Задачка по Уравнениям мат. физики

[LynxGAV]

Обращение к Аntoshke и в связи с ним к Shwedke.

shwedka писал(а):

Отсутствие у функций Бесселя отрицательных нулей
это общий факт. Поскольку Вам нужны лишь Бессели нулевого порядка, то привожу простое доказательство.
Вам нужно решить краевую задачу
$f''(x)+x^{-1}f'(x)+\mu f(x)=0, f(R)=0$
С конечным значением f в нуле.
Иначе,
$x^{-1}(xf'(x))'+\mu^2 f(x)=0$
Умножим уравнение на $x\overline{f(x)}$
(здесь стоит комплексное сопряжение, поскольку му не имеем права исключать невещественные решения) и проинтегрируем, от нуля до R.
$\int_0^R (xf'(x))'\overline{f(x)}dx+\mu\int_0^R |f(x)|^2dx$
Интегрируем по частям и имеем
$-\int_0^R x|f'(x)|^2dx+\mu\int_0^R |f(x)|^2dx$
Поскольку оба интеграла положительны, $\mu$ тоже должно быть положительным.

Аntoshka, откуда вообще берется вопрос об отрицательных нулях?? Корни функции Бесселя -- это значения аргумента, обращающие её в нуль [$J_\nu ({\mu}_m^{\left(\nu\right)})=0$, m корней]. Поэтому понятно, что она имеет бесконечное число положительных корней. Cмотрите, вы всегда пользуетесь представление функции Бесселя в виде ряда (а не каким-нибудь интегральным, какие часто встречаются в мат. физике), обрывая ряд на каком-то члене, сразу видно, что её график -- осциллирующая функция с постепенно уменьшающейся амплитудой, расположенная в 1, 4 квадрантах [$J_\nu (x)$ , где $x\geqslant 0$ ]...

[shwedka]

LynxGAV писал(а):

Обращение к Аntoshke и в связи с ним к Shwedke.

Аntoshka, откуда вообще берется вопрос об отрицательных нулях?? Корни функции Бесселя -- это значения аргумента, обращающие её в нуль [$J_\nu ({\mu}_m^{\left(\nu\right)})=0$, m корней]. Поэтому понятно .

Само по себе не понятно. Нужно доказывать, Было доказано много лет наязад,
.

Цитата:

, что она имеет бесконечное число положительных корней. Cмотрите, вы всегда пользуетесь представление функции Бесселя в виде ряда (а не каким-нибудь интегральным, какие часто встречаются в мат. физике), обрывая ряд на каком-то члене, сразу видно, что её график -- осциллирующая функция с постепенно уменьшающейся амплитудой, расположенная в 1, 4 квадрантах [$J_\nu (x)$ , где $x\geqslant 0$ ]...

График никакого отношения к доказательству бесконечности нулей не имеет отношения.

Антошка справедливо спросил, почему у исходной спектральной задачи нет отрицательных с.значений, т.е. отвечающих чисто мнимым нулям Бесселя.

Это можно показать либо как я сделала, либо напрямую анализируя нули Бесселя, что есть дело крайне непростое.

Игнорировать возможность отрицателных с.зн. нельзя. Если, например, заменить гртаничное условие на
$u'_n+Cu=0$,
То при отрицательных C появляется отрицательное собственное значение (при наличии поворотной симметрии). Если поворотной симметрии нет, то может появиться и несколько отрицательных с.зн.

[antoshka1303]

Про нули функции Бесселя я кажется понял, меня сейчас интересуют вопрос, который написан в предыдущем моем посте.

[shwedka]

Я ответила. все правильно.

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Я ответила. все правильно.

Это очень хорошо!!!

[LynxGAV]

Бесконечность числа нулей визуально не доказывается! Я не имела ввиду доказательство, а говорила о наглядности.

[antoshka1303]

То есть в моей второй задаче

\[ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 u} \\ \begin{gathered} \left. u \right|_{\left| x \right| = 0} $ограничена \hfill \\ \left. {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}} \right|_{|x| = R} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\left. u \right|_{t = 0} = A\left( {1 - \frac{{|x|^2 }} {{R^2 }}} \right)} \\ {\left. {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right|_{t = 0} = 0} \\ \end{array} } \]

после переходя к полярным координатам

\[ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = a^2 \left( {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial r^2 }} + \frac{1} {r}\frac{{\partial u}} {{\partial r}}} \right)\quad \left( 5 \right)} \\ \begin{gathered} \left. u \right|_{r = 0} \quad $ограничена\left( 6 \right) \hfill \\ \left. {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}} \right|_{_{r = R} } = 0\quad \left( 7 \right) \hfill \\ \end{gathered} \\ {\left. u \right|_{t = 0} = A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right)\quad \left( 8 \right)} \\ {\left. {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right|_{t = 0} = 0\quad \left( 9 \right)} \\ \end{array} } \]

Я правильно понимаю, что (6) равносильно

\[ \left. {\frac{{\partial u}} {{\partial r}}} \right|_{_{r = R} } = 0 \]

???????7

[shwedka]

совершенно так

[antoshka1303]

во второй здаче у меня такой ответ получился

$$ u(r,t) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {J_0 \left( {\frac{{\xi _m }} {R}r} \right)} \left\{ {A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right)\cos (a\alpha _m t)} \right\} $$

Правильно?

[shwedka]

Нет, неверно.
Опять надо искать решение в виде ряда

$u(r,t)=\sum J_0(\frac{\xi_m}{R}r)T_n(t)$
и как раньше подставить в уравнение, получатся уравнения для $T_n(t)$ и начальные условия, которые получаются умножением начальных условий для u(r,t) на функцию Бесселя, r и умножением.

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Нет, неверно.
Опять надо искать решение в виде ряда

$u(r,t)=\sum J_0(\frac{\xi_m}{R}r)T_n(t)$
и как раньше подставить в уравнение, получатся уравнения для $T_n(t)$ и начальные условия, которые получаются умножением начальных условий для u(r,t) на функцию Бесселя, r и умножением.

Я так и делаю.Это
$u(r,t)=\sum J_0(\frac{\xi_m}{R}r)T_n(t)$
подставляю в

$$ u_{tt} - a^2 \left( {u_{rr} + \frac{1} {r}u_r } \right) = 0 $$ $$ \sum\limits_{m = 0}^\infty {F_m T^{''} _m - a^2 \left( {\sum\limits_{m = 0}^\infty {T_m \underbrace {\left( {F_m^{''} + \frac{1} {r}F_m^' } \right)}_{ = - \mu _m F_m T_m = \alpha _m^2 F_m T_m }} } \right)} = k\sin (\omega t) $$

Умножаю на

$$ rF_q $$

и интегрируем, пролучаем

$$ \sum\limits_{m = 0}^\infty {T^{''} _m \int\limits_0^R {rJ_0 \left( {\alpha _q r} \right)J_0 \left( {\alpha _m r} \right)dr} } + a^2 \left( {\sum\limits_{m = 0}^\infty {T_m \int\limits_0^R {\alpha _m^2 J_0 \left( {\alpha _m r} \right)rJ_0 \left( {\alpha _q r} \right)dr} } } \right) = 0 $$

в виду ортогональности

$$ T^{''} _m \cdot \frac{{R^2 }} {2}J_1^2 \left( {\xi _m } \right) + T_m a^2 \alpha _m^2 \cdot \frac{{R^2 }} {2}J_1^2 \left( {\xi _m } \right) = 0 $$ $$ T^{''} _m + a^2 \alpha _m^2 T_m = 0 $$

А это обычный дифур
плюс начальные условия

$$ T_m (0) = A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $$ $$ T_m^' (0) = 0 $$

Вот и получается мой результат

$$ T_m (t) = A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right)\cos (a\alpha _m t) $$ $$ u(r,t) = \sum\limits_{m = 0}^\infty {J_0 \left( {\frac{{\xi _m }} {R}r} \right)} \left\{ {A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right)\cos (a\alpha _m t)} \right\} $$

Но мне тоже кажется, что что-то здесь неверно!

[shwedka]

Цитата:

плюс начальные условия
$ T_m (0) = A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $

вот это место и неверно.
Левая часть не зависит oт r, а правая зависит!!!

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Цитата:

плюс начальные условия
$ T_m (0) = A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $

вот это место и неверно.
Левая часть не зависит oт r, а правая зависит!!!

Тогда я ничего не понимаю, это же начальное условие, смотрите же

\[ {\begin{array}{*{20}c} {\frac{{\partial ^2 u}} {{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 u} \\ \begin{gathered} \left. u \right|_{\left| x \right| = 0} $ограничена \hfill \\ \left. {\frac{{\partial u}} {{\partial n}}} \right|_{|x| = R} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ {\left. u \right|_{t = 0} = A\left( {1 - \frac{{|x|^2 }} {{R^2 }}} \right)} \\ {\left. {\frac{{\partial u}} {{\partial t}}} \right|_{t = 0} = 0} \\ \end{array} } \]

[shwedka]

Начальное условие
$u(r,0)=A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $
$\sum T_n(0)J_0(\frac{\xi_n}{R}r)=A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}}\right)$
А не то, что Вы написали. Вот это равенство умножайте на Бесселя,r, интегрируйте и тд

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Начальное условие
$u(r,0)=A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $
$\sum T_n(0)J_0(\frac{\xi_n}{R}r)=A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}}\right)$
А не то, что Вы написали. Вот это равенство умножайте на Бесселя,r, интегрируйте и тд

Так и сделал
Вот,что получил

$$ T_m (0) = 2\frac{{AJ_1 \left( {\xi _m } \right) - ARJ_0 \left( {\xi _m } \right) - AR^2 J_1 \left( {\xi _m } \right)}} {{R^2 J_1^2 \left( {\xi _m } \right)}} $$

Теперь, что?
Я решаю

$$ T^{''} _m (t) + a^2 \alpha _m^2 T_m (t) = 0 $$

Подставляю в решение для нахождения констант

$$ T_m (t) = C_m \cos (a\alpha _m t) + B_m \sin \left( {a\alpha _m t} \right) $$

$$ T_m^' (0) = 0 $$ $$ C_m = 2\frac{{AJ_1 \left( {\xi _m } \right) - ARJ_0 \left( {\xi _m } \right) - AR^2 J_1 \left( {\xi _m } \right)}} {{R^2 J_1^2 \left( {\xi _m } \right)}} $$

тогда

$$ T_m \left( t \right) = 2A\frac{{J_1 \left( {\xi _m } \right) - RJ_0 \left( {\xi _m } \right) - R^2 J_1 \left( {\xi _m } \right)}} {{R^2 J_1^2 \left( {\xi _m } \right)}}\cos \left( {a\alpha _m t} \right) $$

Ответ тогда такой?

$$ u\left( {r,t} \right) = J_0 \left( {\frac{{\xi _m }} {R}r} \right)\left\{ {2A\frac{{J_1 \left( {\xi _m } \right) - RJ_0 \left( {\xi _m } \right) - R^2 J_1 \left( {\xi _m } \right)}} {{R^2 J_1^2 \left( {\xi _m } \right)}}\cos \left( {a\alpha _m t} \right)} \right\} $$