Скрещивающиеся прямые

[Munin]

svv в сообщении #1004628 писал(а):

Munin
Вы писали, что решили аналогичную задачу для пересекающихся прямых. Ответ положительный? Любой треугольник можно получить?

Нет, не любой.

Решил я эту задачу, "переселившись" в сферическую геометрию. Прямые исходной задачи становятся точками, образующими на сфере треугольник (точнее, разумеется, 8 треугольников, из которых 4 различны). Треугольник лежит в какой-то плоскости, которая в сферической геометрии становится новой прямой $\ell,$ а стороны треугольника - точками на этой прямой. И вопрос задачи превращается в такой: задан сферический треугольник и три точки на одной прямой - то есть, по сути, три угловых расстояния $a,b,a+b.$ Всегда ли эти три точки можно разместить на сторонах этого сферического треугольника или его продолжениях?

Ответ отрицательный: возьмём, например, сферический треугольник с углами $\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2},$ а три точки - с малыми расстояниями. Это соответствует в исходной задаче трём перпендикулярным прямым, и треугольнику с двумя малыми острыми углами.

[Skeptic]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1004496 писал(а):

Смешно до слез! Неуч "ставит ловушки"-БУ-ГА-ГА!!!
1. В гранях треугольных пирамид нет диагоналей.

А вы, оказывается, знаете знаете только трехгранные пирамиды.
Не теряйте время в форуме. Учите школьную геометрию.

[AGu]

(Оффтоп)

Brukvalub, я продолжаю Вам искренне сочувствовать. А Skeptic рискует доязвиться до полной потери сочувствия.

Серьезно, стоит ли препираться по мелочам? Недоразумение ведь уже было раскрыто: кто-то говорил про параллельные плоскости, а кто-то этого не заметил. Сущая ерунда, бывает.

[Brukvalub]

господин Skeptic! Я уже начал учить геометрию, но наткнулся на противоречия с учебником и вашими заявлениями. В своем "решении" unistudent использовал ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ плоскости, содержащие скрещивающиеся прямые. вы же в своей "ловушке", в которую я попался, тоже использовали некоторые плоскости, опровергая утверждение unistudent-а, относящееся к ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ плоскостям. Я не могу доказать параллельность использованных вами плоскостей и прошу, чтобы вы мне помогли.

[unistudent]

AGu в сообщении #1004706 писал(а):

(Оффтоп)

Brukvalub, я продолжаю Вам искренне сочувствовать. :-) А Skeptic рискует доязвиться до полной потери сочувствия.

Серьезно, стоит ли препираться по мелочам? Недоразумение ведь уже было раскрыто: кто-то говорил про параллельные плоскости, а кто-то этого не заметил. Сущая ерунда, бывает.

Да что вы все сочувствуете? Берите уже наконец бразды правления в свои руки и рулите.

-- 17.04.2015, 12:59 --

Интуиция

(Оффтоп)

прошу не возбуждаться, мне уже рассказывали о значении этого слова и роли этого чувства в математике

подсказывает мне, что да, можно построить треугольник , подобный наперед заданному.
I. Рассмотрим две скрещивающиеся прямые $l_1,l_2$ и отрезок $ab: a \in l_1, b \in \l_2$. Пусть $\tau$ будет направляющим вектором линии, содержащей $ab$. Зафиксируем любые два числа $v_1, v_2$. Через точку $o=a+v_1|ab|\tau$ проведем плоскость $\pi, \pi \perp ab$. Наконец, рассмотрим окружность $C \subset \pi$ с центром в $o$ и радиусом $r=v_2|ab|$. Какими бы ни были точки $a \in l_1, b \in \l_2$, треугольник $abc, c \in C$ подобен некоторому фиксированному треугольнику, который можно задать с помощью чисел $v_1, v_2$. Двигая точки $a,b$ мы тем самым переводим окружность $C$ из одного положения в другое, радиус окружности меняется пропорционально длине $|ab|$.
II. Пусть дана третья прямая $l_3$. Будем считать, что $\max\{d_{13}, d_{23}\} > d_{12}$, где $d_{ij}$-расстояние между прямыми $l_i,l_j$. Если даже и существуют такие точки $a,b$, что $l_3 \parallel \pi$, то они единственны. Поэтому, можно считать, что $l_3$ пересекает плоскость $\pi$ всегда (за исключением м.б. этого единственного случая). Так вот, моя интуиция говорит мне, что всегда можно выбрать такие $a,b$, что $l_3$ пересечет $\pi$ в круге, ограниченном окружностью $C$. Если это так, то обязательно найдутся и такие $a,b$, при которых $l_3$ пересекает $\pi$ в одной из точек самой окружности.

[svv]

Munin в сообщении #1004639 писал(а):

Ответ отрицательный

Жаль. А то бы можно было взять скрещивающиеся прямые и сжать всю фигуру с очень большим коэффициентом сжатия, тогда бы они превратились в почти пересекающиеся в одной точке, и Ваше решение можно было бы поцепить на них со сколь угодно малой коррекцией.

[Munin]

svv в сообщении #1004818 писал(а):

Жаль. А то бы можно было взять скрещивающиеся прямые и сжать всю фигуру с очень большим коэффициентом сжатия, тогда бы они превратились в почти пересекающиеся в одной точке, и Ваше решение можно было бы поцепить на них со сколь угодно малой коррекцией.

Да, я собственно имел в виду ту же стратегию. Но жаль даже не того, что ответ отрицательный, а того, что контрпример в случае скрещивающихся прямых очевидно не работает: достаточно взять треугольник, близкий к общей для всех трёх скрещенных прямых пересекающей их прямой (такая всегда есть, и кажется, не одна).

Вообще, довольно интересный объект оказался: три скрещенные прямые - хотелось бы его понять как-нибудь попроще.

[AGu]

Munin в сообщении #1004886 писал(а):

Вообще, довольно интересный объект оказался: три скрещенные прямые - хотелось бы его понять как-нибудь попроще.

Согласен. Если отсечь плоско-параллельный случай, то эту тройку можно представлять в виде (понятно каких) ребер параллелепипеда или (понятно каких) диагоналей его граней. Но это поверхностно и едва ли может считаться упрощением. В учебной литературе рассмотрение тройки скрещенных прямых часто связывается с исследованием множества пересекающих их прямых, которые образуют однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид. (Это, видимо, идет от Делоне.) Вот, пожалуй, и все, что я помню про эту тройку. Негусто.

[Nemiroff]

AGu в сообщении #1004907 писал(а):

В учебной литературе рассмотрение тройки скрещенных прямых часто связывается с исследованием множества пересекающих их прямых, которые образуют однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид. (Это, видимо, идет от Делоне.)

Пересекающих?
Через три прямые общего положения проходит единственный однополостный гиперболоид.
Ну а если они все параллельны плоскости, то седло.

[iifat]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1004886 писал(а):

такая всегда есть, и кажется, не одна

На всякий случай: пусть у нас есть пара скрещённых прямых. Берём любую точку пространства, не лежащую ни на одной из них. Проводим через неё и все точки одной из прямых прямые. Получается, естественно, плоскость, столь же естественно пересекающуюся с другой прямой из нашей пары. Мораль: через любую точку пространства можно провести ровно одну прямую, пересекающую обе наших скрещённых. Не исключая точки, лежащие на третьей скрещённой.

[Nemiroff]

iifat в сообщении #1004922 писал(а):

Мораль: через любую точку пространства можно провести ровно одну прямую, пересекающую обе наших скрещённых.

Это у вас проективное пространство должно быть.

-- Пт апр 17, 2015 19:20:43 --

Четыре попарно скрещивающихся прямых. Есть ли прямая, пересекающая все?
В обычном $\mathbb{R}^3$ наверное и не обязательно.

[AGu]

Nemiroff в сообщении #1004918 писал(а):

AGu в сообщении #1004907 писал(а):

множества пересекающих их прямых, которые образуют однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид

Пересекающих?

Ну да, пересекающих. Я имел в виду вот эту теорему.

[iifat]

AGu в сообщении #1004932 писал(а):

Это у вас проективное пространство должно быть

Не понял. Вроде бы всё делаю в обычном, евклидовом.

-- 18.04.2015, 03:30 --

AGu в сообщении #1004932 писал(а):

Я имел в виду вот эту теорему

Кстати, из неё, как понимаю, следует и ответ на вопрос

Nemiroff в сообщении #1004927 писал(а):

Четыре попарно скрещивающихся прямых. Есть ли прямая, пересекающая все?

Достаточно взять указанный гиперболоид и провести четвёртую прямую, его не пересекающую.

[Nemiroff]

AGu в сообщении #1004932 писал(а):

Я имел в виду вот эту теорему.

А, ну да. Я про сами прямые подумал. Они тоже образующие. Только к другому семейству принадлежат.

iifat в сообщении #1004938 писал(а):

Не понял. Вроде бы всё делаю в обычном, евклидовом.

Могут не пересекать две, а пересекать одну и быть параллельны другой. Возьмите плоскость, проходящую через одну прямую параллельно другой.

[iifat]

Nemiroff в сообщении #1004940 писал(а):

пересекать одну и быть параллельны другой

Да. Вы правы. Всё пространство кроме пары плоскостей. Интересно. Если плоскость, проходящая через точку и прямую, параллельна другой, скрещивающейся с первой, то плоскость, проходящая через эту точку и вторую прямую, должна быть параллельна первой? Пытаюсь себе представить. Что-то не очень получается. Правда, с пространственным воображением у меня не очень.