Слабая формулировка уравнений мелкой воды

[VMMF]

Добрый день,
есть следующая проблема: мне необходимо получить слабую формулировку уравнений мелкой воды для использования ее в пакете FreeFem++, однако я не могу разобраться, как производится приведение задачи к этой формулировке. Не могли бы вы помочь с этим вопросом?
$\frac{du}{dt}-fv + \frac{\partial(gh)}{\partial x} = 0$

[VanD]

А что Вы называете слабой формулировкой уравнений мелкой воды?

[VMMF]

Честно говоря,я слабо разбираюсь в этом вопросе. В задании говорится о том, что дано указанное выше уравнение, которое надо решить в пакете FreeFem.
Насколько я знаю, для приведения используется формула Остроградского-Гаусса, но каким образом её правильно применить я не знаю, к сожалению.

[Dan B-Yallay]

VMMF в сообщении #1004455 писал(а):

В задании говорится о том, что дано указанное выше уравнение, которое надо решить в пакете FreeFem.

Если все, что есть -- лишь указанное уравнение, то это не задание.
Это что-то с чем-то.

[svv]

Там не одно уравнение, а система. В неё входит ещё, например, уравнение
$\frac{dv}{dt} + f u + \frac{\partial(gh)}{\partial y}=0$
$u$ и $v$ — это $x$- и $y$-компоненты скорости.
Вы взяли из системы только одно уравнение, но в него входят несколько неизвестных функций. И найти все эти функции из одного уравнения, решив его отдельно от остальных, невозможно.

[Dan B-Yallay]

svv в сообщении #1004838 писал(а):

И найти все эти функции из одного уравнения, решив его отдельно от остальных, невозможно.

Ну от неча делать можно конечно взять для конкретно данного уравнения:

$$v= v(x,y), \qquad g=\frac {\varphi(t,x)}{h}, \qquad f=0 \vee u=0 $$

Ну это же не "решение"

[VMMF]

svv, ох, действительно, просмотрела, простите за такую грубую ошибку.

Тогда как-то так, еще раз извините за некорректную постановку:
$\frac{du}{dt}-fv + \frac{\partial(gh)}{\partial x} = 0$
$\frac{dv}{dt} + f u + \frac{\partial(gh)}{\partial y}=0$
$\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial(hu)}{\partial x} + \frac{\partial(hu)}{\partial y} =0$

[svv]

Ну, хорошо. Говорят, $f$ — параметр Кориолиса. Попробуйте оценить физическую ситуацию в Вашей задаче реалистично: сила Кориолиса играет в ней существенную роль или нет? Если нет — выкинуть соответствующее слагаемое к чертям. У Ландау-Лифшица, например, этого слагаемого вообще нет. Сочли несущественным для большинства приложений.

[VMMF]

Oleg Zubelevich, спасибо, почитаю этот том.
svv, говорят, ее можно аппроксимировать константой.

[Oleg Zubelevich]

(на ЛЛ-6 сослались выше, поэтому я свое первое сообщение стер) единственное, в чем могут быть проблемы это с происхождением уравнения

$$h_t+\frac{\partial (v^1 h)}{\partial x^1}+\frac{\partial (v^2 h)}{\partial x^2}=0$$

В предположении несжимаемости жидкости ($\mathrm{div} \overline v=0$) это уравнение равносильно уравнению $h_t+\frac{\partial h}{\partial x^1}v^1+\frac{\partial h}{\partial x^2}v^2=0$. Последнее уравнение означает, что вертикальная компонента скорости жидкости на ее поверхности равна нулю

[VMMF]

И все-таки я не пойму, как правильно получить слабую формулировку (ЛЛ читала)

[svv]

Что удалось выяснить из Интернета. (Вы-то всё это, наверное, и так знали.)

FreeFem++ — это пакет программ и язык программирования для решения задач математической физики методом конечных элементов.
Метод конечных элементов = МКЭ = Finite element method = FEM (отсюда и название пакета).
Для применения МКЭ задачу надо привести к так называемой слабой (или вариационной) формулировке.
Понятие слабой формулировки описано здесь (в общем виде, правда, с двумя примерами).

Нашлись две работы (статья и пособие), в которых есть примеры приведения задачи к слабой формулировке.
1) Л.В.Сахарова. Двумерное математическое моделирование изоэлектрического фокусирования средствами интегрированной среды разработки FreeFem++.
2) М.Ю.Жуков, Е.В.Ширяева. Пакет конечных элементов FreeFem++.
Ссылки не привожу, pdf-файлы моментально находятся в Google.
К сожалению, в обеих работах показано только, что на входе и что на выходе, без объяснения методики. Возможно, сама методика описана в книгах по МКЭ, но я таких ещё не нашёл.
В ЛЛ этого, понятно, не будет: они, скорее, получают уравнения и изучают их общие свойства, чем изучают методы их численного решения.

О чем всё-таки можно догадаться.
Сначала надо уравнение домножить на так называемую тестовую функцию.
Затем проинтегрировать по области.
Потом, пользуясь интегральными теоремами (не обязательно Гаусса-Остроградского) надо перебросить (как при интегрировании по частям) производную с неизвестной функции на тестовую, в тех слагаемых, где это возможно.

[VMMF]

svv
Спасибо, вторую книгу штудировала.
Книги по мкэ пробовала искать, но пока безрезультатно.

[svv]

Знаете ли Вы, что такое $\frac{du}{dt}$ и $\frac{dv}{dt}$ ?
Координаты обозначим $x_1$ и $x_2$, компоненты вектора скорости $\mathbf u$ обозначим $u_1$ и $u_2$.
$\frac{d\mathbf u}{dt}=\frac{\partial \mathbf u}{\partial t}+(\mathbf u\cdot \nabla)\mathbf u=\frac{\partial \mathbf u}{\partial t}+u_1\frac{\partial \mathbf u}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial \mathbf u}{\partial x_2}$
$\frac{du_1}{dt}=\frac{\partial u_1}{\partial t}+u_1\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_1}{\partial x_2}$
$\frac{du_2}{dt}=\frac{\partial u_2}{\partial t}+u_1\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_2}{\partial x_2}$

[Munin]

svv в сообщении #1005867 писал(а):

Для применения МКЭ задачу надо привести к так называемой слабой (или вариационной) формулировке.
Понятие слабой формулировки описано здесь (в общем виде, правда, с двумя примерами).

Не расскажете ли, это вариационная формулировка в том же смысле, что принцип наименьшего действия в физике, или нечто совсем другое? (Если первое, то мне стоит почитать...)