Косвенные измерения

[Learner]

Александрович, мне очень нужно разобраться. Если у вас есть возможность и терпение, помогите пожалуйста. Почему многократные ничего не дадут? Почему дисперсия нулевая? вот нашел: http://studopedia.ru/5_18595_rascheta-i ... ostey.html
"Пример.

Рассмотрим измерение длины деревянного бруска штангенциркулем. Из-за неоднородности спила мы каждый раз получаем различные длины."

-- 18.04.2015, 17:08 --

Попробую начать сначала...Что я хочу. Измеряем по отдельности однократно длину каждого из двух брусков. Погрешность в каждом случае будет равна половине цены деления. Это из школы ведь еще известно. Теперь складываю измеренные значения длин и получаю суммарную длину двух брусков. Это косвенное измерение и погрешность суммарной длины поэтому будет в корень из двух раз больше половины цены деления. Это верно? А теперь у меня например 10 таких косвенных измерений. Причем в каждом измерении участвует один и тот же брусок а второй брусок - каждый раз разный. Мне нужно уменьшить погрешность измерения суммарной длины памятуя о том, что погрешнось связанную с одинаковым бруском можно как то исключить превратив ее в поправку.

[Learner]

Я сформулировал задачу не в исходном виде, а похожую. Сейчас попробую сформулировать ее в исходном. В литературе по критическим экспериментам нашел: "Предположим, что общая погрешность состоит из двух составляющих: одной, равной $0.7\%$, случайно меняющейся от эксперимента к эксперименту и другой, также равной $0.7\%$, общей для всех экспериментов (эта погрешность может быть обусловлена например, неточностью знания состава раствора, если во всех пяти экспериментах использовался один и тот же раствор). Естественно предположить, что случайная и систематическая погрешности независимы и в этом случае квадрат стандартного отклонения или дисперсия результата отдельного эксперимента будет равна $~1\%$ (корень из суммы квадратов погрешностей). Однако в этом случае погрешности разных экспериментов оказываются скоррелированными за счет общей систематической составляющей и коэффициент корреляции будет равен 0.5." Статья: Иванова Т.Т., М.Н.Николаев, Раскач К.Ф. и др. "Влияние корреляций экспериментальных погрешностей на предсказание критичности". Nuclear Science & Engineering, september 2003, p.97-104.
Вот меня и интересует, можно ли общую для всех экспериментов погрешность превратить в поправку тем самым дисперсию отдельного эксперимента сделать меньше (не $1\%$, а $0.7\%$). И что значит понятие - общая погрешность для всех экспериментов? В статье ее еще называют систематической составляющей.

[Александрович]

Давайте сначала разберёмся с линейкой и с ценой деления шкалы. Пусть имеется брусок с точной длиной $10,2$ мм. Мы линейкой с ценой деления в $1$ мм определим её как $10,0$ мм с абсолютной погрешностью $-0,2$ мм. Далее берётся брусок с точной длиной $9,9$ мм и мы определяем её как $10,0$ мм с абсолютной погрешностью $+0,1$ мм. Ну какая же это систематическая погрешность? Всякий раз погрешность случайно меняется как по знаку, так и по значению. Распределение такой св - равномерное в интервале $[0;0.5]$. Что такое систематическая погрешность для линейки? Это допустим когда первое деление не $1$ мм, а $1,5$ мм (смещение нуля). Тогда каждое измерение будет иметь систематическую (аддитивную) погрешность в $0,5$ мм. Или когда шкала на металлическую линейку наносилась при одной температуре, а измерения делались при другой. Тогда каждое измерение будет иметь систематическую (мультипликативную) погрешность.

[Learner]

Да, это понятно. Но шкала наносилась с помощью какого-то аппарата. Даже если мы увидим что при измерении бруска результат чуть смещен на 20% дальше риски, мы не сможем сказать, что длина бруска точно равна 10,2 мм. То есть мы сами не можем разделить линейку на деления. Чем обусловлено что линейка не разделена на деления максимально возможно малые?

[Александрович]

Если такой линейкой измерять большое количество сумм длин двух брусков, можно достаточно точно приблизиться к истинному значению искомой длины бруска.

[Learner]

Просто вы рассказали о погрешности которая возникает в процессе измерения (мы округляем 10.2 до 10, в сторону ближайшего деления). Но почему тогда 0.5 шкалы деления - это погрешность инструмента?

[Александрович]

Learner в сообщении #1005484 писал(а):

Но почему тогда 0.5 шкалы деления - это погрешность инструмента?

По определению.

[Learner]

Хорошо. Берем 1 неизвестный брусок, его поверхность неровная, измеряем 5 раз. Получаем например 5 значений. 10,1 10,2 10,1, 10,2 , 10,1. Находим среднее значение, находим среднюю квадратичную погрешность результата серии измерений. (такая процедура описана в литературе). Определяем коэффициент Стьюдента по таблице и находим границы доверительного интервала. Если определенная выше величина погрешности окажется сравнимой с приборной, то при расчете границ интервала приборная учитывается под корнем. То есть обе составляющих в данном случае случайные? А при однократном измерении мы запишем результат $10,1\pm0,05$ ?

-- 19.04.2015, 10:26 --

Александрович, я правильно вас понял, что есть метод уменьшить приборную погрешность линейки не меняя линейки?

[Александрович]

Learner в сообщении #1005490 писал(а):

Александрович, я правильно вас понял, что есть метод уменьшить приборную погрешность линейки не меняя линейки?

Правильно, я об этом уже сообщил в первом своём посте. И вы о его применении так же уже сообщали.

[Learner]

А в числах и формулах где-то можно посмотреть этот метод?

[Александрович]

А это разве не очевидно?

[Learner]

Нет. Вот например если 4 измерения провести какая будет погрешность? А если 10? Погрешности второго бруска и суммы брусков коррелируют.

[Александрович]

Чтобы прояснить ситуацию, предлагаю рассмотреть рычажные веры с разновесами дискретностью в один грамм. Нужно определить вес груза с какой угодно точностью. Тогда на одну из чашек весов бросаем свой груз и кусок пластилина. Находим суммарный вес груз+пластилин и отдельно вес пластилина. Находим вес нашего груза. Отгрызаем от куска пластилина небольшой кусочек и повторяем процедуру. И так множество раз для достижения необходимой точности.

-- Вс апр 19, 2015 17:04:56 --

Learner в сообщении #1005513 писал(а):

Погрешности второго бруска и суммы брусков коррелируют.

Этого я не понимаю.

[Learner]

Александрович в сообщении #1005537 писал(а):

Чтобы прояснить ситуацию, предлагаю рассмотреть рычажные веры с разновесами дискретностью в один грамм. Нужно определить вес груза с какой угодно точностью. Тогда на одну из чашек весов бросаем свой груз и кусок пластилина. Находим суммарный вес груз+пластилин и отдельно вес пластилина. Находим вес нашего груза. Отгрызаем от куска пластилина небольшой кусочек и повторяем процедуру. И так множество раз для достижения необходимой точности.

Погрешность суммы грузов равна 1 г, пластилина тоже 1 г. А как вы предлагаете вычислять погрешность разности этих величин?

[Александрович]

Возьмем первый брусок длиной $10.2$ мм, но она нам неизвестна. Вот четыре вторых бруска - $(10.38; 10.10; 10.60; 10.90)$ (значения случайно сгенерированы). Вот измерения суммы двух брусков - $(20.5; 20.5; 21.0; 21.0)$. Вот измерения вторых брусков -$(10.5; 10.0; 10.5; 11.0)$. Вот расчетные значения для первого бруска -$(10.0; 10.5; 10.5; 10)$ (разность между суммарной длиной и длиной второго бруска). Среднее значение длины первого бруска -$10.25$ мм. Чем больше мы возьмем вторых брусков, тем ближе будем к истинному значению длины первого бруска.