Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ

[пианист]

maximav
Задумчиво. По-моему, Вы ошибаетесь. Свойство разрешимости групп Ли никак не связано с методом последовательного исключения переменных.
Но если таки связано, было бы крайне любопытно узнать, как это..

(Оффтоп)

Кстати, интересно, какие сейчас есть новости по части классификации конечномерных групп Ли? Например, разрешимых, или, к примеру, нильпотентных..

[maximav]

Слова "треугольный" и "исключение по Гауссу" были исключительно мнемоническими. Возьмите любую 2-мерную алгебру и приведите ее к явно разрешимому виду. Вы там увидите и "треугольник" и "гауссовское исключение". Общая Жордано-Гельдеровская башня тоже с очевидностью может быть проинтерпретирована этими словами. Если далее перегнать любое ур-е в систему первого порядка, то они вообще все линеаризуемы (локально). Тогда вопрос-ответ вряд ли может не использовать слова типа "над каким дифф полем". На таком контактном языке разница между алгебрами симметрий как бы исчезает.

[пианист]

(Откланиваюсь)

К сожалению, ничего не понял из Вашего текста.

[DLL]

(Оффтоп)

Мне это напоминает генератор рефератов Яндекса

[DLL]

Еще чутка размышления про линеаризуемость и алгебру Ли.
Рассмотрим ОДУ 3-го порядка. Пусть у него в алгебре симметрий есть абелева подалгебра размерности 3.
Можно перейти в новые координаты, в которых один из инфинитиземальных операторов принимает вид

$$X_1 = \frac{d}{du},$$

Тогда:
1. С учетом коммутирования $X_1$ с $X_2$ и $X_3$

$$X_2 = f_1(t) \frac{d}{du} + g_1(t) \frac{d}{dt}, X_3 = f_2(t) \frac{d}{du} + g_2(t) \frac{d}{du},$$

2. А с учетом коммутирования $X_2$ и $X_3$ между собой сразу выводим отсюда либо три оператора линейно зависимы, либо $X_2 = f_1(t) \frac{d}{du}$ и $X_3 = f_2(t) \frac{d}{du}$.

[DLL]

3. Три инфинитиземальных генератора порождает группу симметрий

$$U = u + C_1 f_1(t) + C_2 f_2(t) + C_3 f_3(t)$$

4. Так как функции $f_1(t), f_2(t), f_3(t)$ линейно независимы, то их вронскиан не равен нулю, значит варьируя $C_1, C_2, C_3$ можно добиться того, что $U(0), U'(0), U''(0)$ принимали любые наперед заданные значения, то есть

$$U(t) = u(t) + C_1 f_1(t) + C_2 f_2(t) + C_3 f_3(t),$$

где $u(t)$ - фиксированное решение, все возможные решение дифференциального уравнения в новых координатах.
P.S: вроде все логично, да?
2P.S: вот тут я немного затупил, как из последнего факта следует, что уравнение линейное?
3P.S: модератору: можно присоединить к последнему посту, увы не редактируется

[пианист]

Вроде бы все верно, только одна из 3 функций константа.
Помнится, техника там такая: к трем известным решениям добавляем четвертое общее, и пишем равенство нулю вронскиана.