Слабая формулировка уравнений мелкой воды

[svv]

Я ещё сам не во всём разобрался, но, думаю, нечто другое.

[Munin]

Спасибо.

[amon]

Munin в сообщении #1006488 писал(а):

Не расскажете ли, это вариационная формулировка в том же смысле, что принцип наименьшего действия в физике, или нечто совсем другое?

На сколько я помню, там вместо дифференциального уравнения $\nabla\Gamma(u)=f(x)$ ($\Gamma$ - некий диф. оператор, содержащий только первые производные) решается интегральное уравнение $-\int\limits_{\Omega}(\nabla v\Gamma(u)+vf(x))dV+\int\limits_{\partial\Omega}v\mathbf{n}\Gamma(u)d\mathbf{S}=0$ для некоторого класса пробных функций $v$ .

[Oleg Zubelevich]

одним из источников понятия "обобщенное решение" являются именно вариационные соображения

-- Вт апр 21, 2015 21:33:58 --

например, варируя функционал $f(u)=\frac{1}{2}\| \nabla u\|_{L^2(D)}^2+(g,u)_{L^2(D)},\quad g\in L^2(D)$ в классе функций $u(x)\in H^1(D),\quad u\mid_{\partial D}=0$ мы как раз получаем определение слабого решения задачи $\Delta u=g,\quad u\mid_{\partial D}=0$. Действительно
$f'(u)[h]=(\nabla u,\nabla h)_{L^2(D)}+(g,h)_{L^2(D)}=0,\quad h\in H^1_0(D)$

-- Вт апр 21, 2015 21:39:23 --

amon в сообщении #1006551 писал(а):

На сколько я помню, там вместо дифференциального уравнения $\nabla\Gamma(u)=f(x)$ ($\Gamma$ - некий диф. оператор, содержащий только первые производные) решается интегральное уравнение $-\int\limits_{\Omega}(\nabla v\Gamma(u)+vf(x))dV+\int\limits_{\partial\Omega}v\mathbf{n}\Gamma(u)d\mathbf{S}=0$ для некоторого класса пробных функций $v$ .

ну да, указаний на то как определять слабое решение для мелкой воды уже накидано достаточно

[Munin]

Чёрт. Значит, надо всё-таки сидеть разбираться.

[svv]

VMMF
Первые два уравнения можно записать в индексных обозначениях в виде единого уравнения

$$\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_k\frac{\partial u_i}{\partial x_k}+g\frac{\partial h}{\partial x_i}-f\varepsilon_{ik}u_k=0\eqno(1,2)$$

Здесь используется соглашение о суммировании, $\varepsilon_{ik}$ — символ Леви-Чивиты.
Третье же уравнение имеет вид

$$\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(hu_k)}{\partial x_k}=0\eqno(3)$$

Так вот, неочевидный совет. Рекомендуется уравнение (1,2) домножить на $h$, а уравнение (3) домножить на $u_i$ и сложить. Производные удачно объединятся, и получится

$$\frac{\partial}{\partial t}\left(hu_i\right)+\frac{\partial}{\partial x_k}\left(h u_i u_k\right)+\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{gh^2}{2}\right)-f\varepsilon_{ik}hu_k=0$$

Когда будете применять интегральные теоремы, такая форма даст лучший результат.

[Pphantom]

VMMF в сообщении #1006308 писал(а):

Книги по мкэ пробовала искать, но пока безрезультатно.

В сети можно найти классическую книгу: Л.Сегерлинд, "Применение метода конечных элементов", М.Мир, 1979, а интересующая Вас задача, кажется, разбиралась в книге Норри и де Фриза "Введение в метод конечных элементов" (совсем уж наверняка утверждать не буду, это по памяти, а книги под руками нет). Общая теория приделывания МКЭ к уравнениям Навье-Стокса и их вариантам (включая уравнения мелкой воды) есть еще в одной классической книжке: Р.Темам, "Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ", М.Мир, 1982.

[Red_Herring]

Если мы хотим рассматривать слабые решения (а в данном случае они практически синонимы разрывных) то следует ур-я переписать в дивергентной форме (плюс члены без производных) и здесь член $u_k \frac{\partial v}{\partial x_k}$ мешает. Перепишем его как $ \frac{\partial (u_k v)}{\partial x_k} - v\frac{\partial (u_k )}{\partial x_k}$ и предположим, что $\frac{\partial (u_k )}{\partial x_k}=0$; тогда все хорошо: можно домножать уравнение на пробные функции и интегрировать, а можно теоретически рассматривать в обобщенных функциях.

Без этого предположения в размерности 1 смотрим уравнение Бюргерса (где-то оно обсуждалось, скорее ПРР(М) но не упоминалось по имени), а что делать в общем случае—не уверен. sup скорее всего знает но он AWOL.

Но неясно: где неизвестные, где известные функции; вероятно, неизвестные $u,v,h$ и тогда нелинейные недивергентные члены имеют вид
$uu_x + vu_y$, $uv_x + vv_y$, причем в непрерывном случае только $vu_y$ и $uv_x$ нельзя переписать в дивергентной форме.



После этого численно (опять-таки этот AWOL sup) знает лучше: Ищем решение в виде линейной комбинации каких-то базисных, а равенство 0 с любыми тестовыми заменяем на равенство 0 с некоторым числом тестовых (т.ч. количество у-й и числовых неизвестных совпало).

[sup]

VMMF в сообщении #1004953 писал(а):

Тогда как-то так, еще раз извините за некорректную постановку:
$\frac{du}{dt}-fv + \frac{\partial(gh)}{\partial x} = 0$
$\frac{dv}{dt} + f u + \frac{\partial(gh)}{\partial y}=0$
$\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(hu)}{\partial x} + \frac{\partial(hu)}{\partial y} =0$

В такой записи уравнения уже в дивергентной форме. А это, по сути, и дает ту самую слабую формулировку. Умножаем на пробные функции, интегрируем по частям и получаем интегральные тождества. Только надо чтобы пробные функции занулялись в нужном месте. ТС не пишет полную постановку. В какой области, какие краевые условия и тд. Тут есть одна маленькая тонкость. Пробные функции и конечные элементы будут, скорее всего, из разных пространств. Что там на эту тему думает выч. пакет? Умеет он с этим работать или нет? Надо разбираться с его "хелпом".

[Oleg Zubelevich]

в такой записи уравнения, конечно, не в дивергентной форме из-за $\frac{d}{dt}$, но дивиргенция векторного поля равна нулю, это входит в условие задачи. а краевые условия -Нейман, по видимомму, также как и в уравнениях Эйлера. Это и интегральными тождествами подсказывается.

-- Ср апр 22, 2015 10:07:52 --

Red_Herring в сообщении #1006639 писал(а):

1 смотрим уравнение Бюргерса (где-то оно обсуждалось, скорее ПР

это мне трудно понять, уравнение Бюргерса--параболическое, у нас разве параболическое уравнение?

[Red_Herring]

sup в сообщении #1006675 писал(а):

В такой записи уравнения уже в дивергентной форме.

Увы нет: обратите внимание на $\frac{du}{dt}:=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}$ и то же во втором уравнении. Если, конечно не предполагать что $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial у}{\partial y}=0$ после чего ур-ния можно переписать в такой форме для гладких решений и считать что так и надо. Но вместо этого третье у-е и там даже если мы предположим что $h>0$ и запишем $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial у}{\partial y}=-h^{-1}\Bigl[ \frac{\partial h}{\partial t} -u \frac{\partial h}{\partial x}-v \frac{\partial v}{\partial y}\Bigr]$ то вроде ничего хорошего не выходит.

Oleg Zubelevich в сообщении #1006699 писал(а):

это мне трудно понять, уравнение Бюргерса--параболическое

Я имел в виду невязкое у-е (тогда оно просто 1 квазилинейное у-е 1го порядка) и оно здесь обсуждалось без поминания Бюргерса—но найти не могу

[Oleg Zubelevich]

почитал, что пишут, такое ощущение, что с краевыми условиями там все очень не просто

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #1006699 писал(а):

в такой записи уравнения, конечно, не в дивергентной форме из-за $\frac{d}{dt}$,

Да, конечно, я на "автомате" не обратил внимание. Там автоматически должны возникать уравнения в дивергентной форме. Вот я и брякнул почти не глядя.
Вот, например, http://keldysh.ru/papers/2014/prep2014_21.pdf
Данные уравнения можно привести к дивергентному виду так. Первое уравнение для $u$ умножаем на $h$, а последнее - на $u$ и складываем.
Получим

$$h(u_t + uu_x + vu_y + gh_x - fv)+u(h_t + uh_x + u_xh + (vh)_y) = (uh)_t + (hu^2)_x +(huv)_y + (gh^2/2)_x - fuv = 0$$

Ну и второе аналогично.
Но я вот не знаю. Вроде бы так вот напрямую МКЕ для эволюционных уравнений не применяют. Вот если сначала дискретизацию по времени, а уже потом послойно решаем с помощью МКЕ.
С другой стороны. ТС задачу так и не поставил. В какой области? Какие гран условия? Надо бы подождать разъяснений.

[Red_Herring]

svv в сообщении #1006631 писал(а):

Так вот, неочевидный совет. Рекомендуется уравнение (1,2) домножить на $h$, а уравнение (3) домножить на $u_i$ и сложить. Производные удачно объединятся, и получится

sup в сообщении #1006725 писал(а):

Данные уравнения можно привести к дивергентному виду так. Первое уравнение для $u$ умножаем на $h$, а последнее - на $u$ и складываем.

Оно, конечно, так. Но с домножениями надо быть очень осторожным—если речь идет о разрывных решениях. Широко известный пример
\begin{align} &u_t + uu_x=0,\\ &uu_t+u^2u_x=0,\\ \intertext{которые в дивергентном виде будут соответственнo} &u_t+(u^2/2)_x=0,\\ &(u^2/2)_t+(u^3/3)_x=0 \end{align}
и для разрывных решений эти уравнения неэквивалентны. Поэтому какие уравнения правильные, а какие нет—вопрос скорее физики.

[sup]

Полностью с Вами согласен. Но только в данном случае недивергентная форма была получена из дивергентной. А потом ее пришлось возвращать обратно.
В принципе, можно из общих соображений до этого догадаться. Уравнения движения получены из интегральных законов сохранение. А это и есть та самая искомая слабая формулировка (ну, почти она).