Размер алгебры Ли и линеаризуемость ОДУ

[DLL]

Есть ли какая-нибудь известная связь между линеаризуемостью (скалярного) ОДУ и размерностью алгебры Ли его точечных симметрий?
P.S: например, если размерность алгебры Ли меньше какого-то числа => то ОДУ априори не может быть линеаризован точечными преобразованиями?

[VanD]

Вроде критерий для ОДУ 2 порядка ещё сам Ли доказал, если я ничего не путаю. А так, конкретно для ОДУ, о других результатах я не в курсе. Но я ими и не интересовался, а для УРЧП как ни странно всё проще).

[g______d]

Предупреждаю и заранее извиняюсь, что могу попасть пальцем в небо.

Предположим, что уравнение линеаризуемо. Тогда есть соответствие между симметриями уравнениями и симметриями линейного уравнения. Т. е. должно быть как минимум столько же симметрий, сколько у линейного уравнения?

[DLL]

То есть по логике, должно быть не меньше симметрий, чем порядок уравнения (как минимум)?

[g______d]

DLL в сообщении #942691 писал(а):

То есть по логике, должно быть не меньше симметрий, чем порядок уравнения (как минимум)?

Напишите точно, что Вы имеете в виду под симметрией. Бывают же какие-то точечные и не-точечные...

[VanD]

DLL в сообщении #942691 писал(а):

То есть по логике, должно быть не меньше симметрий, чем порядок уравнения (как минимум)?

Это верно. Только это вряд ли критерий. У ОДУ $u^{(n)}=0$ при $n >2$ будет алгебра точечных симметрий размерности $n +4$, например. Тоже теорема Ли вроде бы.

[DLL]

Цитата:

Напишите точно, что Вы имеете в виду под симметрией. Бывают же какие-то точечные и не-точечные...

Да, здесь везде речь о точечных преобразованиях и точечных симметриях.

Цитата:

Это верно. Только это вряд ли критерий. У ОДУ $u^{(n)}=0$ при $n >2$ будет алгебра точечных симметрий размерности $n +4$, например. Тоже теорема Ли вроде бы.

Я в данном случае искал какие-нибудь простые необходимые условия.
Дело в том, что размерность алгебры Ли точечных симметрий для ОДУ может быть найдена алгоритмически, не решая определяющие уравнения.

[Oleg Zubelevich]

еще хорошо помнить, что вопрос о существовании групп симметрий в окрестности неособой точки ДУ решается тривиально в силу теоремы о выпрямлении векторного поля.

[DLL]

Можете чуть подробнее это пояснить?

[VanD]

Нутк, теорема о выпрямлении локально наше все. Тут скорее не группы, действующие на окрестнось неособой точки при ее помощи находить. Тут локально все решения при ее помощи находить можно, если известен выпрямляющий локально диффеоморфизм. Речь-то я так понимаю о группах, которые всякое решение локально перегоняют в решение.

[пианист]

Действие-то довольно банальное: под систему в канонической форме $\dot {x^i}={\xi}^i(x)$ подбираем замену переменной $x'=f(x)$, такую, чтобы в переменных $x'$ правые части $\xi'$ имели бы вид $(1,0,...,0)$.
Вся проблема в том, что нахождение такой замены в точности равносильно нахождению общего интеграла исходной системы :))

[Oleg Zubelevich]

Есть несколько постановок задачи. Одна постановка звучит так : найти явно ( в том или ином смысле) группу симметрий; вторая постановка : существует ли группа симметрий? Второй вопрос имеет смысл ставить только на каких-то инвариантных множествах или в окрестности положения равновесия. Это все прописи как бэ.

[VanD]

Oleg Zubelevich в сообщении #942965 писал(а):

Второй вопрос имеет смысл ставить только на каких-то инвариантных множествах или в окрестности положения равновесия. Это все прописи как бэ.

Может я не так Вас понял, но второй вопрос имеет смысл ставить о локальных группах, которые всякое решение локально преобразуют в решение. В общем-то именно они называются симметриями дифференциальных уравнений, насколько мне известно.

[Oleg Zubelevich]

VanD в сообщении #942975 писал(а):

локальных группах, которые всякое решение локально преобразуют в решение

группа биекций множества решений устроит?

[VanD]

Oleg Zubelevich в сообщении #942987 писал(а):

VanD в сообщении #942975 писал(а):

локальных группах, которые всякое решение локально преобразуют в решение

группа биекций множества решений устроит?

Занятно, но я, конечно, не об этом. Я о том, что получается из подходящего касательного векторного поля экспоненцированием. Представьте себе, этот вопрос нетривиален и Ли занимался именно этим в первую очередь.