2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 11  След.
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 12:30 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #602686 писал(а):
Геометрически это как -- через псевдорешения, что ли?
Да. Нужно всего лишь уметь находить ортогональную проекцию, а это ведь одна из базовых задач в линейной алгебре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 12:35 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Нет, через псевдорешения я рассказываю только дневникам. Вечерникам и заочникам уже не рискую (а у заочников ещё и часов не так много).

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 12:40 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #602693 писал(а):
Нет, через псевдорешения я рассказываю только дневникам.
Я тоже. С заочниками только один раз имел дело, да и то случайно. Вот и поэкспериментировал :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 12:48 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
Shtorm в сообщении #602493 писал(а):
Чем это решение лучше, чем решение Профессора Снеэйпа ?

Ничем :D
Ваше не читал, но увидел определитель :evil: А у Профессора Снэйпа -- только школьная теория и в строчку!

Shtorm в сообщении #602493 писал(а):
А в решении Профессора Снеэйпа – каждый раз, когда мы хотим получить конкретное уравнение плоскости – необходимо будет подбирать координаты вектора нормали плоскости.

Две переменные свободные, третья выражается через остальные. О каком подборе речь вообще?? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 13:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Кстати:

nnosipov в сообщении #602690 писал(а):
Нужно всего лишь уметь находить ортогональную проекцию, а это ведь одна из базовых задач в линейной алгебре.

Проблема в том, что им в курсе линейной алгебры про псевдорешения ничего не рассказывают, и мне приходится все эти проекции проговаривать самому. И если дневникам ещё можно об этом говорить (у них курс линейной алгебры всё-таки достаточно серьёзный, и к теореме о проекции, к понятию подпространства, сопряжённой матрицы и прочим смежным вещам они более-менее привыкли), то у вечерников все эти абстракции наверняка проскочат мимо ушей, не стоит даже и пытаться.

Но у меня в этой связи такой технический вопрос. Псевдорешением системы $A\vec\gamma=\vec f$ является решение системы $G\vec\gamma=\vec b$, где (в конечном счёте) $G$ -- это матрица Грама для столбцов матрицы $A$, т.е. $g_{ik}=(\vec a_k,\vec a_i)$ и, соответственно, $b_i=(\vec f,\vec a_i)$. А вопрос вот в чём. Всё это получается вполне автоматически, если невязку брать по евклидовой норме, порождённой стандартным скалярным произведением. Но ровно те же правила остаются в силе и тогда, когда используется произвольная евклидова норма, надо только брать для столбцов скалярные произведения соответствующего вида. И вот с формальным доказательством этого утверждения (которое само по себе внешне выглядит вполне естественно) у меня постоянно возникает какое-то занудство. Ну никак не удаётся обосновать на чисто геометрическом языке, приходится хоть немного, но повозиться с разными матричными манипуляциями. Как Вы с этим боретесь (если, конечно, вообще рассматриваете)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 14:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #602710 писал(а):
Как Вы с этим боретесь (если, конечно, вообще рассматриваете)?
Не рассматривал такое. Но есть ощущение, что принципиально ничего не должно измениться. Экстремальное свойство ортогональной составляющей я доказываю в абстрактном евклидовом пространстве, $\mathbb{R}^n$ со стандартным скалярным произведением --- только один из возможных примеров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 14:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #602723 писал(а):
Но есть ощущение, что принципиально ничего не должно измениться. Экстремальное свойство ортогональной составляющей я доказываю в абстрактном евклидовом пространстве, $\mathbb{R}^n$ со стандартным скалярным произведением --- только один из возможных примеров.

Да это-то само собой. Проблема в том, что непонятно, как из этих абстрактных соображений получить наиболее естественным образом те же (формально) правила для элементов матрицы и правой части. Давайте я напишу, как сам рассказываю, а Вы меня покритикуете.

Пусть $(\vec u,\vec v)_M\equiv(M\vec u,\vec v)$ -- скалярное произведение общего вида (под скобками без индекса понимается стандартное скалярное произведение) и, соответственно, $\|\vec u\|_M\equiv\sqrt{(\vec u,\vec u)_M}$. Псевдорешение относительно этой нормы определяется, естественно, системой того же вида, что и раньше, т.е. $A^*_MA\vec\gamma=A^*_M\vec f$, только вместо просто эрмитово сопряженной матрицы $A^*$ теперь следует использовать матрицу $A^*_M$, сопряжённую к $A$ относительно нового скалярного произведения:
$$(A^*_M\vec u,\vec v)_M\equiv(\vec u,A\vec v)_M\ \Leftrightarrow\ (MA^*_M\vec u,\vec v)\equiv(M\vec u,A\vec v)\ \Leftrightarrow\ (MA^*_M\vec u,\vec v)\equiv(A^*M\vec u,\vec v)\ \Leftrightarrow\ A^*_M=M^{-1}A^*M.$$
Т.е. решать предстоит систему $M^{-1}A^*MA\vec\gamma=M^{-1}A^*M\vec f$ или, что эквивалентно, $A^*MA\vec\gamma=A^*M\vec f$. Поскольку матрицы перемножаются по правилу "строка на столбец", для элементов матрицы $G=A^*MA$ и столбца $\vec b=A^*M\vec f$ имеем
$$g_{ik}=\vec a_i^*\cdot M\vec a_k=(M\vec a_k,\vec a_i)=(\vec a_k,\vec a_i)_M$$
(здесь $\vec a_i^*$ -- это $i$-я строка матрицы $A^*$, т.е. эрмитово сопряжённый $i$-й столбец матрицы $A$ и $M\vec a_k$ -- это $k$-й столбец матрицы $MA$) и, аналогично,
$$b_i=\vec a_i^*\cdot M\vec f=(M\vec f,\vec a_i)=(\vec f,\vec a_i)_M.$$
Вот такая тягомотина. Что здесь лишнее, или где лучше пойти в другую сторону, или на чём вообще можно сэкономить?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

ewert в сообщении #602710 писал(а):
Проблема в том, что им в курсе линейной алгебры про псевдорешения ничего не рассказывают, и мне приходится все эти проекции проговаривать самому. И если дневникам ещё можно об этом говорить (у них курс линейной алгебры всё-таки достаточно серьёзный, и к теореме о проекции, к понятию подпространства, сопряжённой матрицы и прочим смежным вещам они более-менее привыкли), то у вечерников все эти абстракции наверняка проскочат мимо ушей, не стоит даже и пытаться.

Вечерники не знают, что такое подпространство и смежная матрица? Что это за линейная алгебра у них такая? Что она в себя включает, в таком случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 15:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert, с удовольствием это сделаю, но как-нибудь позже (сейчас разные дела отвлекают). Особой тягомотины в любом случае не вижу --- формулы пишутся сами собой, никаких замороченных конструкций не возникает --- только привычные студентам "бутерброды" типа $A^*MA$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 15:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #602739 писал(а):
Вечерники не знают, что такое подпространство и смежная матрица? Что это за линейная алгебра у них такая?

Про смежную матрицу вечерники-то, может, и знают, да я вот -- нет.

Программа у них, естественно, несколько урезанная. Подпространства им наверняка рассказывали, а вот про эрмитово сопряжение -- уже не уверен. Только дело не в только том, что они слышали, а (и это существеннее) что у них улеглось в голове и стало привычным. Из того, что им рассказывали про подпространства, ещё не следует, что это понятие вошло в х обиходный язык. Тем более, что давали им это на первом курсе, а речь уже о третьем, и за эти годы абстрактные понятия линейной алгебры (в отличие от вычислительных) нематематическими дисциплинами не поддерживались.

-- Пт авг 03, 2012 16:29:32 --

nnosipov в сообщении #602744 писал(а):
Особой тягомотины в любом случае не вижу

Я имел в виду, что само утверждение выглядит гораздо идейнее, чем его доказательство; вот и хотелось бы иметь более геометричное обоснование. Правда, тут есть один настораживающий момент: наличие в доказательстве сокращения на матрицу $M^{-1}$ -- шаг совсем не геометричный (и, кстати, заранее не очевидный).

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение03.08.2012, 20:34 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
nnosipov в сообщении #602605 писал(а):
Уравнение плоскости в виде $A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$, где $A+2B+3C=0$, можно упростить, заменив в нём $A$ на $-2B-3C$. Получится ровно то, что Вы хотели, и совершенно автоматически, без каких бы то ни было подборов.


Убедили.

-- Пт авг 03, 2012 20:56:16 --

Mathusic в сообщении #602697 писал(а):
Shtorm в сообщении #602493 писал(а):
Чем это решение лучше, чем решение Профессора Снеэйпа ?

Ничем :D
Ваше не читал, но увидел определитель :evil: А у Профессора Снэйпа -- только школьная теория и в строчку!


Ну будем считать, что моё решение - для продвинутого физмат класса с олимпийским уклоном :lol: И плюс ко всему прочему - тема занятия была - применение определителя и векторного произведения векторов. То есть при решении задач - нужно было обязательно это использовать. :wink:

-- Пт авг 03, 2012 21:01:14 --

Dancingchicken в сообщении #602631 писал(а):
Друзья, пару слов о первоначальной теме

Как вы думаете, повисит ли желание и заинтересованность учеников новая, более усовершенствованная программа по математике?

Ведь опыт показывает, что те кто жаждал знаний, готов был преодолевать любые трудности.

Я ни в коем случае не говорю, что не нужно ничего преобразовывать, но подумать о мотивационном аспекте обучения возможно было бы продуктивно?


Прежде чем ставить такой вопрос, нужно поставить вопрос о нормальной профориентации школьников и создать нормальные рабочие места - те места, где вообще требуются хорошие знания по алгебре и геометрии. И тогда уже автоматически будут решаться вопросы "желания и заинтересованности".

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 00:57 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Однако, давайте подставим $A=-2B-3C$ в первое решение и ниже для сравнения напишу моё решение:

$$(-2B-3C)(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$$
$$\alpha (-2x+y)+\beta (-1.5y+z)=0$$

Второе решение - имеет более компактную запись. Сами знаете, иногда ради компактности делают ещё несколько строчек преобразований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 07:09 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Shtorm в сообщении #602911 писал(а):
Второе решение - имеет более компактную запись. Сами знаете, иногда ради компактности делают ещё несколько строчек преобразований.
А Вы скобочки раскройте, руки ведь не отсохнут. Вы мне напоминаете жутко ленивого студента, из которого на экзамене клещами вытягиваешь ответ, а он при этом ещё и постоянно ворчит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 11:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
ewert в сообщении #602731 писал(а):
Проблема в том, что непонятно, как из этих абстрактных соображений получить наиболее естественным образом те же (формально) правила для элементов матрицы и правой части.
Возможно, я что-то не так понимаю. Если бы мне надо было объяснить, как искать превдорешение $x^0$ системы $Ax=f$ по норме, заданной матрицей $M$, я бы поступил просто: сначала бы вывел, что $x^0$ есть решение системы, матрица $G$ которой есть матрица Грама для столбцов матрицы $A$ (это простое и естественное геометрическое рассуждение, которое в любом случае должно быть рассказано --- я имею в виду незаочников, а заочники могут принять это на веру), а затем получил бы для этой $G$ нужную формулу $G=A^*MA$ (это совсем примитивная алгебра на уровне понимания, что такое произведение матриц).

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 12:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #602982 писал(а):
$G=A^*MA$

Это как раз для собственно МНК совершенно не нужно, рабочие формулы МНК -- это именно формулы со скалярными произведениями, и совершенно не важно, какова природа этих скалярных произведений и какова природа самих векторов $\vec a_i$. Проблемы раньше.

nnosipov в сообщении #602982 писал(а):
сначала бы вывел, что $x^0$ есть решение системы, матрица $G$ которой есть матрица Грама для столбцов матрицы $A$ (это простое и естественное геометрическое рассуждение,

Неприятность тут в том, что непосредственно из проекционных соображений матрица Грама действительно выплывает автоматом, но лишь как матрица квадратичной формы, которая подлежит минимизации. Я не могу быть уверенным в том, что народу рассказывали об эквивалентности этой минимизационной задачи решению соответствующей системы. Тем более для случая, когда матрица формы вырождена, т.е. лишь неотрицательна, а этот случай важен (поскольку приходится обсуждать вопрос об условиях единственности единственности решения в МНК. Или я не понял, что Вы имели в виду?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 152 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group