2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение21.04.2015, 19:09 
Заслуженный участник


23/07/08
7870
Харьков
Я ещё сам не во всём разобрался, но, думаю, нечто другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение21.04.2015, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70715
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение21.04.2015, 21:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3828
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #1006488 писал(а):
Не расскажете ли, это вариационная формулировка в том же смысле, что принцип наименьшего действия в физике, или нечто совсем другое?

На сколько я помню, там вместо дифференциального уравнения $\nabla\Gamma(u)=f(x)$ ($\Gamma$ - некий диф. оператор, содержащий только первые производные) решается интегральное уравнение $-\int\limits_{\Omega}(\nabla v\Gamma(u)+vf(x))dV+\int\limits_{\partial\Omega}v\mathbf{n}\Gamma(u)d\mathbf{S}=0$ для некоторого класса пробных функций $v$ .

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение21.04.2015, 21:25 


10/02/11
6786
одним из источников понятия "обобщенное решение" являются именно вариационные соображения

-- Вт апр 21, 2015 21:33:58 --

например, варируя функционал $f(u)=\frac{1}{2}\| \nabla u\|_{L^2(D)}^2+(g,u)_{L^2(D)},\quad g\in L^2(D)$ в классе функций $u(x)\in H^1(D),\quad u\mid_{\partial D}=0$ мы как раз получаем определение слабого решения задачи $\Delta u=g,\quad u\mid_{\partial D}=0$. Действительно
$f'(u)[h]=(\nabla u,\nabla h)_{L^2(D)}+(g,h)_{L^2(D)}=0,\quad h\in H^1_0(D)$

-- Вт апр 21, 2015 21:39:23 --

amon в сообщении #1006551 писал(а):
На сколько я помню, там вместо дифференциального уравнения $\nabla\Gamma(u)=f(x)$ ($\Gamma$ - некий диф. оператор, содержащий только первые производные) решается интегральное уравнение $-\int\limits_{\Omega}(\nabla v\Gamma(u)+vf(x))dV+\int\limits_{\partial\Omega}v\mathbf{n}\Gamma(u)d\mathbf{S}=0$ для некоторого класса пробных функций $v$ .

ну да, указаний на то как определять слабое решение для мелкой воды уже накидано достаточно

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение21.04.2015, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70715
Чёрт. Значит, надо всё-таки сидеть разбираться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 00:53 
Заслуженный участник


23/07/08
7870
Харьков
VMMF
Первые два уравнения можно записать в индексных обозначениях в виде единого уравнения$$\frac{\partial u_i}{\partial t}+u_k\frac{\partial u_i}{\partial x_k}+g\frac{\partial h}{\partial x_i}-f\varepsilon_{ik}u_k=0\eqno(1,2)$$Здесь используется соглашение о суммировании, $\varepsilon_{ik}$символ Леви-Чивиты.
Третье же уравнение имеет вид$$\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(hu_k)}{\partial x_k}=0\eqno(3)$$Так вот, :!: неочевидный совет. Рекомендуется уравнение (1,2) домножить на $h$, а уравнение (3) домножить на $u_i$ и сложить. Производные удачно объединятся, и получится
$$\frac{\partial}{\partial t}\left(hu_i\right)+\frac{\partial}{\partial x_k}\left(h u_i u_k\right)+\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{gh^2}{2}\right)-f\varepsilon_{ik}hu_k=0$$Когда будете применять интегральные теоремы, такая форма даст лучший результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 00:54 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
18520
Кронштадт
VMMF в сообщении #1006308 писал(а):
Книги по мкэ пробовала искать, но пока безрезультатно.
В сети можно найти классическую книгу: Л.Сегерлинд, "Применение метода конечных элементов", М.Мир, 1979, а интересующая Вас задача, кажется, разбиралась в книге Норри и де Фриза "Введение в метод конечных элементов" (совсем уж наверняка утверждать не буду, это по памяти, а книги под руками нет). Общая теория приделывания МКЭ к уравнениям Навье-Стокса и их вариантам (включая уравнения мелкой воды) есть еще в одной классической книжке: Р.Темам, "Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ", М.Мир, 1982.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9296
Hogtown
Если мы хотим рассматривать слабые решения (а в данном случае они практически синонимы разрывных) то следует ур-я переписать в дивергентной форме (плюс члены без производных) и здесь член $u_k \frac{\partial v}{\partial x_k}$ мешает. Перепишем его как $ \frac{\partial (u_k v)}{\partial x_k} - v\frac{\partial (u_k )}{\partial x_k}$ и предположим, что $\frac{\partial (u_k )}{\partial x_k}=0$; тогда все хорошо: можно домножать уравнение на пробные функции и интегрировать, а можно теоретически рассматривать в обобщенных функциях.

Без этого предположения в размерности 1 смотрим уравнение Бюргерса (где-то оно обсуждалось, скорее ПРР(М) но не упоминалось по имени), а что делать в общем случае—не уверен. sup скорее всего знает но он AWOL. :D

Но неясно: где неизвестные, где известные функции; вероятно, неизвестные $u,v,h$ и тогда нелинейные недивергентные члены имеют вид
$uu_x + vu_y$, $uv_x + vv_y$, причем в непрерывном случае только $vu_y$ и $uv_x$ нельзя переписать в дивергентной форме.



После этого численно (опять-таки этот AWOL sup) знает лучше: Ищем решение в виде линейной комбинации каких-то базисных, а равенство 0 с любыми тестовыми заменяем на равенство 0 с некоторым числом тестовых (т.ч. количество у-й и числовых неизвестных совпало).

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 08:39 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
VMMF в сообщении #1004953 писал(а):
Тогда как-то так, еще раз извините за некорректную постановку:
$\frac{du}{dt}-fv + \frac{\partial(gh)}{\partial x} = 0$
$\frac{dv}{dt} + f u + \frac{\partial(gh)}{\partial y}=0$
$\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(hu)}{\partial x} + \frac{\partial(hu)}{\partial y} =0$

В такой записи уравнения уже в дивергентной форме. А это, по сути, и дает ту самую слабую формулировку. Умножаем на пробные функции, интегрируем по частям и получаем интегральные тождества. Только надо чтобы пробные функции занулялись в нужном месте. ТС не пишет полную постановку. В какой области, какие краевые условия и тд. Тут есть одна маленькая тонкость. Пробные функции и конечные элементы будут, скорее всего, из разных пространств. Что там на эту тему думает выч. пакет? Умеет он с этим работать или нет? Надо разбираться с его "хелпом".

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 10:06 


10/02/11
6786
в такой записи уравнения, конечно, не в дивергентной форме из-за $\frac{d}{dt}$, но дивиргенция векторного поля равна нулю, это входит в условие задачи. а краевые условия -Нейман, по видимомму, также как и в уравнениях Эйлера. Это и интегральными тождествами подсказывается.

-- Ср апр 22, 2015 10:07:52 --

Red_Herring в сообщении #1006639 писал(а):
1 смотрим уравнение Бюргерса (где-то оно обсуждалось, скорее ПР

это мне трудно понять, уравнение Бюргерса--параболическое, у нас разве параболическое уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 10:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9296
Hogtown
sup в сообщении #1006675 писал(а):
В такой записи уравнения уже в дивергентной форме.

Увы нет: обратите внимание на $\frac{du}{dt}:=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}$ и то же во втором уравнении. Если, конечно не предполагать что $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial у}{\partial y}=0$ после чего ур-ния можно переписать в такой форме для гладких решений и считать что так и надо. Но вместо этого третье у-е и там даже если мы предположим что $h>0$ и запишем $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial у}{\partial y}=-h^{-1}\Bigl[ \frac{\partial h}{\partial t} -u \frac{\partial h}{\partial x}-v \frac{\partial v}{\partial y}\Bigr]$ то вроде ничего хорошего не выходит.

Oleg Zubelevich в сообщении #1006699 писал(а):
это мне трудно понять, уравнение Бюргерса--параболическое



Я имел в виду невязкое у-е (тогда оно просто 1 квазилинейное у-е 1го порядка) и оно здесь обсуждалось без поминания Бюргерса—но найти не могу

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 10:49 


10/02/11
6786
почитал, что пишут, такое ощущение, что с краевыми условиями там все очень не просто

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 11:35 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Oleg Zubelevich в сообщении #1006699 писал(а):
в такой записи уравнения, конечно, не в дивергентной форме из-за $\frac{d}{dt}$,

Да, конечно, я на "автомате" не обратил внимание. Там автоматически должны возникать уравнения в дивергентной форме. Вот я и брякнул почти не глядя. :oops:
Вот, например, http://keldysh.ru/papers/2014/prep2014_21.pdf
Данные уравнения можно привести к дивергентному виду так. Первое уравнение для $u$ умножаем на $h$, а последнее - на $u$ и складываем.
Получим
$$h(u_t + uu_x + vu_y + gh_x - fv)+u(h_t + uh_x + u_xh + (vh)_y) = (uh)_t + (hu^2)_x +(huv)_y + (gh^2/2)_x - fuv = 0$$
Ну и второе аналогично.
Но я вот не знаю. Вроде бы так вот напрямую МКЕ для эволюционных уравнений не применяют. Вот если сначала дискретизацию по времени, а уже потом послойно решаем с помощью МКЕ.
С другой стороны. ТС задачу так и не поставил. В какой области? Какие гран условия? Надо бы подождать разъяснений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9296
Hogtown
svv в сообщении #1006631 писал(а):
Так вот, :!: неочевидный совет. Рекомендуется уравнение (1,2) домножить на $h$, а уравнение (3) домножить на $u_i$ и сложить. Производные удачно объединятся, и получится


sup в сообщении #1006725 писал(а):
Данные уравнения можно привести к дивергентному виду так. Первое уравнение для $u$ умножаем на $h$, а последнее - на $u$ и складываем.


Оно, конечно, так. Но с домножениями надо быть очень осторожным—если речь идет о разрывных решениях. Широко известный пример
\begin{align}
&u_t + uu_x=0,\\
&uu_t+u^2u_x=0,\\
\intertext{которые в дивергентном виде будут соответственнo}
&u_t+(u^2/2)_x=0,\\
&(u^2/2)_t+(u^3/3)_x=0
\end{align}
и для разрывных решений эти уравнения неэквивалентны. Поэтому какие уравнения правильные, а какие нет—вопрос скорее физики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение22.04.2015, 13:35 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Полностью с Вами согласен. Но только в данном случае недивергентная форма была получена из дивергентной. А потом ее пришлось возвращать обратно.
В принципе, можно из общих соображений до этого догадаться. Уравнения движения получены из интегральных законов сохранение. А это и есть та самая искомая слабая формулировка (ну, почти она).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group