то, что размерность 8 есть критерий линеаризуемости для уравнений 2-ого порядка - это я находил у Ибрагимова в "Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений", теорема 1.6.

[VanD]

А вообще это должно быть удобно само по себе - алгоритмическое нахождение структурных констант алгебры точечных симметрий. Иногда не получается решить диффур в лоб, а искать все его симметрии (в слабой надежде, что найдётся разрешимая группа подходящей размерности) лень. Но если знать, что разрешимая группа заведомо найдётся - это уже мотивация)

[пианист]

Да, любопытно.
Жаль, что только абстракт.
Не совсем уловил, что автор имеет в виду, педалируя противопоставление эвристический - не эвристический.

[DLL]

Вы об этом?

Цитата:

There are symbolic programs based on heuristics that sometimes, but not always, explicitly integrate the determining equations for the infinitesimal Lie symmetries admitted by systems of differential equations.

Как правило в символьных пакетах переопределенная система определяющих уравнений вначале приводится в инволюции, а потом используя эвристические алгоритмы пакет пытается проинтегрировать в явном виде (например здесь, п. 3, пп. 3.1). Очевидно, конечно, что не может быть неэвристического алгоритма, который интегрирует всякую систему определяющих уравнений, поскольку для линейных ОДУ: решить само ОДУ и решить систему определяющих уравнений по сути вещи одинаковые

[maximav]

Ветку внимательно не прочитал, но подкину мысль, кажется не озвученную. Алгебра симметрий должна быть разрешима. Это алгоритмический рецепт (как делать не знаю, но люди это делают). Это все к ОДУ. Потом формально ищи замены переменных и своди к треугольному виду. Если PDE, то там все бесконечно мерно, поэтому "полностью проинтегрировать" - это другая песня. Критериев нет. Теория интегрируемых систем. Иногда говорят про $C$-интегрируемые и про $S$-интегрируемые (солитоны).

[DLL]

Спасибо за комментарий. Не могли бы Вы уточнить, что здесь имеете ввиду:

Цитата:

Потом формально ищи замены переменных и своди к треугольному виду.

[maximav]

Симметрия не зависит от координат. Значит, если она есть и ее алгебра совпадает алгеброй для линейного уравнения, то это просто одно и тоже ур-е, записанное в разных координатах. Правда, припоминаю, что есть тонкости про то, что если алгебры изоморфны, то это не всегда значит, что группы тоже изоморфны. Но подозреваю, что для диффуров это не важно. Локально замена должна быть. Теперь смотрим на строение алгебры линейных уравнений. Треугольный вид - это когда алгебры сравнимаются. Там, грубо говоря, разрешимость - это типа исключения переменных по Гауссу. Не знаю, есть ли классификация. Но для 3го порядка, кажется, писали. Ибрагимов, Ли..? Наверняка далее есть рецепты-алгоритмы, как находить замены (дифыеренциальные), сводящие оду к найденному лоду из списка. Деталей для высшего порядка не подскажу. Для 2-го - это опять, Ли-Ибрагимов. Не исключено, что для высших порядков наро не прописывал технику, так как быстро растут кол-ва подслучаев. Но кто знает....где компьютерщики. Они любят такое программировать.