Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака

[amon]

Prikol в сообщении #1004566 писал(а):

и узнайте о спиновом пространстве. (Это из наиболее доступного)

А что бы спин-поляризаторы построить, надо в особое спиновое пространство перебраться? Вы перепутали Гильбертово пространство с обычным, 3+1 - мерным. Сами спиноры - это функции со значениями в специальном пространстве, но они прекрасно преобразуются при поворотах системы координат обычного пространства. Направление спина - это обычное 3-х мерное направление.

[green5]

У ТС функция а нужен вектор (типа спин-вектора) из представления SU(2).

[Helium]

Helium в сообщении #1004080 писал(а):

Общее решение $\Phi $ уравнения $\frac{{d}^{2}\Phi }{d{\varphi }^{2}}+{m}^{2}\Phi =0$ имеет вид $\Phi =c_1 \cos (m \varphi )+c_2 \sin (m \varphi )$
Почему искусственно создается комплексная функция приняв ${c}_{2}=\pm i$

Если проблема только в неразрывности при периоде $2\pi$, то почему бы не взять $\Phi =c_1 \cos (m \varphi )$ или $\Phi =c_2 \sin (m \varphi )$ ?
В ЛЛ3 параграф 27 стр. 118 в самом верху говорится об этом.
На самом деле решения уравнения $\Phi $ никакие не разрывные.

[Munin]

green5 в сообщении #1005170 писал(а):

У ТС функция а нужен вектор (типа спин-вектора) из представления SU(2).

Кому нужен?

Helium в сообщении #1005173 писал(а):

Если проблема только в неразрывности при периоде $2\pi$, то почему бы не взять $\Phi =c_1 \cos (m \varphi )$ или $\Phi =c_2 \sin (m \varphi )$ ?

Ну давайте. Только подставьте это ваше $m=\tfrac{1}{2}.$ Проблема разрывности никуда не исчезнет.

Helium в сообщении #1005173 писал(а):

На самом деле решения уравнения $\Phi $ никакие не разрывные.

Они не разрывные при правильных значениях параметра $m$!!!

Как у вас такое вообще может помещаться в голове? Это единая математическая задача: найти формулы и найти подходящие значения параметров $n,l,m.$ Это не две отдельные детали, с которыми можно играть по отдельности как угодно.

-- 18.04.2015 12:06:05 --

Helium в сообщении #1005173 писал(а):

В ЛЛ3 параграф 27 стр. 118 в самом верху говорится об этом.

ЛЛ-3 надо читать весь целиком, без пропусков, и уж тем более не выхватывать оттуда отдельные фразы! По крайней мере, в вашем случае главу 4 целиком, и главу 5 целиком до § 36.

Ландау-Лифшиц выходил многими изданиями. Ранние издания отличаются даже содержанием, примерно с 70-х годов содержание не менялось. Но менялась вёрстка изданий (издания 2000-х годов - с компьютерной вёрсткой в LaTeX). Так что, ссылки на отдельные страницы не годятся. Нужны ссылки более универсальные: на номер параграфа, на номер формулы в параграфе. Отдельный кусок текста можно указать по отношению к ближайшей нумерованной формуле. Либо можно указать точное издание (номер и год), на которое вы ссылаетесь (желательно, чтобы оно было широко доступно, например, в электронном виде распространены издания 2004 и 1989 года (с разной вёрсткой), можно найти издание 1948 года и английское 1991 года).

[Helium]

Munin в сообщении #1005189 писал(а):

Ну давайте. Только подставьте это ваше $m=\tfrac{1}{2}.$ Проблема разрывности никуда не исчезнет.

А так пойдет?
$Y\left(\theta ,\varphi \right)=\left[{P}{_l^m}\left(\cos \frac{\theta}{2} \right)+{Q}{_l^m}\left(\cos (\frac{\pi }{2}+\frac{\theta}{2}) \right) \right]\cos( m\varphi) $
при $l=-\tfrac{1}{2}$ и $m=0$
Сначала включается первая функция Лежандра в интервале $\theta =\left(0,\frac{\pi }{2} \right)$ а затем вторая в интервале $\theta =\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$

В итоге получается такой график:



Я еще умножил на $\frac{1}{2}$ чтоб сфера была в интервале $\left(-1,+1 \right)$ не знаю надо ли?

[Munin]

Это уже какое-то гадание на формулах...

Что значит "пойдёт"? Даже если вы изобразите функцию без разрывов и подобных проблем, вы не создадите нового решения для атома водорода.

[Prikol]

amon в сообщении #1004625 писал(а):

Prikol в сообщении #1004566 писал(а):

и узнайте о спиновом пространстве. (Это из наиболее доступного)

Сами спиноры - это функции со значениями в специальном пространстве, но они прекрасно преобразуются при поворотах системы координат обычного пространства.

Точка зрения, подобная вашей, встречается в учебниках для технических вузов.

amon в сообщении #1004625 писал(а):

Направление спина - это обычное 3-х мерное направление.

Допустим есть выделенное направление $z$ (вдоль вектора Э или М поля).
Ну и куда же направлен спин? Или даже проще, куда направлен вектор орбитального момента $l$ ?

PS Только не надо всяких классических аналогий и не надо путать сам вектор $l$ и его проекцию на ось $z$.

[Munin]

Prikol в сообщении #1006025 писал(а):

Допустим есть выделенное направление $z$ (вдоль вектора Э или М поля).
Ну и куда же направлен спин?

В условии этого не задано. Вы опять за троллинг взялись?

[Prikol]

Munin в сообщении #1006061 писал(а):

В условии этого не задано.

Добавьте к условию все, что вам нужно для ответа и скажите, куда направлен хотя бы вектор углового момента (не проекция).

[g______d]

Prikol в сообщении #1006025 писал(а):

Точка зрения, подобная вашей, встречается в учебниках для технических вузов.

Действительно, что мы прямо как в техническом вузе, направления спина какие-то... Напишите здесь, пожалуйста, математически строгое определение оператора Шрёдингера в $\mathbb R^3$ со спином. Можете для начала без магнитного потенциала и в кулоновском случае. Только по-честному, гильбертово пространство, область определения, и чтобы на ней он был самосопряжён.

(только, пожалуйста, страницы из книг не копируйте, напишите своими словами, если не сложно).

[Prikol]

g______d в сообщении #1006072 писал(а):

Prikol в сообщении #1006025 писал(а):

Точка зрения, подобная вашей, встречается в учебниках для технических вузов.

Действительно, что мы прямо как в техническом вузе, направления спина какие-то...

Я тоже удивился по поводу направлений спина каких-то ...
Но давайте не будем играть в чехарду с вопросами.

О направлении вектора спина заговорил amon. Я упростил это до направления вектора углового момента. Допустим, задано выделенное направление поля и дано одно из возбужденных состояний атома водорода. Волновая функция этого состояния известна. Вопрос. Куда направлен вектор углового момента? К заданным условиям можно добавить все, что нужно, но при этом не переходить к классике или квазиклассике.

[g______d]

Prikol в сообщении #1006089 писал(а):

Волновая функция этого состояния известна. Вопрос. Куда направлен вектор углового момента?

Направление? Какое направление? Орбитальный момент -- это оператор (причём векторный). Чтобы говорить о его определённых значениях, нужно, чтобы он коммутировал с гамильтонианом. Если у вас есть магнитный потенциал, с какой стати это будет выполняться?

Prikol в сообщении #1006089 писал(а):

Но давайте не будем играть в чехарду с вопросами.

Ну если вы про кого-то говорите, что он выражается на уровне технического вуза, долгом чести было бы объяснить, как это делается на математически строгом уровне не-технического вуза. Уж на такой вопрос, на каком пространстве определён оператор Шрёдингера без магнитного потенциала, могли бы уж и ответить.

[Prikol]

g______d в сообщении #1006095 писал(а):

Prikol в сообщении #1006089 писал(а):

Волновая функция этого состояния известна. Вопрос. Куда направлен вектор углового момента?

Направление? Какое направление?

Вы в краткой форме переформулировали вопрос, который я в более длинной форме задал одному из участников в ответ на его пост.

amon в сообщении #1004625 писал(а):

Направление спина - это обычное 3-х мерное направление.

Ждем ответа от amon

PS Судя по его словам, он это направление знает. Вот я и прошу его это обычное 3-х мерное направление указать для какой-нибудь простой (но квантовой, а не квазиклассической) ситуации. , Причем, я упростил вопрос. Речь уже идет не о спине, а просто об угловом моменте.

g______d в сообщении #1006095 писал(а):

Ну если вы про кого-то говорите, что он выражается на уровне технического вуза...

Вы коверкаете мои слова до неузнаваемости.

[Cos(x-pi/2)]

Prikol, зачем детские вопросы задаёте? Напрашиваетесь на ликбез :)) Получите, распишитесь:

Вектор спина $\mathbf{s}$, как и вектор орбитального момента $\mathbf{l}$, как и вектор импульса электрона (или, в общем случае, составного квантового объекта ) $\mathbf{p}$, и как его радиус-вектор $\mathbf{r},$ испытывает квантовые флуктуации и в общем случае не имеет определённого значения у отдельно взятого электрона.

Но всегда определено среднее значение по квантовому ансамблю для любой флуктуирующей физ. величины $f.$ В чистом нормированном состоянии $|\Psi \rangle$ среднее есть

$\langle f \rangle = \langle \Psi| \hat f | \Psi \rangle$ ,

где $\hat f$ - оператор физ. величины $f$.

В нерелятивистском приближении и в отсутствие неоднородного магнитного поля состояние квантового объекта $|\Psi \rangle$ можно представить в факторизованном по спину и орбитальным степеням свободы виде:

$|\Psi \rangle = |\psi_{\text{орб}} \rangle \otimes |\chi \rangle$ ,

и тогда среднее векторного оператора суммарного момента импульса $\mathbf{ \hat j}=\mathbf{ \hat l}+\mathbf{ \hat s}$ по заданному состоянию $|\Psi \rangle$ сводится к сумме средних:

$\langle \mathbf{j} \rangle = \langle \psi_{\text{орб}} |\,\mathbf{ \hat l}\,|\psi_{\text{орб}} \rangle + \langle \chi| \,\mathbf{ \hat s} \, | \chi \rangle $ .

В этом формализме спиновое состояние электрона (в смысле ансамбля) может быть задано столбцом с парой комплексных чисел $\chi_1, \, \chi_2.$ Это компоненты спинора $| \chi \rangle$ "в z-базисе":

$| \chi \rangle = \chi_1 | \uparrow \rangle + \chi_2 | \downarrow \rangle$ .

Операторами декартовых проекций спина служат умноженные на $1/2$ общеизвестные матрицы Паули $\hat \sigma_x,$ $\hat \sigma_y,$ $\hat \sigma_z,$ формата 2х2 (поленюсь их тут выписывать). В результате, для декартовых проекций усредненного вектора спина электрона имеем выражения:

$\langle s_x \rangle =(1/2)\langle \chi| \hat \sigma_x | \chi \rangle = (1/2)(\chi_1^* \chi_2 + \chi_2^* \chi_1)$ ,

$\langle s_y \rangle =(1/2)\langle \chi| \hat \sigma_y | \chi \rangle = (-i/2)(\chi_1^* \chi_2 - \chi_2^* \chi_1)$ ,

$\langle s_z \rangle =(1/2)\langle \chi| \hat \sigma_z | \chi \rangle = (1/2)( |\chi_1|^2 - | \chi_2|^2)$ ,

где предполагается выполненным условие нормировки $|\chi_1|^2 + | \chi_2|^2=1$ . Подставляйте сюда конкретные значения чисел $\chi_1, \, \chi_2,$ и наслаждайтесь разглядыванием получившегося вектора $\langle \mathbf{ s} \rangle $ в обычном 3-мерном пространстве.


Без ущерба для общности, с точностью до общего произвольного фазового множителя, компоненты нормированного спинора можно выразить через два вещественных параметра $\theta$ и $\varphi:$

$\chi_1 = \cos(\theta /2)$ ,
$\chi_2=e^{i \varphi} \sin(\theta/2)$ .

Тогда в качестве элементарного упражнения нетрудно убедиться, что указанные выше формулы проекций усреднённого вектора спина $\langle \mathbf{ s} \rangle $ определяют вектор $\langle \mathbf{ s} \rangle $ величиной $1/2,$ направленный вдоль оси с углами $\theta$ и $\varphi$ обычной сферической системы координат в 3-мерном пространстве: в нашем родном и обычном - в том самом пространстве, где располагаются приборы Штерна - Герлаха и прочая аппаратура экспериментаторов.

Также в качестве упражнения убедитесь, что преобразованиям компонент спинора матрицами $SU(2)$ соответствуют обычные повороты вектора спина $\langle \mathbf{ s} \rangle .$ Таким путём можно, например, рассмотреть прецессию электронного спина во внешнем магнитном поле (см. ФЛФ-8)

Аналогичным образом усреднённый вектор орбитального момента определяется через заданную орбитальную волновую функцию и три оператора декартовых проекций орбитального момента импульса. Например, для электрона в атоме водорода в состоянии с $l=1, m=-1$ получим $\langle \mathbf{l} \rangle =-\mathbf{e}_z, $ где $\mathbf{e}_z$ есть орт декартовой системы координат. Вообще, в состоянии $|l,m\rangle$ имеем

$\langle \mathbf{l} \rangle =m\mathbf{e}_z $ .

[Prikol]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1006121 писал(а):

Prikol, зачем детские вопросы задаёте?

Вы не поняли вопроса. Или сделали вид, что не поняли.

Речь идет об утверждении:

amon в сообщении #1004625 писал(а):

Направление спина - это обычное 3-х мерное направление.

Вот мы и пытаемся любыми способами (даже задавая "детские" вопросы) понять, что имел ввиду автор этого утверждения.