Электрическое поле равномернозаряженной пластины.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Так я и не говорю о прямоугольнике, а о равноугольнике! Такие четырёхугольники найти на сфере можно. Правда, я чего-то сомневаюсь, есть ли среди них неравносторонние.

[Ms-dos4]

drug39 в сообщении #1005605 писал(а):

Ms-dos4, Вы можете считать интегралы, я предпочитаю применить теорему о сферическом избытке. Тогда никаких интегралов. А $\sigma$ по условию задачи, вроде как, постоянна.

А вот с этого и надо начинать. Действительно, тогда это весьма красивый способ (об этом я и не подумал). Спасибо!

[drug39]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1005704 писал(а):

Так я и не говорю о прямоугольнике, а о равноугольнике! Такие четырёхугольники найти на сфере можно. Правда, я чего-то сомневаюсь, есть ли среди них неравносторонние.

Среди однослойных фигур такой случай , как раз, есть. Причем это сферический прямоугольный четырёхугольник. Его стороны равны $\pi, 2\pi, \pi$ и $2\pi$ Специфичный, конечно, прямоугольник. Он занимает полусферу. Если рассматривать фигуры с разными числами слоёв, то там ещё куча вариантов добавится.

Предлагаю точку наблюдения поля считать произвольной и найти также потенциал.

[Munin]

drug39

(Оффтоп)

Перестаньте уже придираться. Рассмотрите сферическую фигуру с четырьмя углами $\alpha.$

[drug39]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1006047 писал(а):

drug39
Перестаньте уже придираться. Рассмотрите сферическую фигуру с четырьмя углами $\alpha.$

У такой фигуры противолежащие стороны равны друг другу и симметричны относительно равноудалённой от них плоскости. Но соседние стороны могут быть не равны друг другу. Угол $\alpha>\pi/2$ (для однослойной фигуры).
Про прямоуголный четырёхугольник выше наврал. Со сторонами $\pi, 2\pi, \pi$ и $2\pi$ он являенся не односойной, а двуслойной полусферой.

-- Пн апр 20, 2015 23:11:31 --

Да, кстати, когда будете телесный угол считать, рекомендую не составлять его из треугольников, а сразу пользоваться формулой телесного угла многоугольника. Тогда в исходной задаче сразу будет видно, что посчитать нужно всего один двугранный угол.

[Munin]

(Оффтоп)

drug39 в сообщении #1006071 писал(а):

У такой фигуры противолежащие стороны равны друг другу и симметричны относительно равноудалённой от них плоскости. Но соседние стороны могут быть не равны друг другу.

Да, именно такая фигура всю дорогу и имеется в виду! Ведь в исходной задаче пластина тоже не квадратная, а прямоугольная.

[drug39]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1006125 писал(а):

Да, именно такая фигура всю дорогу и имеется в виду! Ведь в исходной задаче пластина тоже не квадратная, а прямоугольная.

Так arseniiv там выше засомневался, что такое может быть...

[Munin]

(Оффтоп)

Мне так не показалось. Мне показалось, он попытался пробиться сквозь ваш сарказм, и объяснить всё-таки, что именно имелось в виду.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Я засомневался, может ли быть равноугольник с разными сторонами, у меня не очень хорошо со сферической интуицией. В существовании же равноугольников вообще я не сомневался — центрально проецируем квадрат с центром на диаметре, перпендикулярный тому диаметру.

[drug39]

(Оффтоп)

arseniiv, вопрос хороший. Ну, во-первых, пример, где противоположные стороны равны, это уже может быть неравносторонний 4-равноугольник.
Теперь исследуем, могут ли все 4 стороны быть различными.
4-угольник состоит из двух треугольников. Пусть в 1-м треугольнике углы A, B и $\Gamma$.
Им противолежат стороны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно. Пусть угол А еще и угол 4-равноугольника.
Тогда углы 2-го треугольника А$-\Gamma$, А и А$-$B. Им противолежат стороны $\delta$, $\alpha$ и $\varepsilon$ соответственно.
Как видим, у этих 2-х треугольников есть по одному равному углу, равному А.
Два другие угла треугольников могут отличаться. Тогда площади треугольников не равны.
Следовательно, все 4 стороны 4-равноугольника могут быть различными! На плоскости такого быть не может.
По теореме сферической тригонометрии синусов для 1-го треугольника

$$sin \alpha /sin \text{A}= sin \beta / sin \text{B}= sin \gamma / sin \Gamma,$$

a для 2-го треугольника

$$sin \alpha /sin \text{A}= sin \delta / sin (\text{A}-\Gamma)= sin \varepsilon / sin (\text{A}-\text{B}).$$

Отсюда стороны 4-равноугольника

$$\beta=arcsin\left(\frac{sin\text{B}}{sin\text{A}}sin\alpha\right),$$

$$\gamma=arcsin\left(\frac{sin\Gamma}{sin\text{A}}sin\alpha\right),$$

$$\delta=arcsin\left(\frac{sin(\text{A}-\Gamma)}{sin\text{A}}sin\alpha\right),$$

$$\varepsilon=arcsin\left(\frac{sin(\text{A}-\text{B})}{sin\text{A}}sin\alpha\right).$$

Уже вижу практическое применение этого свойства с целью жульничества. Предположим, имеется такой 4-равноугольный участок, и нужно его поделить. Предлагаете поделить по диагонали. Площади окажутся неравными. Себе берёте большую.

[Munin]

(Оффтоп)

drug39
Прокачайте скилл "написание формул на форуме". Замечания:
1) А$-\Gamma$ должно быть $\mathrm{A}-\Gamma,$
2) $sin \alpha$ должно быть $\sin \alpha,$ аналогично $\arcsin.$