Операции с тензорами

[MaruSan]

Здравствуйте! Пожалуйста, помогите разобраться с задачей.
Имеются 2 тензора второго ранга:
$ A =\begin{pmatrix} 1& 0 & 5 \\ 0 & 6 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$ и $ B = \begin{pmatrix} 5& 0 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \\ 4 & 5 & 4 \end{pmatrix}$
Необходимо выполнить с ними операцию в такой форме записи: $A_i_j $$B_i_j $
Никаких пояснений больше нет.

Есть предположение, что это свёртка по паре индексов, но что должно получиться в итоге, непонятно. Выдвигался вариант, что необходимо просто перемножить их между собой, как обычные матрицы, но это точно неверно.
Если это действительно запись свёртки, то ранг ответа должен понизиться на 2, то есть, получим скаляр. Может ли быть нечто вроде $A_1_1 \cdot B_1_1 + A_2_2 \cdot B_2_2 + A_3_3 \cdot B_3_3 $ ?

Пожалуйста, помогите разобраться, буду очень признательна, если объяснят принцип действия.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

MaruSan
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

[Dan B-Yallay]

Если это "свертка", тогда индексы $i,j$ независимы, то есть

$$A_{ij}B_{ij}= A_{11}B_{11}+ A_{12}B_{12} + A_{13}B_{13} + A_{21}B_{21}...$$

[Munin]

Правило суммирования (правило Эйнштейна): каждый индекс, повторяющийся дважды - индекс суммирования.

В вашем выражении таких индексов два: $i$ и $j.$ Ergo:

$$\begin{aligned}A_{ij}B_{ij}=\smash{\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3A_{ij}B_{ij}}={}&{}A_{11}B_{11}+A_{12}B_{12}+A_{13}B_{13}+{}\\{}+{}&{}A_{21}B_{21}+A_{22}B_{22}+A_{23}B_{23}+{}\\{}+{}&{}A_{31}B_{31}+A_{32}B_{32}+A_{33}B_{33}.\end{aligned}$$

[MaruSan]

Dan B-Yallay в сообщении #1000032 писал(а):

Если это "свертка", тогда индексы $i,j$ независимы, то есть

$$A_{ij}B_{ij}= A_{11}B_{11}+ A_{12}B_{12} + A_{13}B_{13} + A_{21}B_{21}...$$

Да, тема относится именно к сверткам, однако нам специально не стали называть название операции, вот и сомнения возникли.

-- 04.04.2015, 21:18 --

Munin в сообщении #1000033 писал(а):

Правило суммирования (правило Эйнштейна): каждый индекс, повторяющийся дважды - индекс суммирования.

Спасибо за столь подробные разъяснения!

Интересно, а существует ли связь между тензорной алгеброй и операциями с матрицами?
Например, мы подметили, что возведение тензора в квадрат производится аналогично с перемножением матриц в линейной алгебре.

[svv]

Конечно, существует. Например, даны линейные операторы $\textsf A: V\to V, \textsf B: V\to V$, где $V$ — векторное пространство. Их композиция $\textsf C=\textsf A \textsf B$. В некотором базисе для соответствующих матриц имеем $C=AB$. Линейный оператор, сопоставляющий вектору вектор, — это тензор ранга $(1,1)$. Тогда $c^i{}_k=a^i{}_j b^j{}_k$ — это запись произведения тензоров $\textsf A$ и $\textsf B$ (со сверткой) в компонентах, и одновременно запись матричного умножения в элементах.

[мат-ламер]

MaruSan в сообщении #999892 писал(а):

Если это действительно запись свёртки, то ранг ответа должен понизиться на 2, то есть, получим скаляр.

А что, там действительно получается скаляр (число, не зависящее от выбора базиса)? (Сворачиваем две квадратичные формы по нижним индексам).

[MaruSan]

svv в сообщении #1000065 писал(а):

Конечно, существует. Например, даны линейные операторы $\textsf A: V\to V, \textsf B: V\to V$, где $V$ — векторное пространство. Их композиция $\textsf C=\textsf A \textsf B$. В некотором базисе для соответствующих матриц имеем $C=AB$. Линейный оператор, сопоставляющий вектору вектор, — это тензор ранга $(1,1)$. Тогда $c^i{}_k=a^i{}_j b^j{}_k$ — это запись произведения тензоров $\textsf A$ и $\textsf B$ (со сверткой) в компонентах, и одновременно запись матричного умножения в элементах.

Ох и много же всего придумали математики! Учить, учить и ещё раз учить!

мат-ламер в сообщении #1000579 писал(а):

А что, там действительно получается скаляр (число, не зависящее от выбора базиса)? (Сворачиваем две квадратичные формы по нижним индексам).

Если верить ответам выше, то да, так и выходит.

[Dan B-Yallay]

мат-ламер в сообщении #1000579 писал(а):

А что, там действительно получается скаляр (число, не зависящее от выбора базиса)?

В постановке задачи ни слова о базисе. Просто абстрактные матрицы вне контекста линейных преобразований.

[MaruSan]

А вот ещё один вопросик возник. Когда мы раскладываем произвольный тензор на шаровую и девиаторную части, в качестве $I$ мы используем первый инвариант, или сумму всех инвариантов?
$T=\frac{I }{3}E+Dev(T)$,

где $Dev(T)=\begin{pmatrix} T_1_1 - \frac{I }{3} & T_1_2 & T_1_3 \\ T_2_1 & T_2_2 - \frac{I }{3}& T_2_3 \\ T_3_1 & T_3_2 & T_3_3 - \frac{I }{3}\\ \end{pmatrix} $,
$E$ - единичный тензор.

[svv]

MaruSan в сообщении #1000594 писал(а):

Учить, учить и ещё раз учить!

Если та цитата показалась сложной, просто выбросьте её, а вместо этого я скажу: всякие матрично-векторные операции обычно легко интерпретируются как соответствующие действия над тензорами в компонентах.

[MaruSan]

svv в сообщении #1000611 писал(а):

Если та цитата показалась сложной, просто выбросьте её, а вместо этого я скажу: всякие матрично-векторные операции обычно легко интерпретируются как соответствующие действия над тензорами в компонентах.

Да, выглядит сложновато, поскольку с серьёзной терминологией не знакома. То, что успела узнать, подходит скорее для повседневно-пигмейского, чем для математика. Например, ни слова не известно про верхние и нижние индексы тензоров, хотя, если верить бегло просмотренной литературе по теме, это очень важная вещь.
А понять-то хочется.

[svv]

MaruSan в сообщении #1000609 писал(а):

Когда мы раскладываем произвольный тензор на шаровую и девиаторную части, в качестве $I$ мы используем первый инвариант, или сумму всех инвариантов?

Давайте разберемся, для чего делается такое разложение. Например, возьмём тензор деформации $\eta_{ik}$. Деформация даже локально может быть сложной: в одной точке в разных направлениях одновременно могут быть и растяжения, и сжатия, и сдвиги. Для описания этого тензоры и выдуманы. Но у деформации есть важная скалярная характеристика, которая показывает: а в целом тело в точке растянуто или сжато? За это отвечает след тензора деформации, т.е. сумма его диагональных компонент $\eta_{jj}=\eta_{11}+\eta_{22}+\eta_{33}$ (Ваш первый инвариант). Если след положительный, тело в точке в целом растянуто (а плотность уменьшается), если отрицательный — сжато (плотность увеличивается).

Так вот, любой тензор деформации можно разбить на сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, шаровой тензор, описывает изотропную в точке деформацию (одинаковую по всем направлениям) и имеет то же растяжение-сжатие в целом (т.е. тот же след), что и исходный тензор. Второе слагаемое показывает отклонение тензора от описанной изотропной деформации, но его след уже равен нулю. Это девиатор.

Изотропной деформации соответствует тензор $a\delta_{ik}$, где $a$ — некоторый скаляр. След этого тензора равен $a(\delta_{11}+\delta_{22}+\delta_{33})=3a$. Чтобы этот след был таким же, как у «полноценного» тензора $\eta_{ik}$, приравняем $3a=\eta_{jj}$, откуда $a=\frac 1 3\eta_{jj}$. Тогда шаровая часть деформации равна $\frac 1 3\eta_{jj}\delta_{ik}$.

MaruSan в сообщении #1000615 писал(а):

Например, ни слова не известно про верхние и нижние индексы тензоров, хотя, если верить бегло просмотренной литературе по теме, это очень важная вещь.

Для криволинейных координат. Но и здесь прикладники отчаянно сопротивляются этой системе. Например, для криволинейных ортогональных координат они выдумали некоординатные ортонормированные базисы (которых в «нормальной теории» здесь уже не должно быть) и всё-таки обходятся одними нижними индексами.

[Munin]

MaruSan в сообщении #1000609 писал(а):

А вот ещё один вопросик возник. Когда мы раскладываем произвольный тензор на шаровую и девиаторную части, в качестве $I$ мы используем первый инвариант, или сумму всех инвариантов?

В качестве $I$ используется след. А уж какой он там по номеру - это даже не важно. След и определитель - имена собственные, их надо знать и понимать.