2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.12.2015, 13:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20037
Уфа
Panfilov
Да, это аналогичное соотношение, ему тоже удовлетворяет куча функций. Осталось для общности взять в том уравнении не $a = \pm1$, а $a\in\mathbb C : a^2 = 1$. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение23.12.2015, 23:29 


13/10/14
20

(Оффтоп)

Хочу обратить внимание, что в дополнение к
venco в сообщении #1083351 писал(а):
... что синус тоже оказался решением вышеприведённого функционального уравнения, в дополнение к очевидному $f(x)=x$.

в тождествах:
$A^2\sin^2a-A\sin(a-b)A\sin(a+b)=A^2\sin^2b$
$A^2\cos^2a-A\cos(a-b)A\cos(a+b)=A^2\sin^2b$

$A^2\sin^2b$ -является квадратом половины хорды окружности, радиусом А, между крайними из трех точек на синусоиде (косинусоиде). По трем точкам проекции траектории находим абсолютное значение длины хорды.
Ещё $A^2\sin^2b$ -является степенью точки центра хорды.
Разумеется это константа для всей синусоиды, причем любопытно, что она не спотыкается о точки перегиба.
По аналогии константами будут и другие разности произведений типа:
$A\cos(a)A\cos(a+b)-A\cos(a-b)A\cos(a+2b)=Const$
$A\cos(a)A\cos(a+2b)-A\cos(a-b)A\cos(a+3b)=Const$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение30.01.2016, 22:38 
Заслуженный участник


10/01/16
1281
arseniiv

Дифференцируя (по $x$ и $y$ ) уравнение
$f(x+y)f(x-y) = f^2(x) - f^2(y)$

получим

$f''(x+y)\cdot f(x-y) - f(x+y)\cdot f''(x-y) =0$

так что

$\frac{f''(x+y)}{f(x+y)} = \frac{f''(x-y)}{f(x-y)}$

всегда. Значит, $\frac{f''(t)}{f(t)} = \operatorname{const}$.

Выписав общее решение, из исходного ФУ найдем подходящие константы...
(Это решение проходит и для вариантов этого уравнения с костантами и добавками).
Так что мы нашли ВСЕ решения - по крайней мере в классе двжды дифференцируемых) - ну, если, конечно, на 0 можно делить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение11.02.2016, 11:19 


13/10/14
20
Функциональное уравнение Стампа, показали недавно.

$f(a) f(a+b-c) - f(a+b) f(a-c) = f(b) f(c)$

Если $ b=c $ , уравнение вырождается в рассмотренное выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение18.11.2016, 20:46 
Заслуженный участник


26/06/07
1758
shevah school, tel-aviv
Докажите, что для всех $a$, $b$ и $c$, для которых $\prod\limits_{cyc}(a+b)\neq0$, верно следующее равенство.
$$\frac{(a^2+bc)(b^2+ac)}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a^2+bc)(c^2+ab)}{(a+b)(b+c)}+\frac{(b^2+ac)(c^2+ab)}{(a+b)(a+c)}=a^2+b^2+c^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.11.2016, 16:17 


25/08/11
1060
Тупой способ-всё в линию, одну букву назовём иксом, равенство двух многочленов, если сразу не удастся доказать совпадение в нужном числе точек-то вздохнём и будем брать производные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение20.11.2016, 19:05 
Заслуженный участник


26/06/07
1758
shevah school, tel-aviv
Сергей, дело не в том, как это доказать. Доказательтво можно устроить обычным раскрытием скобок.
Что, меня лично поражает в этом равенстве, так это то, почему оно вообще говоря может быть верным. Это равенство является, видимо, контр-примером к какому-то неверному утверждению, которое мне не удаётся сформулировать.
Тут всё гораздо сложнее, чем, например, в равенстве $\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x+1}=1$ или ему подобных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение26.11.2016, 09:11 


25/08/11
1060
arqady -возможно, это какая-то интерполяционная формула для суммы квадратов, но я многомерные интерполяционные формулы знаю плохо, а к известной одномерной свести-не получается додумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение21.04.2017, 06:12 
Заблокирован по собственному желанию


20/03/14
31/12/17
7337
 i  Оффтоп отделен в «Еще одна длина эллипса от kalin»

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group