2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение16.04.2015, 13:59 


16/04/15
7
Добрый день,
есть следующая проблема: мне необходимо получить слабую формулировку уравнений мелкой воды для использования ее в пакете FreeFem++, однако я не могу разобраться, как производится приведение задачи к этой формулировке. Не могли бы вы помочь с этим вопросом?
$\frac{du}{dt}-fv + \frac{\partial(gh)}{\partial x} = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение16.04.2015, 15:25 


29/08/13
254
А что Вы называете слабой формулировкой уравнений мелкой воды?

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение16.04.2015, 16:01 


16/04/15
7
Честно говоря,я слабо разбираюсь в этом вопросе. В задании говорится о том, что дано указанное выше уравнение, которое надо решить в пакете FreeFem.
Насколько я знаю, для приведения используется формула Остроградского-Гаусса, но каким образом её правильно применить я не знаю, к сожалению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение16.04.2015, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
8023
Техасска волост"
VMMF в сообщении #1004455 писал(а):
В задании говорится о том, что дано указанное выше уравнение, которое надо решить в пакете FreeFem.
Если все, что есть -- лишь указанное уравнение, то это не задание.
Это что-то с чем-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение17.04.2015, 16:37 
Заслуженный участник


23/07/08
7870
Харьков
Там не одно уравнение, а система. В неё входит ещё, например, уравнение
$\frac{dv}{dt} + f u + \frac{\partial(gh)}{\partial y}=0$
$u$ и $v$ — это $x$- и $y$-компоненты скорости.
Вы взяли из системы только одно уравнение, но в него входят несколько неизвестных функций. И найти все эти функции из одного уравнения, решив его отдельно от остальных, невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение17.04.2015, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
8023
Техасска волост"
svv в сообщении #1004838 писал(а):
И найти все эти функции из одного уравнения, решив его отдельно от остальных, невозможно.
Ну от неча делать можно конечно взять для конкретно данного уравнения:
$$v= v(x,y), \qquad  g=\frac {\varphi(t,x)}{h}, \qquad f=0  \vee  u=0 $$
Ну это же не "решение"

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение17.04.2015, 19:48 


16/04/15
7
svv, ох, действительно, просмотрела, простите за такую грубую ошибку.

Тогда как-то так, еще раз извините за некорректную постановку:
$\frac{du}{dt}-fv + \frac{\partial(gh)}{\partial x} = 0$
$\frac{dv}{dt} + f u + \frac{\partial(gh)}{\partial y}=0$
$\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(hu)}{\partial x} + \frac{\partial(hu)}{\partial y} =0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение17.04.2015, 20:31 
Заслуженный участник


23/07/08
7870
Харьков
Ну, хорошо. Говорят, $f$ — параметр Кориолиса. Попробуйте оценить физическую ситуацию в Вашей задаче реалистично: сила Кориолиса играет в ней существенную роль или нет? Если нет — выкинуть соответствующее слагаемое к чертям. У Ландау-Лифшица, например, этого слагаемого вообще нет. Сочли несущественным для большинства приложений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение17.04.2015, 20:39 


16/04/15
7
Oleg Zubelevich, спасибо, почитаю этот том.
svv, говорят, ее можно аппроксимировать константой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение17.04.2015, 21:34 


10/02/11
6786
(на ЛЛ-6 сослались выше, поэтому я свое первое сообщение стер) единственное, в чем могут быть проблемы это с происхождением уравнения
$$h_t+\frac{\partial (v^1 h)}{\partial x^1}+\frac{\partial (v^2 h)}{\partial x^2}=0$$ В предположении несжимаемости жидкости ($\mathrm{div} \overline v=0$) это уравнение равносильно уравнению $h_t+\frac{\partial h}{\partial x^1}v^1+\frac{\partial h}{\partial x^2}v^2=0$. Последнее уравнение означает, что вертикальная компонента скорости жидкости на ее поверхности равна нулю

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение19.04.2015, 22:01 


16/04/15
7
И все-таки я не пойму, как правильно получить слабую формулировку (ЛЛ читала)

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение20.04.2015, 15:05 
Заслуженный участник


23/07/08
7870
Харьков
Что удалось выяснить из Интернета. (Вы-то всё это, наверное, и так знали.)

FreeFem++ — это пакет программ и язык программирования для решения задач математической физики методом конечных элементов.
Метод конечных элементов = МКЭ = Finite element method = FEM (отсюда и название пакета).
Для применения МКЭ задачу надо привести к так называемой слабой (или вариационной) формулировке.
Понятие слабой формулировки описано здесь (в общем виде, правда, с двумя примерами).

Нашлись две работы (статья и пособие), в которых есть примеры приведения задачи к слабой формулировке.
1) Л.В.Сахарова. Двумерное математическое моделирование изоэлектрического фокусирования средствами интегрированной среды разработки FreeFem++.
2) М.Ю.Жуков, Е.В.Ширяева. Пакет конечных элементов FreeFem++.
Ссылки не привожу, pdf-файлы моментально находятся в Google.
К сожалению, в обеих работах показано только, что на входе и что на выходе, без объяснения методики. Возможно, сама методика описана в книгах по МКЭ, но я таких ещё не нашёл.
В ЛЛ этого, понятно, не будет: они, скорее, получают уравнения и изучают их общие свойства, чем изучают методы их численного решения.

О чем всё-таки можно догадаться.
Сначала надо уравнение домножить на так называемую тестовую функцию.
Затем проинтегрировать по области.
Потом, пользуясь интегральными теоремами (не обязательно Гаусса-Остроградского) надо перебросить (как при интегрировании по частям) производную с неизвестной функции на тестовую, в тех слагаемых, где это возможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение21.04.2015, 12:16 


16/04/15
7
svv
Спасибо, вторую книгу штудировала.
Книги по мкэ пробовала искать, но пока безрезультатно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение21.04.2015, 15:53 
Заслуженный участник


23/07/08
7870
Харьков
Знаете ли Вы, что такое $\frac{du}{dt}$ и $\frac{dv}{dt}$ ?
Координаты обозначим $x_1$ и $x_2$, компоненты вектора скорости $\mathbf u$ обозначим $u_1$ и $u_2$.
$\frac{d\mathbf u}{dt}=\frac{\partial \mathbf u}{\partial t}+(\mathbf u\cdot \nabla)\mathbf u=\frac{\partial \mathbf u}{\partial t}+u_1\frac{\partial \mathbf u}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial \mathbf u}{\partial x_2}$
$\frac{du_1}{dt}=\frac{\partial u_1}{\partial t}+u_1\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_1}{\partial x_2}$
$\frac{du_2}{dt}=\frac{\partial u_2}{\partial t}+u_1\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_2}{\partial x_2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Слабая формулировка уравнений мелкой воды
Сообщение21.04.2015, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
70074
svv в сообщении #1005867 писал(а):
Для применения МКЭ задачу надо привести к так называемой слабой (или вариационной) формулировке.
Понятие слабой формулировки описано здесь (в общем виде, правда, с двумя примерами).

Не расскажете ли, это вариационная формулировка в том же смысле, что принцип наименьшего действия в физике, или нечто совсем другое? (Если первое, то мне стоит почитать...)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group