2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 теорема об изменении кинетического момента
Сообщение10.05.2013, 14:26 


10/02/11
6786
Продолжаем выкладывать учебные материалы, не помню ,было или нет.


Через $S$ обозначим центр масс твердого тела. И пусть $A$ произвольная точка твердого тела.Через $m$ обозначим массу тела.

Теорема. $J_A\dot{\overline \omega}+[\overline\omega,J_A\overline\omega]=m[\overline{SA},\dot{\overline v}_A]+\overline M_A.$

Доказательство.

Пусть твердое тело состоит из точек $m_1,\ldots, m_N$. Через $\overline u_i$ обозначаем радиус-векторы точек с началом в центре масс; $\overline\rho_i$ -- радиусы-векторы точек с началом в точке $A.$

Кинетический момент в осях Кенига: $\overline K_S=\sum_im_i[\overline u_i,\dot{\overline u}_i]$
кинетический момент относительно системы координат движущейся поступательно с началом в точке $A$: $$\overline K_A=\sum_im_i[\overline \rho_i,\dot{\overline \rho}_i]$$

Используя формулы $\overline u_i=\overline{SA}+\overline\rho_i,\quad \sum_im_i\overline\rho_i=m\overline{AS}$ находим
$$\overline K_S=m[\overline{AS},\dot{\overline{SA}}]+\overline K_A.$$

Для моментов сил получаем уравнение:
$$\overline M_S=\sum_i[\overline u_i,\overline F_i]=[\overline{SA},\overline F]+\overline M_A,\quad \overline F=\sum_i\overline F_i$$

Подставляя полученные формулы в стандартную теорему: $\dot{\overline K}_S=\overline M_S$ и учитывая, что $\ddot{\overline{AS}}=\dot{\overline v}_S-\dot{\overline v}_A,\quad m\dot{\overline v}_S=\overline F$ ,находим:
$$\dot{\overline K}_A=m[\overline {SA},\dot{\overline v}_A]+\overline M_A.$$

Сейчас мы первый раз используем то, что точка $A$ принадлежит твердому телу: $$\overline K_A=\sum_im_i[\overline \rho_i,[\overline\omega,\overline\rho_i]]=J_A\overline \omega$$

Переходя в систему координат связанную с твердым телом (в которой $J_A$ -- постоянная матрица) по формуле относительного дифференцирования вектора
находим
$$\dot{\overline K}_A=\frac{\delta}{\delta t}(J_A\overline \omega)+[\overline\omega,J_A\overline \omega]=J_A\dot{\overline \omega}+[\overline\omega,J_A\overline\omega],$$
где $\frac{\delta}{\delta t}$ -- производная относительно системы связанной с телом, мы учли, что $ \dot{\overline\omega}=\frac{\delta}{\delta t}\overline\omega$ -- по формуле относительного дифференцирования.

ЧТД

Следствие. Предположим, что твердое тело катится без проскальзывания по неподвижной поверхности и $A$ -- точка твердого тела, которой оно касается поверхности. Тогда
$$J_A\dot{\overline \omega}+[\overline\omega,J_A\overline\omega]=-m[\overline{SA},[\overline\omega,\overline u]]+\overline M_A$$
где $\overline u$ -- скорость точки контакта.

Это вытекает непосредственно из соответствующего результата [Татаринов, Кулешов, Попова, Прошкин Задачи по кинематике и динамике качения твердых тел. Москва 2011]

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема об изменении кинетического момента
Сообщение12.05.2013, 09:02 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 ! 
1) Нарушением считается:
...
ж) ... Создание тем в стиле личного блога, не предполагающих обсуждения какого-либо вопроса. ...
Prorab в сообщении #222462 писал(а):
Данный форум предназначен для обсуждения методологических вопросов преподавания различных дисциплин в школе и высших учебных заведениях.
Oleg Zubelevich, просьба сформулировать явно предмет обсуждения данной темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема об изменении кинетического момента
Сообщение12.05.2013, 10:27 


10/02/11
6786
ok, раз произошло нарушение правил тему можно снести

Я тут просто из альтруистических соображений выкладывал некоторые учебные тексты, которые мне нужно было написать не для этого форума , а по другим причинам. Но раз это неуместно, то сносите заодно и остальные:

topic70066.html
topic68577.html
topic55508.html
topic53395.html

-- Вс май 12, 2013 10:32:43 --

topic54869.html
topic56451.html

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема об изменении кинетического момента
Сообщение13.05.2013, 17:14 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 !  Будем считать, что тема данной ветки - обсуждение и дополнение предлагаемых учебных материалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема об изменении кинетического момента
Сообщение14.05.2013, 14:07 


10/02/11
6786
Здесь хотелось бы обратить внимание на следующее. Теорема об изменении кин. момента совсем не так тривиальна, как , скажем, теорема о движении центра масс. Начать с того, что фактически существует два неэквивалентных определения кин. момента, которые приводят к разным уравнениям. Некоторые нюансы, связанные с этой наукой, представлены в задачах topic71897.html
topic18350.html

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема об изменении кинетического момента
Сообщение29.05.2013, 07:46 


15/04/10
985
г.Москва
Олег, нельзя ли поподробнее об 2 разных определениях кинетич.момента с ссылками?

 Профиль  
                  
 
 Re: теорема об изменении кинетического момента
Сообщение29.05.2013, 14:46 


10/02/11
6786
относительно центра масс стандартно вводятся два разных момента
$\overline K_S=\sum m_i[\overline u_i, \overline v_i]$ и другой момент в осях Кенига: $\overline K^*_S=\sum m_i[\overline u_i, \overline v_{i}^r]$
где $\overline v_i,\overline v_{i}^r$ скорости $i-$ой точки соответственно в абсолютном пространстве и относительно осей Кенига

[ЮФ Голубев Основы теор механики]

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group