Начала статистики, понятие "реализации" случайной величины

[Otta]

upgrade в сообщении #1007494 писал(а):

Лежит мешок, в нем очень много шаров, это что - все случайные величины?

Нет.

upgrade в сообщении #1007494 писал(а):

Нет, это элементарные события.

С чего Вы так решили? Что - элементарные события? в каком пространстве?

upgrade в сообщении #1007494 писал(а):

Может опыты (вытаскивание шаров) - случайные величины?

Нет.

upgrade в сообщении #1007504 писал(а):

Выборку можно сделать и для параболы, но ведь не говорится о нескольких функциях с одинаковой правой частью.

Это я отказываюсь понимать. Что значит "сделать выборку для параболы", а также все остальные слова в предложении, которые я понимаю по отдельности, но никак не вместе?

upgrade в сообщении #1007494 писал(а):

Например выпал зеленый шар, какое значение примет функция при его выпадении?

Какая функция?

upgrade в сообщении #1007494 писал(а):

Так что она измеряет функция, какие значения принимает?

Это зависит от функции. Время опоздания автобуса, количество благоприятных исходов в серии из фиксированного числа испытаний, сумма выигрыша при игре в орлянку и т.д. Еще раз:

Otta в сообщении #1007476 писал(а):

Случайная величина это измеримая над алгеброй событий функция из пространства элементарных исходов в $\mathbb R$. (Ну или комплекснозначная.)

Т.о., это числовая функция.

[Александрович]

А чем господа математики, вам это не понравилось?

Александрович в сообщении #1007032 писал(а):

Реализация случайной величины это определение ее значения.

Otta в сообщении #1007520 писал(а):

Случайная величина это измеримая над алгеброй событий функция из пространства элементарных исходов в $\mathbb R$. (Ну или комплекснозначная.)

Для домохозяек сразу не понятно, и поэтому хочется пойти покурить.

[Otta]

Александрович в сообщении #1007542 писал(а):

Для домохозяек сразу не понятно,

Извините, пожалуйста.

[_hum_]

upgrade в сообщении #1007494 писал(а):

Лежит мешок, в нем очень много шаров, это что - все случайные величины?
Нет, это элементарные события.
Может опыты (вытаскивание шаров) - случайные величины?

Советую пользоваться не термином "элементарное событие", а "исход" (потому как не всегда исходы являются событиями).

Таким образом, мешок с шарами - это пространство $\Omega$ возможных исходов $\omega \in \Omega$.
Например, в нашем случае оно может быть записано так (если считать, что у нас в мешке четыре шара, каждый из которых обозначен уникальной буквой и имеет один из трех цветов - черный (black), белый (white) или красный (red)):

$\Omega = \{(\text{A, white}), (\text{B, white}),(\text{C, black}), (\text{D, red})\}$.

Наличие возможности фиксировать вхождение исхода (неважно, случайного или нет) в некоторые подмножества $A \subset \Omega$ (называемые событиями), позволяет говорить о наличии некоей алгебры событий $\mathcal{A}$.

Например, в нашем случае такими множествами (вхождение исхода в которые можно всегда установить) являются, очевидно,

$A_1 = \{(\text{A, white})\} $
$A_2 = \{(\text{B, white})\}$
$A_3 = \{(\text{C, black})\} $
$A_4 = \{(\text{D, red})\}$
$A_5 = \{(\text{A, white}), (\text{B, white})\} $
$A_6 = \{(\text{A, white}), (\text{C, black})\}$
$A_7 = \{(\text{A, white}), (\text{D, red})\}$
$A_8 = \{(\text{B, white}), (\text{C, black})\}$
$A_9 = \{(\text{B, white}), (\text{D, red})\} $
$A_{10} = \{(\text{A, white}),(\text{B, white}), (\text{C, black})\}$
$A_{11} = \{(\text{A, white}),(\text{B, white}), (\text{D, red})\}$
...

(в общем, всевозможные множества, получающиеся из объединений множеств $A_1, A_2, A_3$ (ну и пустое множество до кучи)).

Алгебра событий:

$\mathcal{A} = \{A_1, A_2, \dots\}.$

(Все эти множества соответствуют каким-то событиям, связанным с попаданием исхода в это множество. Например, попадание исхода в множество $A_{10}$ можно понимать как наступление события "появившийся шар - черно-белый". Потому такое и название для множеств.)

Далее, если есть некоторое детерминированное (всегда одинаково действующее) правило, которое любому исходу ставит в соответствие число, и, что важно (хотя не в данном примере), есть возможность фиксировать попадание этого числа в любой числовой интервал (так называемая измеримость правила), то принято говорить о наличии измеримой величины.

В нашем примере в качестве такого правила (такой измеримой величины) может быть выбрано, например, правило $\xi$, которое каждому шару в мешке ставит в соответствие $0$, если шар белый или черный, и $1$ - если шар цветной (то есть, красный). Его можно записать как функцию:

$\xi = \xi(\omega) = 0$, если $\omega \in A_{10}$, иначе $1$.

Или, например, другое правило $\eta$, которое каждому шару ставит в соответствие порядковый номер буквы в алфавите:

$\eta = \eta(\omega) = 1$, если $\omega = (\text{A, white})$; $2$, если $\omega = (\text{B, white})$; $3$, если $\omega = (\text{C, black})$; $4$, если $\omega = (\text{D, red})$.

Или, например, правило $\zeta$, которое можно представить как:

$\zeta = \zeta(\omega) = \xi(\omega) + \eta(\omega)$.

(И вообще, делать всякие алгебраические комбинации этих функций, получая все новые).

Обращаю ваше внимание - до сих пор НИГДЕ не предполагалось, что у нас есть какая-то случайность появления шаров из мешка - все сказанное подходит и в случае, когда из мешка вытаскивание производят совсем не случайно. Иными словами, понятие пространства исходов $\Omega$, алгебры событий $\mathcal{A}$ и измеримой величины не требует наличия случайности! Двойку $(\Omega, \mathcal{A})$ принято называть измеримым пространством (очевидно потому, что оно связано с измерением результатов исходов - неважно, случайных или нет).

А вот теперь, когда у нас есть измеримое пространство и измеримые величины, предположим, что мы обнаружили, что появление исходов мы принципиально не можем предсказать, а можем только предсказать относительную (сколько раз попадает к общему числу наблюдений) частоту $\nu = \nu(A)$ попадания исхода во всякое множество $A \in \mathcal{A}$ при очень большом числе наблюдений. Такую частоту называют вероятностной мерой и обозначают $\mathbf{P} = \mathbf{P}(A)$ (обратите внимание, это функция от множества, а не от исхода), а тройку $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}) $ - вероятностным пространством.
Вот с ним и работает теория вероятностей, высчитывая значения $P(A)$ для одних событий, если знает их для других.
Измеримые величины на вероятностном пространстве принято называть случайными величинами, но не потому, что они меняют свою природу (это как были детерминированные правила (функции), так и остались) - просто их значения начинают вычисляться для случайных исходов.

Значения случайной величины на конкретном исходе называется реализацией случайной величины. Например, в нашем случае, если из мешка был вытащен шар $(\text{D, red})$, то реализацией случайной величины $\xi$ в этом случае будет число $1$, реализацией случайной величины $\eta$ - число $4$, реализацией случайной величины $\zeta$ - число $5$.

(Хорошее правило - чтобы не путаться, обозначать случайные величины греческими буквами (или большими латинcкими), а их реализации - маленькими латинскими. Например, $\xi $- случайная величина, а $x$ - это ее реализация, то есть, $x = \xi(\omega^*)$).

Далее, если смотреть только за появлением реализаций, например, случайной величины $\xi$ и забыть о том, откуда эти числа берутся, то можно их начать воспринимать как исходы в новом, числовом, пространстве исходов $\Omega' = \mathbb{R}$. На этом новом пространстве исходов тогда можно ввести новую алгебру событий (так называемую борелевскую алгебру $\mathcal{B}$), тем самым получив новое измеримое пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B})$, и наделить его вероятностной мерой $P_\xi = P_\xi(B), B \in \mathcal{B}$, соответствующей частоте появления тех или иных событий, связанных с реализацией случайной величины $\xi$, а именно, положить

$P_\xi = P_\xi(B) = \mathbf{P}\{\omega: \, \xi(\omega) \in B\}.$

Вероятностную меру $P_\xi$ принято называть распределением вероятностей (случайной величины $\xi$).

Например, в нашем случае, если шары вытаскивались равновероятно, то распределение вероятностей может быть представлено так:

$P_\xi = P_\xi(B) = $
$3/4$, если борелевское множество $B$ содержит в себе число $0$, но не содержит $1$;
$1/3$ - если не содержит $0$, но содержит $1$;
$1$ - если содержит и $0$ и $1$;
$0$ - если не содержит ни $0$, ни $1$
(Это не очень удобный способ представления распределения, потому используют другие -наиболее часто через функцию распределения $F_\xi = F_\xi(x)$ или ее плотность $f_\xi = f_\xi(x)$).

Тогда получится новое, так называемое, индуцированное случайной величиной $\xi$ вероятностное пространство $(\mathbb{R}, \mathcal{B}, P_\xi)$. С ним проще работать, и при этом оно сохраняет всю информацию для вычисления вероятностей событий, связанных со случайной величиной $\xi$. Потому, если нас только эти события и интересуют - имеет смысл всегда работать с индуцированным пространством, а не исходным, что и делают большинстве случаев.

Как-то так. Хотя, конечно, чтобы это все хорошо осознать, надо повариться в этой теме, порешать задачки. Я привел лишь те моменты, которые принципиальны и позволяют привести голову в порядок, но при этом почему-то редко в такой явной форме встречаются в учебниках, в большинстве которых идет путанница, как и в примере с --mS--, которая в высказываниях смешивала понятия "реализаций" и самих случайных величин, пока я не привел ей цитату из Wiki (и то, не признала свою ошибку).

[Александрович]

Otta в сообщении #1007549 писал(а):

Александрович в сообщении #1007542 писал(а):

Для домохозяек сразу не понятно,

Извините, пожалуйста.

Да Вы, не тушуйтесь. Специалист, хорошо знающий предмет и домохозяйкам понятно объяснит.

[Otta]

Мне казалось, я Вам никак не могла помешать.

[MNikita]

Приятно, что возникла такая дискуссия, ведь на stats.stackexchange.com мне даже ничего не написали (http://stats.stackexchange.com/question ... population).

Впрочем, с тех пор и благодаря обсуждению выше мне стало чуть более ясно.

Дамы и господа, как насчет такого примера: (Вроде бы из "Введения в теорию вероятностей и её приложения" В.Феллера)
Пусть $X_0$ -- величина моей "неудачи" (скажем, время ожидания в очереди). Предположим, мои знакомые подвергли себя опыту того же типа. Обозначим размеры их "неудач" через $X_1,X_2,\ldots$. Сколько (в среднем) знакомых придется мне опросить, пока не встретится человек, размер неудачи которого не меньше, чем у меня?

После формулировки (не у Феллера) читаю:
Формализуем задачу. Допустим, $X_0,X_1,\ldots$ -- независимые величины с одной и той же функцией распределения...

Вопрос прежний: что это за случайные величины (уж где они определены -- Бог с ним, разберемся)? У каждого человека, отстоявшего в той злосчастной очереди, есть такая случайная величина $X_i$? Она у каждого своя? Почему бы не сказать, что у нас есть генеральная совокупность (состоящая из знакомых автора задачи), а мы делаем из неё выборку, замеряем соответствующие величины "неудач" и получаем реализации $x_i$ -- набор значений одной-единственной случайной величины? Короче, откуда берётся несколько случайных величин?!

[arseniiv]

Одна случайная величина сама с собой не независима, так что одной будет недостаточно, т. к. опыты разных знакомых могут никак друг на друга не повлиять, и надо такую ситуацию иметь возможность описать. Набор копий (это то, что я по ошибке называл реализациями) величины уже может быть независимым. В этой задаче, наверно, даже предполагается принять независимость множества величин $\{X_i\}$, хотя обычно это пишут в условии явно.

[--mS--]

upgrade в сообщении #1007469 писал(а):

--mS-- в сообщении #1007443 писал(а):

Выборка из случайных величин

Вот здесь множественное число, а здесь единственное :

--mS-- в сообщении #1007443 писал(а):

функцией $f(x)$ и её значением в одной точке $f(7)$.

Почему вличиН, а не величины?

Слова "выборка из случайных величин" означают "выборка, состоящая из случайных величин". Слово "состоящая" опущено как опускается это же слово в сочетаниях "набор чисел" и т.п.

upgrade в сообщении #1007469 писал(а):

Там где $f(x)=x$ просто функция, она принимает какие то числа, а если речь идет о случайной величине, то она возвращает частоту появления значения $x$ в бесконечном числе опытов.

Я думаю, что Вам следует почитать учебник по теории вероятностей.

-- Пт апр 24, 2015 22:00:41 --

_hum_ в сообщении #1007475 писал(а):

--mS-- в сообщении #1007438 писал(а):

Это у Вас, видимо, плохо с русским. Повторяю: в результате бросания точки наугад на отрезок получится случайная величина с равномерным распределением. В каком месте что Вас не устраивает в этой фразе, мне не интересно.

Повторяю, в результате бросания получается не случайная величина, а реализация случайной величины. Еще раз прочтите:

Увлекательная игра. Давайте, я буду перебирать фразы, описывающие опыт, в которой возникает равномерно распределённая с.в., и каждый раз спрашивать Вас, которое из описаний правильное (т.е. приводит не к реализации, а к с.в.)?

Поехали.

"При бросании точки на отрезок наудачу координата точки будет иметь равномерное распределение".

_hum_ в сообщении #1007475 писал(а):

И если вы продолжите в том же духе, я вынужден буду признать, что в вас говорит не непонимание, а нежелание признать, что вы чего-то не знаете. А это недостойно специалиста.

У Вас очень плохо с терминологией и ещё хуже с русским языком. Вы не чувствуете нюансов терминологии. Поэтому Ваше мнение в вопросах, связанных с теорией вероятностей и математической статистикой, для меня не является авторитетным ни на грош. Можете признавать всё, что хотите, меня это никак не трогает.

[upgrade]

Otta в сообщении #1007520 писал(а):

Что значит "сделать выборку для параболы"

я могу насобирать $f(x)$ ов у параболы, выбирая $x$-ы, как случайно, кидая на ось $OX$ точки, так и пробегая от нуля до, например, числа $10$ и выбрав последовательно $10$ величин.
$f(x)$ примет в обоих случаях значение $f(x)=x^2$,
чем не выборка, не вижу никаких отличий этой выборки от выборки "случайных величин одинаково распределенных" здесь выборка 10 детерминированных величин?: $f(1)=1;g(2)=4;e(3)=9;h(4)=16;j(5)=25...i(10)=100$

Otta в сообщении #1007520 писал(а):

Какая функция?

вот эта

Otta в сообщении #1007476 писал(а):

Случайная величина это измеримая над алгеброй событий функция[b/] из пространства элементарных исходов в $\mathbb R$.

[b]_hum_
спасибо за очень ясное объяснение.

_hum_ в сообщении #1007551 писал(а):

В нашем примере в качестве такого правила (такой измеримой величины) может быть выбрано, например, правило $\xi$, которое каждому шару в мешке ставит в соответствие $0$, если шар белый или черный, и $1$ - если шар цветной (то есть, красный). Его можно записать как функцию:

$\xi = \xi(\omega) = 0$, если $\omega \in A_{10}$, иначе $1$.

Или, например, другое правило $\eta$, которое каждому шару ставит в соответствие порядковый номер буквы в алфавите:

$\eta = \eta(\omega) = 1$, если $\omega = (\text{A, white})$; $2$, если $\omega = (\text{B, white})$; $3$, если $\omega = (\text{C, black})$; $4$, если $\omega = (\text{D, red})$.

Или, например, правило $\zeta$, которое можно представить как:

$\zeta = \zeta(\omega) = \xi(\omega) + \eta(\omega)$.

_hum_ в сообщении #1007551 писал(а):

Например, в нашем случае, если из мешка был вытащен шар $(\text{D, red})$, то реализацией случайной величины $\xi$ в этом случае будет число $1$, реализацией случайной величины $\eta$ - число $4$, реализацией случайной величины $\zeta$ - число $5$.

насколько я понимаю они ($\xi,\eta,\zeta$) одинаково распределены.

[_hum_]

MNikita

Не учите статистику и теорию вероятностей по Феллеру - читать его можно и нужно, но только для погружения в разнообразие интересных задач и способов их решения, но никак не для формирования системного представления о предмете. В этом случае советую использовать книги наподобие Боровкова, Ширяева (если позволяет уровень подготовки).

В статистике тонкие моменты в следующем.

Пусть у нас есть случайная величина $\xi$, например, в опыте с подбрасыванием кубика - число на грани этого кубика.

Рассмотрим ситуацию 1): проводится $n$-незавимых опытов по подбрасыванию одного и того же кубика. Это дает $n$ штук реализаций случайной величины $\xi$:

$ x_1, x_2, \dots, x_n.$

Рассмотрим ситуацию 2): есть $n$-одинаковых кубиков у $n$-разных людей. С наблюдением каждого тогда можно связать аналогичную случайную величину - тем самым имеем $n$-штук одинаковых (как функции) случайных величин $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$. Попросим каждого выполнить один экеперимент с подбрасыванием. В результате получим запись:


$x_1, x_2, \dots, x_n$,

где $x_i$ - реализация случайной величины $\xi_i$.


Рассмотрим ситуацию 3): все, как в ситуации 2), только все люди собраны в одной лаборатории и собираются провести один эксперимент, состоящий в одновременном подбрасывании кубика. Случайные величины в этом случае имеет смысл объединить в один случайный вектор $(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n)$, и считать, что результате эксперимента мы можем наблюдать реализацию этого случайного вектора:

$\mathbf{x} =(x_1, x_2, \dots, x_n)$.


Так вот постулат: никаким способом нельзя различить, как именно были получены записи чисел - в ситуации 1), 2) или 3)!

А потому в зависимости от удобства можете выбирать любой вариант.


На будущее:
есть путаница в литературе: одним и тем же термином "выборка" называют и набор реализаций $x_1,x_2,...,x_n$, и набор случайных величин $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n$, от которых были получены эти реализации. Потому обращайте внимание - обычно, первое пишут маленькими латинскими буквами, а второе - большими или греческими.


И еще, чтоб вы поняли, в чем смысл статистики. В теории вероятностей у нас считается заданным (частично или полностью) вероятностное распределение $P_\xi$ случайной величины $\xi$, и задача состоит в том, чтобы просчитать вероятности событий или какие-то ее характеристики (типа математического ожидания, дисперсии и т.п.). В статистике задача обратная - у нас есть только выборка, то есть, реализации $x_1,x_2,...,x_n$ случайной величины $\xi$. Спрашивается, можно ли по этим числам как-то узнать о распределении $P_\xi$? Ясно, что если $n$ маленькое, то вряд ли мы сможем что-то сказать. Но вот если $n$ становится большим, то в реализациях начинают проявляться закономерности, которые характерны для определенного распределения. Тем самым это распределение можно с определенной степенью точности узнать.


Как-то так.

[upgrade]

--mS-- в сообщении #1007611 писал(а):

Слова "выборка из случайных величин" означают "выборка, состоящая из случайных величин". Слово "состоящая" опущено как опускается это же слово в сочетаниях "набор чисел" и т.п.

так выборка - это реализация исходов случайной величины или нет?
или есть выборка случайных величин, о которой указано вот здесь:

_hum_ в сообщении #1007551 писал(а):

В нашем примере в качестве такого правила (такой измеримой величины) может быть выбрано, например, правило $\xi$, которое каждому шару в мешке ставит в соответствие $0$, если шар белый или черный, и $1$ - если шар цветной (то есть, красный). Его можно записать как функцию:

$\xi = \xi(\omega) = 0$, если $\omega \in A_{10}$, иначе $1$.

Или, например, другое правило $\eta$, которое каждому шару ставит в соответствие порядковый номер буквы в алфавите:

$\eta = \eta(\omega) = 1$, если $\omega = (\text{A, white})$; $2$, если $\omega = (\text{B, white})$; $3$, если $\omega = (\text{C, black})$; $4$, если $\omega = (\text{D, red})$.

Или, например, правило $\zeta$, которое можно представить как:

$\zeta = \zeta(\omega) = \xi(\omega) + \eta(\omega)$.

а есть просто наборы каких-то значений?

так ведь я ЗНАЮ, что какие-то значения вовсе не какие-то, а исходы абсолютно одинаково поставленных опытов, я их и исследую статистическими методами именно поэтому - беру набор величин (мешок с шарами) и начинаю узнавать - а как там дела у шариков, каких больше каких меньше и так далее. с моей т.з. мешок с шарами - и есть случайная величина, функция, характеризующаяся не $f(x)=x^2$, а распределением, которое мне и надо узнать. мешок с шариками - это переменная с характеристикой.
если рядом лежит мешок с кубиками, в котором кубиков больше, но распределение у них тоже самое - то это другая случайная величина.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #1007611 писал(а):

Увлекательная игра. Давайте, я буду перебирать фразы, описывающие опыт, в которой возникает равномерно распределённая с.в., и каждый раз спрашивать Вас, которое из описаний правильное (т.е. приводит не к реализации, а к с.в.)?

Поехали.

"При бросании точки на отрезок наудачу координата точки будет иметь равномерное распределение".

Хех. Так и знал, что вы будете постепенно отходить от начальной формулировки своей отсебятины, чтобы потом заявить "в формулировках много нюансов, которые вам не понять". К счастью, ваши посты тут остаются, потому привожу исходное ваше высказывание:

--mS-- в сообщении #1007039 писал(а):

Вы собираетесь бросить точку на отрезок. Потом ещё. И ещё. Результат каждого такого эксперимента в отдельности будет случайной величиной с равномерным распределением.

И да, мне наплевать, знаете вы что-то или нет. Мне жалко новичков, которые смотрят на "заслуженный участник" и, раскрыв рот, слушают, а участник несет ересь, которая затуманивает смысл, но при это продолжает настаивать на своем, ведь "кто мы такие, чтобы поправлять великих".

upgrade, позже постараюсь ответить. Теперь времени нет.

[MNikita]

Ну, вроде бы стало ясно, осталось попривыкнуть. Всем спасибо!

[arseniiv]

(К деталям.)

upgrade в сообщении #1007634 писал(а):

если рядом лежит мешок с кубиками, в котором кубиков больше, но распределение у них тоже самое - то это другая случайная величина.

(1) Сам мешок называть случайной величиной смысла нет. Случайная величина — это какая-то характеристика вынутого кубика. Например, сорт — думаю, сорт вы и имели в виду.
(2) Даже если бы там было то же число (раз распределение сортов уже дано, не важно, сколько там в мешке*) кубиков, это всё равно стоит моделировать другой (и независимой от первой) случайной величиной.

* Мы можем положить в мешок $n$ кубиков каких-то там сортов, тогда распределение сорта вынутого наугад кубика, понятно, не может быть каким угодно, но если мы уже ограничились тем же распределением, что и у сортов вынимаемого наугад шарика, то $n$ необходимо будет таким, при котором соответствующее распределение бывает.