Скрещивающиеся прямые

[mihatel]

Есть три попарно скрещивающиеся прямые. Всегда ли существует плоскость, точки пересечения которой с этими прямыми образуют правильный (или прямоугольный, или вообще подобный любому наперед заданному) треугольник?

[gris]

я бы аффинно перевёл эти прямые в что-то типа $(x,0,0),(1,y,1),(2,1,z)$ и посмотрел на разрешимость системы уравнений для двух углов.

[Evgenjy]

Думаю, что для остроугольного треугольника – всегда, а для тупоугольного – не всегда.

[Munin]

Я решил задачу для трёх прямых, пересекающихся в одной точке. Но на скрещивающиеся моё решение, кажется, не обобщается.

[Brukvalub]

Возьмем по точке на 2-х скрещивающихся прямых. Г.М.Т. точек, равноудаленных от взятых точек- это срединный перпендикуляр, то есть плоскость, перпендикулярная отрезку с концами в выбранных точках и проходящая через середину этого отрезка. Если эта плоскость случайно окажется параллельна третьей прямой, то малыми шевелениями выбранных точек всегда можно нарушить параллельность. Тем самым, равнобедренный треугольник получить нетрудно.

[unistudent]

Прямоугольный треугольник построить можно. Есть три параллельные плоскости $\pi_1, \pi_2, \pi_3$, содержащие скрещивающиеся прямые $l_1 \subset \pi_1, l_2 \subset \pi_2, l_3 \subset \pi_3$. Выбираем точки $p_1 \in l_1, p_2 \in l_2$ так, чтобы отрезок $p_1,p_2$ не был перпендикулярен плоскостям. Такие точки существуют всегда. Через один из концов этого отрезка проводим перпендикулярную ему плоскость $\pi$. Ясно, что пересечение $\pi \cap \pi_3$ не пусто. Пусть $\pi \cap \pi_3 = l$. Может случиться, что $l$ параллельна $l_3$. Такое возможно тогда и только тогда, когда $\overline{p_1, p_2} \perp \l_3$. Утверждение: всегда найдутся такие $p_1, p_2$, что $\overline{p_1, p_2}$ не перпендикулярен $ \l_3$

[Brukvalub]

unistudent в сообщении #1004282 писал(а):

Прямоугольный треугольник построить можно. Есть три параллельные плоскости $\pi_1, \pi_2, \pi_3$, содержащие скрещивающиеся прямые $l_1 \subset \pi_1, l_2 \subset \pi_2, l_3 \subset \pi_3$. ..

Это как? Как известно, две скрещивающиеся прямые можно поместить по одной в единственную пару параллельных плоскостей. Если третья скрещивающаяся прямая будет пересекать эти плоскости, то откуда возьмется три параллельных плоскости, в которых расположатся прямые?

[unistudent]

Brukvalub в сообщении #1004286 писал(а):

Если третья скрещивающаяся прямая будет пересекать эти плоскости, то откуда возьмется три параллельных плоскости, в которых расположатся прямые?

Правильно, но в этом случае совсем все очевидно.

[Brukvalub]

unistudent в сообщении #1004291 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1004286 писал(а):

Если третья скрещивающаяся прямая будет пересекать эти плоскости, то откуда возьмется три параллельных плоскости, в которых расположатся прямые?

Правильно, но в этом случае совсем все очевидно.

Что очевидно? То, что вы написали глупость?

[unistudent]

Ну если эта мысль полезна для вашей печени, то пусть будет так, я не против. Лишь бы ближний выздоравливал …кстати, я рассматривал ваш случай, забыл лишь упомянуть его, как наипростейший в случае прямоугольного треугольника. Будьте здоровы, и старайтесь правильно питаться

[Brukvalub]

unistudent в сообщении #1004304 писал(а):

Ну если эта мысль полезна для вашей печени, то пусть будет так, я не против. Лишь бы ближний выздоравливал …кстати, я рассматривал ваш случай, забыл лишь упомянуть его, как наипростейший в случае прямоугольного треугольника. Будьте здоровы, и старайтесь правильно питаться

Язвить вы научились, хоть и скверно. Но отвечать за свои слова вы пока не умеете. Если указанный мной случай "наипростейший в случае прямоугольного треугольника", то укажите, как получить прямоугольный треугольник, раз уж вы его рассматривали, но забыли упомянуть.

[unistudent]

Вы близко к сердцу не берите.
Параллельные плоскости, $\pi_1, \pi_2$, содержат скрещивающиеся прямые $l_1, l_2$. Есть отрезок $|a,b|: a \in l_1, b \in l_2$, перпендикулярный этим прямым. Его длина равна расстоянию между плоскостями. Если третья прямая $l_3$ пересекает плоскости $\pi_1, \pi_2$ в точках $p_1, p_2$, то $|a,b| \perp |p_1,a|$. Искомый треугольник $p_1,a,b$. Если точка $p_1$ по каким-то причинам оказалась плохой, то берем точку $p_2$ и треугольник $a,b,p_2$.
И не пытайтесь браниться на чем свет стоит, если что не так. Укажите на ошибку, буду благодарен. Мне лично вас улыбающимся гораздо приятней представлять. А вообще, вам бы свою ветку в разделе Математика для особо одаренных открыть.

[Brukvalub]

unistudent в сообщении #1004347 писал(а):

.. Если точка $p_1$ по каким-то причинам оказалась плохой, то берем точку ....

По каким причинам эта точка может оказаться "плохой"?

[unistudent]

Не помню уже, бегу на лекцию… потом напишу

[unistudent]

Есть одно исключение. Если $l_3$ пересекает линию $a,b$, то плохо это построение не проходит. Сорри