Начала статистики, понятие "реализации" случайной величины

[Александрович]

Это результат реализации функции.

[--mS--]

MNikita в сообщении #1007086 писал(а):

--mS--, Вас я совсем не понял. "Вы собираетесь бросить точку на отрезок. Потом ещё. И ещё. Результат каждого такого эксперимента в отдельности будет случайной величиной с равномерным распределением". Хорошо, брошу я одну точку на отрезок. Откуда взяться случайной величине? Вы имеете в виду конкретную: $x_1(\omega)=\omega$...
Насколько я понимаю, вероятностной моделью такого эксперимента -- броска точки -- служит просто отрезок (рассматриваемый как вер. пространство с соответствующей мерой и т.д.).

Как "откуда взяться"? Координата точки, брошенной на отрезок наудачу и есть эта случайная величина. Именно $x_1(\omega)=\omega$. На отрезке $[0,\,1]$ с борелевской сигма-алгеброй и мерой Лебега в качестве вероятности.

MNikita в сообщении #1007086 писал(а):

Теперь сделаем выборку объёма $k$: просто случайным образом ткнём пальцем на $k$ понравившихся нам, или не очень, жителей. В $90$% учебников по статистике напишут, что мы располагаем $k$ случайными величинами. Откуда они берутся и как они связаны с $\xi$?

$\Omega$ - множество всевозможных упорядоченных наборов $\omega=(i_1,\ldots,i_k)$ из множества пронумерованных жителей города с сигма-алгеброй $2^\Omega$ и вероятностной мерой, присваивающей каждому исходу одну и ту же вероятность $\mathsf P(\omega)=\frac{(n-k)!}{n!}$, где $n$ - число жителей. Выборка $x_1,\ldots,x_n$ есть

$$x_1(\omega)=\xi(i_1), \, \ldots, \, x_k(\omega)=\xi(i_k).$$

Если говорить об элементах выборки в отдельности, то каждая из $k$ случайных величин $x_j(\omega)$ принимает значения $\xi(1),\ldots,\xi(n)$ с равной вероятностью $\frac1n$. Правда, благодаря бесповторному выбору элементы выборки зависимы.

-- Чт апр 23, 2015 20:58:33 --

_hum_ в сообщении #1007121 писал(а):

--mS-- в сообщении #1007039 писал(а):

Вы собираетесь бросить точку на отрезок. Потом ещё. И ещё. Результат каждого такого эксперимента в отдельности будет случайной величиной с равномерным распределением.

Результат будет числом, являющимся реализацией случайной величины с равномерным распределением.

А результат бросания игральной кости тоже будет числом? Назовёте это число?

[upgrade]

Александрович в сообщении #1007190 писал(а):

Это результат реализации функции.

Я, как и автор не могу уловить разницу между принятием значений (реализацией) случайной величины $Y$ и принятием значений функции $Y$. Черный ящик может себя вести вполне детерминировано и одновременно случайно - например перемещаться равномерно в пространстве вдоль двух линеек - с натуральным и неизменным рядом координат и с линейкой, на которой цифры при пересечении их ящиком появляются случайным образом. По моему в обоих случаях происходит реализация какой то величины.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #1007207 писал(а):

_hum_ в сообщении #1007121 писал(а):

--mS-- в сообщении #1007039 писал(а):

Вы собираетесь бросить точку на отрезок. Потом ещё. И ещё. Результат каждого такого эксперимента в отдельности будет случайной величиной с равномерным распределением.

Результат будет числом, являющимся реализацией случайной величины с равномерным распределением.

А результат бросания игральной кости тоже будет числом? Назовёте это число?

Я же объяснил, если вы смотрите на результаты бросания кости как на "божественные" исходы $\omega$ (то есть, не предполагаете, что за ними стоит какое-то другое пространство исходов и некий случайный элемент, чьим значением является этот результат), то нет, это не будет в общем случае числом, поскольку результат можно закодировать чем угодно, вплоть до записей типа "грань с двумя точками на ней", и от этого никакой информации потеряно не будет (частота событий, связанных с этими исходами, при любой кодировке результата будет одинакова, и числовая кодировка не имеет никакого преимущества перед любой другой). А случайной величиной является то, что "переводит результат в числовую форму" - это, грубо говоря, измерительный прибор, которому на вход дают "фотографию выпавшей грани", а он по ней выдает цифру. В нашем случае это глаз + мозг, способный различать. (Наверное, недаром случайную величину называли "величиной", как и физическую, ибо они имеют сходную природу).

А если вы смотрите на это как на индуцированное нашим глазом + мозгом (как случайной величиной) вероятностное пространство, то тогда его исходы можно рассматривать как числа.

P.S. В книге Ширяева это даже подчеркнуто - всегда идет явное различение исходного ("божественного") вероятностного пространства $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P} )$ и пространства $ (\mathbb{R}, \mathcal{B}, P_\xi)$, индуцированного случайной величиной $\xi = \xi(\omega)$ (хотя, конечно, не исключается их совпадения).


--mS--, еще раз прочел ваш вопрос, и понял, что вы навернео о другом спрашивали - не о том, будет результат истинным числом или только знаком, которым удобно кодировать исход, а намекали на то, что я не могу предсказать результат, а потому это не может являться числом. Так вот в этом случае ответ простой - как только произойдет эксперимент, так сразу это число сможет быть названо. Оно потому и называется реализацией, что появляется после реализации эксперимента (после "выплевывания" измерительным прибором), но от этого не перестает быть числом (как значение физической величины не перестает быть числом только потому, что его можно узнать только после измерения).

[--mS--]

Не интересен этот поток. Вы нам сообщили:

_hum_ в сообщении #1007121 писал(а):

--mS-- в сообщении #1007039 писал(а):

Вы собираетесь бросить точку на отрезок. Потом ещё. И ещё. Результат каждого такого эксперимента в отдельности будет случайной величиной с равномерным распределением.

Результат будет числом, являющимся реализацией случайной величины с равномерным распределением.

И предъявить это "число" даже в более простом эксперименте с кубиком не хотите. Оттого, видимо, что это "число" собирается быть с вероятностью $1/6$ единицей, с вероятностью $1/6$ двойкой и т.п. Вот это в математике называется случайной величиной. Дарю сакральное знание.

_hum_ в сообщении #1007247 писал(а):

Так вот в этом случае ответ простой - как только произойдет эксперимент, так сразу это число сможет быть названо.

Слово "собираетесь" понимаете? Отличие от "уже бросили" понимаете?

[_hum_]

--mS--, странно от вас ожидать незнания элементарщины. Читаем, восполняем пробелы в образовании:

Wiki/Realization(probability) писал(а):

In probability and statistics, a realization, or observed value, of a random variable is the value that is actually observed (what actually happened). The random variable itself should be thought of as the process how the observation comes about.
[...]
Conventionally, upper case letters denote random variables; the corresponding lower case letters denote their realizations.
[...]
In more formal probability theory, a random variable is a function $X$ defined from a sample space $\Omega$ to a measurable space called the state space [...] If an element in $\Omega$ is sent to an element in state space by $X$, then that element in state space is a realization.
[...]
Elements of the sample space can be thought of as all the different possibilities that could happen; while a realization (an element of the state space) can be thought of as the value $X$ attains when one of the possibilities did happen.
[...]
The value of the random variable (that is, the function) $X$ at a point $\omega \in \Omega$,

$$x = X(\omega)$$

is called a realization of $X$.

[--mS--]

Вот и почитайте. Выделенные слова - особенно.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #1007389 писал(а):

Вот и почитайте. Выделенные слова - особенно.

Кхм... Ну, возможно, вы из-за английского неточно поняли. У меня с ним тоже напряженка, но вроде, все очевидно:

Цитата:

In probability and statistics, a realization, or observed value, of a random variable is the value that is actually observed (what actually happened). The random variable itself should be thought of as the process how the observation comes about.

перевод:

В теории вероятностей и статистике реализация (или наблюдаемое значение) случайной величины - это значение, которое фактически наблюдается (что фактически случилось). А о случайной величине надо мыслить как о процессе получения этого наблюдения.

Цитата:

Elements of the sample space can be thought of as all the different possibilities that could happen; while a realization (an element of the state space) can be thought of as the value $X$ attains when one of the possibilities did happen.

перевод:

Об элементах выборочного пространства можно думать как обо всех возможностях, которые могут случиться, тогда как о реализации (элементе выборочного пространства) можно думать как о значении функции $X$, которое та принимает, после того, как одна из возможностей случается.

Теперь еще раз читаем:

_hum_ в сообщении #1007121 писал(а):

--mS-- в сообщении #1007039 писал(а):

Вы собираетесь бросить точку на отрезок. Потом ещё. И ещё. Результат каждого такого эксперимента в отдельности будет случайной величиной с равномерным распределением.

Результат будет числом, являющимся реализацией случайной величины с равномерным распределением.

Как говорится, имеющий глаза, да увидит.

[--mS--]

Это у Вас, видимо, плохо с русским. Повторяю: в результате бросания точки наугад на отрезок получится случайная величина с равномерным распределением. В каком месте что Вас не устраивает в этой фразе, мне не интересно.

[--mS--]

upgrade в сообщении #1007222 писал(а):

Александрович в сообщении #1007190 писал(а):

Это результат реализации функции.

Я, как и автор не могу уловить разницу между принятием значений (реализацией) случайной величины $Y$ и принятием значений функции $Y$.

Между этими двумя фразами никакой разницы нет. А разница между случайной величиной и её "реализацией" - как разница между функцией $f(x)$ и её значением в одной точке $f(7)$. Выборка из случайных величин (с каким-то распределением) - теоретическая модель эксперимента. На неё можно смотреть как на ту, что должна получиться в предстоящем опыте. Когда опыт уже проведён, каждая из величин приняла ровно одно своё возможное значение. Получилась числовая выборка, являющаяся "реализацией" данного набора случайных величин.

[upgrade]

--mS-- в сообщении #1007443 писал(а):

Выборка из случайных величин

Вот здесь множественное число, а здесь единственное :

--mS-- в сообщении #1007443 писал(а):

функцией $f(x)$ и её значением в одной точке $f(7)$.

Почему вличиН, а не величины?
Функция случайной величины - это частота появления какой-то ее реализации. Разве нет?
Там где $f(x)=x$ просто функция, она принимает какие то числа, а если речь идет о случайной величине, то она возвращает частоту появления значения $x$ в бесконечном числе опытов.
Почему когда вы говорите ( и в литературе тоже часто встречается)о нескольких результатах, вы говорите что это случайнЫЕ величинЫ одинаково распределенные?

[_hum_]

--mS-- в сообщении #1007438 писал(а):

Это у Вас, видимо, плохо с русским. Повторяю: в результате бросания точки наугад на отрезок получится случайная величина с равномерным распределением. В каком месте что Вас не устраивает в этой фразе, мне не интересно.

Повторяю, в результате бросания получается не случайная величина, а реализация случайной величины. Еще раз прочтите:

Цитата:

В теории вероятностей и статистике реализация (или наблюдаемое значение) случайной величины - это значение, которое фактически наблюдается (что фактически случилось). А о случайной величине надо мыслить как о процессе получения этого наблюдения.

Случайная величина - процесс, реализация - его результат. Иными словами, случайная величина есть и до самого броска точки, а реализация - только после него (как генератор случайных чисел есть и до того, как им воспользуются, а результат генерации - только после запуска генератора).

И если вы продолжите в том же духе, я вынужден буду признать, что в вас говорит не непонимание, а нежелание признать, что вы чего-то не знаете. А это недостойно специалиста.

[Otta]

upgrade в сообщении #1007469 писал(а):

Почему когда вы говорите ( и в литературе тоже часто встречается)о нескольких результатах, вы говорите что это случайнЫЕ величинЫ одинаково распределенные?

По определению выборки.

upgrade в сообщении #1007469 писал(а):

Функция случайной величины - это частота появления какой-то ее реализации. Разве нет?

Разве нет.

upgrade в сообщении #1007469 писал(а):

если речь идет о случайной величине, то она возвращает частоту появления значения $x$ в бесконечном числе опытов.

Ничего подобного. Случайная величина это измеримая над алгеброй событий функция из пространства элементарных исходов в $\mathbb R$. (Ну или комплекснозначная.) Никаких частот она не возвращает. Вы путаете случайные величины и их распределения, по всей видимости.

[upgrade]

Так что она измеряет функция, какие значения принимает?
Например выпал зеленый шар, какое значение примет функция при его выпадении?
Я то думал частоту (вероятность), а на самом деле?

-- 24.04.2015, 12:03 --

Лежит мешок, в нем очень много шаров, это что - все случайные величины?
Нет, это элементарные события.
Может опыты (вытаскивание шаров) - случайные величины?

[upgrade]

Выборку можно сделать и для параболы, но ведь не говорится о нескольких функциях с одинаковой правой частью.