2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение06.05.2006, 16:33 
Обращение к Аntoshke и в связи с ним к Shwedke.
shwedka писал(а):
Отсутствие у функций Бесселя отрицательных нулей
это общий факт. Поскольку Вам нужны лишь Бессели нулевого порядка, то привожу простое доказательство.
Вам нужно решить краевую задачу
$f''(x)+x^{-1}f'(x)+\mu f(x)=0, f(R)=0$
С конечным значением f в нуле.
Иначе,
$x^{-1}(xf'(x))'+\mu^2 f(x)=0$
Умножим уравнение на $x\overline{f(x)}$
(здесь стоит комплексное сопряжение, поскольку му не имеем права исключать невещественные решения) и проинтегрируем, от нуля до R.
$\int_0^R
(xf'(x))'\overline{f(x)}dx+\mu\int_0^R |f(x)|^2dx$
Интегрируем по частям и имеем
$-\int_0^R x|f'(x)|^2dx+\mu\int_0^R |f(x)|^2dx$
Поскольку оба интеграла положительны, $\mu$ тоже должно быть положительным.

Аntoshka, откуда вообще берется вопрос об отрицательных нулях?? Корни функции Бесселя -- это значения аргумента, обращающие её в нуль [$J_\nu ({\mu}_m^{\left(\nu\right)})=0$, m корней]. Поэтому понятно, что она имеет бесконечное число положительных корней. Cмотрите, вы всегда пользуетесь представление функции Бесселя в виде ряда (а не каким-нибудь интегральным, какие часто встречаются в мат. физике), обрывая ряд на каком-то члене, сразу видно, что её график -- осциллирующая функция с постепенно уменьшающейся амплитудой, расположенная в 1, 4 квадрантах [$J_\nu (x)$ , где $x\geqslant 0$ ]...

 
 
 
 
Сообщение06.05.2006, 18:07 
Аватара пользователя
LynxGAV писал(а):
Обращение к Аntoshke и в связи с ним к Shwedke.

Аntoshka, откуда вообще берется вопрос об отрицательных нулях?? Корни функции Бесселя -- это значения аргумента, обращающие её в нуль [$J_\nu ({\mu}_m^{\left(\nu\right)})=0$, m корней]. Поэтому понятно .

Само по себе не понятно. Нужно доказывать, Было доказано много лет наязад,
.
Цитата:

, что она имеет бесконечное число положительных корней. Cмотрите, вы всегда пользуетесь представление функции Бесселя в виде ряда (а не каким-нибудь интегральным, какие часто встречаются в мат. физике), обрывая ряд на каком-то члене, сразу видно, что её график -- осциллирующая функция с постепенно уменьшающейся амплитудой, расположенная в 1, 4 квадрантах [$J_\nu (x)$ , где $x\geqslant 0$ ]...

График никакого отношения к доказательству бесконечности нулей не имеет отношения.

Антошка справедливо спросил, почему у исходной спектральной задачи нет отрицательных с.значений, т.е. отвечающих чисто мнимым нулям Бесселя.

Это можно показать либо как я сделала, либо напрямую анализируя нули Бесселя, что есть дело крайне непростое.

Игнорировать возможность отрицателных с.зн. нельзя. Если, например, заменить гртаничное условие на
$u'_n+Cu=0$,
То при отрицательных C появляется отрицательное собственное значение (при наличии поворотной симметрии). Если поворотной симметрии нет, то может появиться и несколько отрицательных с.зн.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2006, 19:14 
Аватара пользователя
Про нули функции Бесселя я кажется понял, меня сейчас интересуют вопрос, который написан в предыдущем моем посте.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2006, 19:31 
Аватара пользователя
Я ответила. все правильно.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2006, 22:46 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
Я ответила. все правильно.

Это очень хорошо!!!

 
 
 
 
Сообщение08.05.2006, 01:20 
Бесконечность числа нулей визуально не доказывается! Я не имела ввиду доказательство, а говорила о наглядности.

 
 
 
 
Сообщение10.05.2006, 13:52 
Аватара пользователя
То есть в моей второй задаче
\[
{\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 u}  \\
   \begin{gathered}
  \left. u \right|_{\left| x \right| = 0} $ограничена  \hfill \\
  \left. {\frac{{\partial u}}
{{\partial n}}} \right|_{|x| = R}  = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}   \\
   {\left. u \right|_{t = 0}  = A\left( {1 - \frac{{|x|^2 }}
{{R^2 }}} \right)}  \\
   {\left. {\frac{{\partial u}}
{{\partial t}}} \right|_{t = 0}  = 0}  \\

 \end{array} }
\]
после переходя к полярным координатам
\[
{\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial t^2 }} = a^2 \left( {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial r^2 }} + \frac{1}
{r}\frac{{\partial u}}
{{\partial r}}} \right)\quad  \left( 5 \right)}  \\
   \begin{gathered}
  \left. u \right|_{r = 0} \quad   $ограничена\left( 6 \right) \hfill \\
  \left. {\frac{{\partial u}}
{{\partial n}}} \right|_{_{r = R} }  = 0\quad \left( 7 \right) \hfill \\ 
\end{gathered}   \\
   {\left. u \right|_{t = 0}  = A\left( {1 - \frac{{r^2 }}
{{R^2 }}} \right)\quad \left( 8 \right)}  \\
   {\left. {\frac{{\partial u}}
{{\partial t}}} \right|_{t = 0}  = 0\quad \left( 9 \right)}  \\

 \end{array} }
\]
Я правильно понимаю, что (6) равносильно

\[
\left. {\frac{{\partial u}}
{{\partial r}}} \right|_{_{r = R} }  = 0
\]
???????7

 
 
 
 
Сообщение10.05.2006, 14:47 
Аватара пользователя
совершенно так

 
 
 
 
Сообщение11.05.2006, 17:58 
Аватара пользователя
во второй здаче у меня такой ответ получился
$$
u(r,t) = \sum\limits_{m = 0}^\infty  {J_0 \left( {\frac{{\xi _m }}
{R}r} \right)} \left\{ {A\left( {1 - \frac{{r^2 }}
{{R^2 }}} \right)\cos (a\alpha _m t)} \right\}
$$
Правильно?

 
 
 
 
Сообщение11.05.2006, 18:24 
Аватара пользователя
Нет, неверно.
Опять надо искать решение в виде ряда

$u(r,t)=\sum J_0(\frac{\xi_m}{R}r)T_n(t)$
и как раньше подставить в уравнение, получатся уравнения для $T_n(t)$ и начальные условия, которые получаются умножением начальных условий для u(r,t) на функцию Бесселя, r и умножением.

 
 
 
 
Сообщение11.05.2006, 20:54 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
Нет, неверно.
Опять надо искать решение в виде ряда

$u(r,t)=\sum J_0(\frac{\xi_m}{R}r)T_n(t)$
и как раньше подставить в уравнение, получатся уравнения для $T_n(t)$ и начальные условия, которые получаются умножением начальных условий для u(r,t) на функцию Бесселя, r и умножением.


Я так и делаю.Это
$u(r,t)=\sum J_0(\frac{\xi_m}{R}r)T_n(t)$
подставляю в

$$
u_{tt}  - a^2 \left( {u_{rr}  + \frac{1}
{r}u_r } \right) = 0
$$

$$
\sum\limits_{m = 0}^\infty  {F_m T^{''} _m  - a^2 \left( {\sum\limits_{m = 0}^\infty  {T_m \underbrace {\left( {F_m^{''}  + \frac{1}
{r}F_m^' } \right)}_{ =  - \mu _m F_m T_m  = \alpha _m^2 F_m T_m }} } \right)}  = k\sin (\omega t)
$$
Умножаю на $$
rF_q 
$$ и интегрируем, пролучаем
$$
\sum\limits_{m = 0}^\infty  {T^{''} _m \int\limits_0^R {rJ_0 \left( {\alpha _q r} \right)J_0 \left( {\alpha _m r} \right)dr} }  + a^2 \left( {\sum\limits_{m = 0}^\infty  {T_m \int\limits_0^R {\alpha _m^2 J_0 \left( {\alpha _m r} \right)rJ_0 \left( {\alpha _q r} \right)dr} } } \right) = 0
$$
в виду ортогональности
$$
T^{''} _m  \cdot \frac{{R^2 }}
{2}J_1^2 \left( {\xi _m } \right) + T_m a^2 \alpha _m^2  \cdot \frac{{R^2 }}
{2}J_1^2 \left( {\xi _m } \right) = 0
$$

$$
T^{''} _m  + a^2 \alpha _m^2 T_m  = 0
$$
А это обычный дифур
плюс начальные условия
$$
T_m (0) = A\left( {1 - \frac{{r^2 }}
{{R^2 }}} \right)
$$
$$
T_m^' (0) = 0
$$
Вот и получается мой результат
$$
T_m (t) = A\left( {1 - \frac{{r^2 }}
{{R^2 }}} \right)\cos (a\alpha _m t)
$$
$$
u(r,t) = \sum\limits_{m = 0}^\infty  {J_0 \left( {\frac{{\xi _m }}
{R}r} \right)} \left\{ {A\left( {1 - \frac{{r^2 }}
{{R^2 }}} \right)\cos (a\alpha _m t)} \right\}
$$
Но мне тоже кажется, что что-то здесь неверно!

 
 
 
 
Сообщение11.05.2006, 21:43 
Аватара пользователя
Цитата:
плюс начальные условия
$ T_m (0) = A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $

вот это место и неверно.
Левая часть не зависит oт r, а правая зависит!!!

 
 
 
 
Сообщение11.05.2006, 22:11 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
Цитата:
плюс начальные условия
$ T_m (0) = A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $

вот это место и неверно.
Левая часть не зависит oт r, а правая зависит!!!

Тогда я ничего не понимаю, это же начальное условие, смотрите же
\[
{\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 u}  \\
   \begin{gathered}
  \left. u \right|_{\left| x \right| = 0} $ограничена  \hfill \\
  \left. {\frac{{\partial u}}
{{\partial n}}} \right|_{|x| = R}  = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}   \\
   {\left. u \right|_{t = 0}  = A\left( {1 - \frac{{|x|^2 }}
{{R^2 }}} \right)}  \\
   {\left. {\frac{{\partial u}}
{{\partial t}}} \right|_{t = 0}  = 0}  \\

 \end{array} }
\]

 
 
 
 
Сообщение11.05.2006, 23:43 
Аватара пользователя
Начальное условие
$u(r,0)=A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $
$\sum T_n(0)J_0(\frac{\xi_n}{R}r)=A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}}\right)$
А не то, что Вы написали. Вот это равенство умножайте на Бесселя,r, интегрируйте и тд

 
 
 
 
Сообщение12.05.2006, 07:52 
Аватара пользователя
shwedka писал(а):
Начальное условие
$u(r,0)=A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}} \right) $
$\sum T_n(0)J_0(\frac{\xi_n}{R}r)=A\left( {1 - \frac{{r^2 }} {{R^2 }}}\right)$
А не то, что Вы написали. Вот это равенство умножайте на Бесселя,r, интегрируйте и тд

Так и сделал
Вот,что получил
$$
T_m (0) = 2\frac{{AJ_1 \left( {\xi _m } \right) - ARJ_0 \left( {\xi _m } \right) - AR^2 J_1 \left( {\xi _m } \right)}}
{{R^2 J_1^2 \left( {\xi _m } \right)}}
$$
Теперь, что?
Я решаю
$$
T^{''} _m (t) + a^2 \alpha _m^2 T_m (t) = 0
$$
Подставляю в решение для нахождения констант
$$
T_m (t) = C_m \cos (a\alpha _m t) + B_m \sin \left( {a\alpha _m t} \right)
$$


$$
T_m^' (0) = 0
$$


$$
C_m  = 2\frac{{AJ_1 \left( {\xi _m } \right) - ARJ_0 \left( {\xi _m } \right) - AR^2 J_1 \left( {\xi _m } \right)}}
{{R^2 J_1^2 \left( {\xi _m } \right)}}
$$

тогда
$$
T_m \left( t \right) = 2A\frac{{J_1 \left( {\xi _m } \right) - RJ_0 \left( {\xi _m } \right) - R^2 J_1 \left( {\xi _m } \right)}}
{{R^2 J_1^2 \left( {\xi _m } \right)}}\cos \left( {a\alpha _m t} \right)
$$
Ответ тогда такой?
$$
u\left( {r,t} \right) = J_0 \left( {\frac{{\xi _m }}
{R}r} \right)\left\{ {2A\frac{{J_1 \left( {\xi _m } \right) - RJ_0 \left( {\xi _m } \right) - R^2 J_1 \left( {\xi _m } \right)}}
{{R^2 J_1^2 \left( {\xi _m } \right)}}\cos \left( {a\alpha _m t} \right)} \right\}
$$

 
 
 [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group