Экзотическое состояние атома водорода уравнение Дирака

[Helium]

Munin в сообщении #1003427 писал(а):

Осталось сделать совсем чуть-чуть: разложить эту волновую функцию по базису стандартных, и правильно посчитать её полную (а не только кулоновскую) энергию.

Я не понимаю что это означает. И зачем это нужно?
Само уравнение Шредингера дает точность до 3-4 знака после запятой. разве этого недостаточно?
Нужна более высокая точность? Решение уравнения Дирака тоже приведено. Надеюсь там точность немного выше.

[Munin]

Helium в сообщении #1003465 писал(а):

Я не понимаю что это означает. И зачем это нужно?

Чтобы вы убедились, что ваше "новое" решение - на самом деле, не новое.

[Cos(x-pi/2)]

Попробую изложить ситуацию, как она навскидку показалась мне :)

Helium, вот же ж какое дело:

Непосредственной подстановкой в уравнения проверяется (если я не ошибся), что волновые функции вида $\psi = R(\rho)Y(\theta , \varphi)$ , где :

$R(\rho) = \rho^l e^{-\rho /2}$ ,

$Y(\theta , \varphi) = ( \sin \theta)^l e^{i l \varphi} $ ,

при любом $l$ удовлетворяют ур-ю Ш. с кулоновской потенциальной ямой. Т.е. они удовлетворяют и угловому уравнению (ЛЛ-3, §28) при любом $l$

$\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}) + \frac{1}{ \sin^2 \theta} \frac{\partial ^2 Y}{\partial^2 \varphi}=-l(l+1)Y$

и радиальному уравнению (ЛЛ-3, §36)

$\frac{d^2 R}{d \rho^2} + \frac{2}{\rho} \frac{dR}{d \rho} +(-\frac{1}{4}+\frac{n}{\rho}-\frac{l(l+1)}{\rho^2})R=0$ ,

если в нём положить

$n=l+1.$

Поскольку в этих обозначениях энергия электрона $E=- \frac{1}{2n^2},$ то тем самым имеем формальное выражение для энергии "нижнего уровня", т.е. уровня с не имеющей узлов радиальной функцией $R,$

$E_{\text{min}}=- \frac{1}{2(l+1)^2}$

при любом $l.$ Например, если выберете $l=-0.9,$ то получите $E_{\text{min}}=-100/2$ вместо "стандартного" значения $E_{\text{min}}=-1/2,$ соответствующего общепринятому минимальному $l=0.$ Т.е. само по себе у.Ш. ещё не даёт однозначного решения, если не налагать существенных ограничений на класс рассматриваемых волновых функций. Ограничения вводятся в том числе и из физических соображений.

Требование нормируемости сужает класс допустимых волновых функций. Ваш выбор $l=-1/2,$ да, дает нормируемое решение, но оно всё ещё не удовлетворительное. Дело в том, что по физ. смыслу угловое уравнение определяет собственные функции оператора квадрата орбитального момента электрона, так что в нём $l(l+1)$ - есть собственные значения положительно-определённой физ. величины: квадрата орбитального момента импульса.

Аналогично, член $\frac{l(l+1)}{\rho^2}$ в радиальном уравнении соответствует положительно-определённой центробежной энергии (это часть оператора кин. энергии, которая в классической механике отвечала бы энергии вращения частицы по орбите). Кроме того вообще, в квантовой теории орбитального момента (ЛЛ-3, §27) число $l$ по определению вводится как наибольшее значение $|l_z|$ (в мультиплете состояний с заданным квадратом момента, различающихся проекциями момента $l_z=m$). Оно по определению не может быть отрицательным. Поскольку из требования однозначности собственных функций орбитального момента $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ следует целочисленность $l_z=m,$ то допустимыми оказываются только целочисленные неотрицательные значения: $l=0, \, 1, \, ... \, .$

Другими словами, физически приемлемыми собственными функциями $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ орбитального момента служат ограниченные и однозначные решения угловых уравнений; эти два требования как раз ведут к "общепринятым" значениям для величины момента $l=0, \, 1, \, ...$ и его проекции $m=l, \, l-1, \, ... \, -l.$

А ваш выбор $l=-1/2$ не удовлетворяет этим двум требованиям к волновой функции, рушит квантовую теорию орбитального момента и портит неотрицательность кин. энергии, т.к. портит неотрицательность квадрата момента; имхо, этого достаточно, чтобы навсегда отбросить данное формальное решение дифф. ур-й в задаче об атоме водорода.

[amon]

Давайте возьмем Вашу функцию, и попробуем сосчитать на ней, скажем, среднюю кинетическую энергию. Там, в частности, будет такой член:

$$\left\langle Y_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\right\rvert\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}\left\lvert Y_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\right\rangle$$

Вам не кажется, что для $Y_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}=e^{i\varphi/2}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{\sqrt{\sin \theta}}$ этот интеграл разойдется? Таким образом, $Y_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$, $Y_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$ и прочие полуцелые сферические гармоники использовать нельзя, хотя иногда очень хочется. Например, вместо непонятных спиноров взять да и написать их. Ан-нельзя, не принадлежат они пространству, в котором действуют прочие операторы. Поэтому я про спин Вам и намекал.
PS. С нормировкой виноват, давно этим баловался, и забыл, что расходится, а что - нет.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1003549 писал(а):

Дело в том, что по физ. смыслу угловое уравнение определяет собственные функции оператора квадрата орбитального момента электрона, так что в нём $l(l+1)$ - есть собственные значения положительно-определённой физ. величины: квадрата орбитального момента импульса.

Я думаю, дело не только в этом, но и в том, что чисто математически все целые неотрицательные значения этой переменной образуют базис в пространстве функций (в данном случае, шаровых). А значит, все остальные значения - раскладываются по этому базису. Что физически, в свою очередь, означает... ну вам не надо объяснять.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1003549 писал(а):

А ваш выбор $l=-1/2$ не удовлетворяет этим двум требованиям к волновой функции, рушит квантовую теорию орбитального момента...

Скорее, не удовлетворяет ей.

Обмануть теорию нельзя. Можно её не понять, например.

[g______d]

amon правильно объяснил -- угловая часть не является собственной функцией оператора Лапласа на сфере, поскольку не принадлежит области определения оператора Лапласа.

[Munin]

Так она и базисным не ортогональна.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #1003585 писал(а):

Скорее, не удовлетворяет ей.

Да, я это и имел ввиду: функция вида $Y(\theta , \varphi) = ( \sin \theta)^{-1/2} e^{-i \varphi/2} $ не ограниченная и не однозначная, в отличие от обычных шаровых функций. И под "рушит теорию момента" я имел ввиду, что здесь значение $l=-1/2$ не может быть в то же самое время значением $|l_z|_{\text{max}},$ как должно быть в теории момента (т.е., да, ТС, видимо, не знает теорию момента, раз допускает отрицательные $l.$)

А разложить $( \sin \theta)^{-1/2} e^{-i \varphi/2}$ по шаровым функциям, имхо, не удастся. Ведь все шаровые функции - однозначные функции, так что и их линейные комбинации будут однозначными. Кроме того, все они собственные функции оператора квадрата момента, принадлежащие неотрицательным собственным значениям $l(l+1),$ поэтому и на любой их линейной комбинации среднее значение оператора квадрата момента

$-\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}) - \frac{1}{ \sin^2 \theta} \frac{\partial ^2 }{\partial^2 \varphi}$

будет неотрицательным - в отличие от значения $l(l+1)=-1/4$ при $l=-1/2.$

Т.е., имхо, предлагаемая топик-стартером функция $( \sin \theta)^{-1/2} e^{-i \varphi/2}$ не принадлежит пр-ву функций с базисом из обычных шаровых функций.

[amon]

Дело в том, что ТС уравнение Дирака решал, а там $l$ не квантовое число, а какое у него $j$ получается я поленился разбираться, увидев шаровую функцию полуцелого значка. А с ними у меня давняя история. Если открыть сначала параграф 27, а потом параграф 55 т.3 ЛЛ, то выясняется, что в 27-м убедительно доказывается, что собственные значения квадрата углового момента целые, а в 55-м, теми же словами, что полуцелые. Расстояние между параграфами больше 100 страниц, и не все это замечают. Как-то подумалось, если слова одинаковые, то может и формулы можно одинаковые написать. Повозился с полуцелыми шаровыми - все получается (все формулы из соответствующих параграфов выводятся). Слава богу, сообразил, что Ферми с Дираком не дураки были, и если бы все так просто было, давно про $Y_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$ везде было бы написано.

[g______d]

Munin в сообщении #1003602 писал(а):

Так она и базисным не ортогональна.

При чём это здесь? Никакая ненулевая функция не ортогональна всем базисным.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1003604 писал(а):

и не однозначная

Лучше просто "не функция". Ну или, если зафиксировать ветвь $\varphi$, то разрывная. Ровно та же ситуация, что с оператором $-\frac{d^2}{d\varphi^2}$ на окружности: уравнение $-\frac{d^2}{d\varphi^2}=\lambda f$ можно локально решить для любого $\lambda$, но глобально решение будет существовать только для дискретного набора.

-- Пн, 13 апр 2015 16:06:52 --

amon в сообщении #1003611 писал(а):

Если открыть сначала параграф 27, а потом параграф 55 т.3 ЛЛ, то выясняется, что в 27-м убедительно доказывается, что собственные значения квадрата углового момента целые, а в 55-м, теми же словами, что полуцелые

Там же в параграфе 54 всё объяснено. Если пользоваться только алгебраическими соотношениями, получаем полуцелые. Если мы дополнительно знаем что-то про $l_z$, -- то целые. Я не знаю, может быть, это потом добавили, но я просмотрел 3 разных издания специально.

-- Пн, 13 апр 2015 16:08:32 --

В любом случае, я не понимаю, зачем здесь привлекать теорию углового момента, когда можно просто взять оператор Лапласа на сфере и всё посчитать. А если не получается, посмотреть в учебник по мат. физике или PDE.

[amon]

g______d в сообщении #1003612 писал(а):

Там же в параграфе 54 всё объяснено.

Не буду настаивать, просто у меня (и еще некоторого количества людей) сложилось такое впечатление.

g______d в сообщении #1003612 писал(а):

В любом случае, я не понимаю, зачем здесь привлекать теорию углового момента, когда можно просто взять оператор Лапласа на сфере и всё посчитать.

С "посчитать" полностью согласен. Более того, боюсь, что другого способа показать, что полуцелые сферические функции - бред, я не знаю.

[Munin]

g______d в сообщении #1003612 писал(а):

При чём это здесь? Никакая ненулевая функция не ортогональна всем базисным.

При том, что её можно просто по базисным разложить, и убедиться в энергетическом представлении, что она не стационарна, и посчитать энергию (пусть даже $+\infty,$ как тут сообщили), и вообще - что "новое" состояние отнюдь не новое, а суперпозиция известных.

Ну, для меня это убедительнее, чем слова про "не принадлежит пространству" - это физическая аргументация, а не математическая. Посмотрим, куда amon склонится.

g______d в сообщении #1003612 писал(а):

Лучше просто "не функция".

Это на элементарном уровне вызывает рефлекторный протест: "как это, график есть (кроме концов отрезка), значит функция!". А не элементарный не всем дом родной.

g______d в сообщении #1003612 писал(а):

Ну или, если зафиксировать ветвь $\varphi$, то разрывная.

А, всё-таки $m$ полуцелая, я на это сразу намекал, но потом отвлёкся полиномо-лежандровой частью.

g______d в сообщении #1003612 писал(а):

В любом случае, я не понимаю, зачем здесь привлекать теорию углового момента, когда можно просто взять оператор Лапласа на сфере и всё посчитать. А если не получается, посмотреть в учебник по мат. физике или PDE.

Ха, в учебник послать этого фрика не получится! (Мы-то между собой разберёмся, но не в нас же проблема.)

-- 14.04.2015 02:30:38 --

(Оффтоп)

amon в сообщении #1003626 писал(а):

Не буду настаивать, просто у меня (и еще некоторого количества людей) сложилось такое впечатление.

Боюсь, беда в том, что в студенчестве всех гонят читать учебники "быстрей, быстрей, быстрей", и внимательно вчитываться в нюансы ни сил, ни времени не хватает. А ЛЛ весь из них состоит (как и другие учебники такого уровня, собственно).

amon в сообщении #1003626 писал(а):

С "посчитать" полностью согласен. Более того, боюсь, что другого способа показать, что полуцелые сферические функции - бред, я не знаю.

Но теория углового момента этим "посчитать" и является, по сути. Так что тут нет дилеммы. Выбор идёт только между "посчитать самому" и "посмотреть в книжке".

[g______d]

Munin в сообщении #1003632 писал(а):

Ну, для меня это убедительнее, чем слова про "не принадлежит пространству" - это физическая аргументация, а не математическая. Посмотрим, куда amon склонится.

Область определения оператора -- это ровно и есть функции с конечной энергией. Куда уж физичнее?

Munin в сообщении #1003632 писал(а):

Но теория углового момента этим "посчитать" и является, по сути.

Нет, теория углового момента -- это как из соображений коммутируемости оператора с вращениями и теории представлений группы вращений доказать, что собственные значения могут быть только какими-то, и научиться из одних собственных функций строить другие с помощью повышающих и понижающих операторов. А посчитать -- это честно найти собственные функции оператора Лапласа методом разделения переменных.

amon в сообщении #1003626 писал(а):

Более того, боюсь, что другого способа показать, что полуцелые сферические функции - бред, я не знаю.

Ну кстати в ситуации с оператором Лапласа, действующим не на скалярные, а на спинорные поля, полуцелые сферические гармоники появляются.

-- Пн, 13 апр 2015 16:46:38 --

Munin в сообщении #1003632 писал(а):

Это на элементарном уровне вызывает рефлекторный протест: "как это, график есть (кроме концов отрезка), значит функция!". А не элементарный не всем дом родной.

Munin в сообщении #1003632 писал(а):

При том, что её можно просто по базисным разложить, и убедиться в энергетическом представлении, что она не стационарна, и посчитать энергию (пусть даже $\+infty,$ как тут сообщили), и вообще - что "новое" состояние отнюдь не новое, а суперпозиция известных.

Допустим, Вам говорят "давайте рассмотрим функцию $e^{i\sqrt{2}\varphi}$" на окружности, очевидно, это собственная функция оператора $\frac{d^2}{d\varphi^2}$. Неужели Вы поймёте, что тут что-то не так, только после того, как сосчитаете эволюцию и проверите нестационарность, или разложите её в ряд Фурье по стандартному базису?

[amon]

Munin в сообщении #1003632 писал(а):

Но теория углового момента этим "посчитать" и является, по сути.

Все формулы теории углового момента воспроизведутся, если сосчитать матричные элементы (для $s=1/2$). Сейчас соображаю уже плохо, но, по-моему, если не привлекать других операторов (Гильбертово пространство должно быть единым), кроме углового момента, то кроме вялого аргумента, что функция настоящего момента должна быть $2\pi$-периодической (а почему, собственно?), ничего против полуцелых моментов не остается. Ведь целочисленные моменты спокойно разлагаются по спинорам, и ничего. Так что IMHO, ;) только невозможность сосчитать среднее от кинетической энергии не дает возможности дать хоть какую премию Helium'у за сделанное открытие.

[Munin]

g______d в сообщении #1003644 писал(а):

Нет, теория углового момента -- это... А посчитать -- это честно найти собственные функции оператора Лапласа методом разделения переменных.

Не знаю, откуда вы такие представления взяли, а физики учатся по ЛЛ-3, где в главе "Угловой момент" именно честно берут и считают. А возиться с алгеброй - можно, но опционально (для продвинутых энтузиастов).

g______d в сообщении #1003644 писал(а):

Допустим, Вам говорят "давайте рассмотрим функцию $e^{i\sqrt{2}\varphi}$" на окружности, очевидно, это собственная функция оператора $\frac{d^2}{d\varphi^2}$. Неужели Вы поймёте, что тут что-то не так, только после того, как сосчитаете эволюцию и проверите нестационарность, или разложите её в ряд Фурье по стандартному базису?

Нет, я нарисую график.

Так же и здесь: график-то нарисован (повторяю, я про график от $\theta$).

А вот вы, похоже, будете проверять, что "тут что-то не так", диагностируя принадлежность этой функции одному из кучи функциональных пространств, в которых чёрт ногу сломит.

----------------

amon
g______d в сообщении ровно выше ( post1003644.html#p1003644 ) пояснил про полуцелые гармоники.

amon в сообщении #1003649 писал(а):

Так что IMHO, ;) только невозможность сосчитать среднее от кинетической энергии не дает возможности дать хоть какую премию Helium'у за сделанное открытие.

А как же разрывность по $\varphi$?