2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Задачка по Уравнениям мат. физики
Сообщение05.04.2006, 20:25 
Аватара пользователя


24/10/05
400
С чего вообще можно начать, чтобы решить эту систему?
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\frac{{\partial ^2 u}}
{{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 u + k\sin (\omega t)}  \\
   {\left. u \right|_{\left| x \right| = R}  = 0}  \\
   {\left. u \right|_{t = 0}  = 0}  \\
   {\left. {\frac{{\partial u}}
{{\partial t}}} \right|_{t = 0}  = 0}  \\

 \end{array} } \right.
 $Где 
\Delta _2  = \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial y^2 }}

\[
_{\left| x \right| < R,k = const} 
\]
\omega $-не совпадает ни с одной из собственных частот(отсутствует резонанс)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.04.2006, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Попробуйте рассмотреть удовлетворяющую граничным условиям $v(x)$ такую, что ${\frac{{\partial ^2 v}} {{\partial t^2 }} = a^2 \frac{{\partial ^2 v}} {{\partial x^2 }} + k\sin (\omega t)}$. Тогда $w(x,y) = u(x, y) - v(x)$ удовлетворяет однородному уравнению ${\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 w}$ (и граничным условиям).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
незванный гость писал(а):
:evil:
Попробуйте рассмотреть удовлетворяющую граничным условиям $v(x)$ такую, что ${\frac{{\partial ^2 v}} {{\partial t^2 }} = a^2 \frac{{\partial ^2 v}} {{\partial x^2 }} + k\sin (\omega t)}$. Тогда $w(x,y) = u(x, y) - v(x)$ удовлетворяет однородному уравнению $v(x)$ такую, что ${\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 w}$ (и граничным условиям).

Ну нет, такую функцию в жизнь не найти.
Нужно перейти к полярным координатам, и, поскольку в задаче от угла ничего не зависит,
функция будет зависеть только от r,t.
Уравнение запишется в виде $u_{tt}-a^2(u_{rr}+r^{-1}u_r)=k\sin)(\omega t)$
После этого в ОДНОРОДНОМ уравнении делим переменные, то есть
ищем решения специального вида, u(r,t)=T(t)F(r)
В результате для F получается уравнение Бесселя. Eго собственные функции будут $F_n(r)=
J_0(r\alpha_n/R),,,,  \alpha_n$ положительные нули функции Бесселя.
В заключение решение задачи ищется в виде
$ u(r,t)=\sum F_n(r ) T_n(t)$
Подаставляем в уравнение и начальные условия, для $T_n(t)$ получается уравнение
$T_n''+(\alpha_n/R)^2 T_n= C_n a^2 \sin(kt)$,'' где $C_n=\int_0^R J_0(r\alpha_n/R) r dr , T_n(0)=T_n'(0)=0$. решил и ура.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 01:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Это зависит от того, как понимать границу $|x|=R$. Я тоже сначала понял как круг, и перешел к полярным координатам. Но потом решил, что все-таки имеется в виду полоса вдоль оси $y$, и исходил из этого в решении. antoshka1303 -- выбор за Вами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 08:51 
Аватара пользователя


24/10/05
400
сейчас попробую решить, у меня тоже была бысль переходить к поляцным координатам, только ия почему-то перешел к цилиндрическим...
Да, в указании я кое-что еще нашел для решения!
Указание: установить справедливость формулы
\[
\int\limits_0^x x{^' } J_0 (x{^'} )dx{^' } = x \cdot J_1 (x)} 
\]
и воспользоваться ею при вычислении коэффициентв ряда Фурье.
Это как раз что <b> shwedka</b> советовала!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 13:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Я ошиблась немного, записывая коэффициент, один множитель забыла.
Правильно:
$C_n=\frac{\int_0^R J_0(r\alpha_n/R) r dr}{\int_0^RJ_0(r\alpha_n/R)^2 r dr }$
интеграл в знаменателе, после замены переменной, $z=r/R$ есть в справочниках, учебниках (здесь важно, что $\alpha_n$- положительные нули функции Бесселя)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 17:28 
Аватара пользователя


24/10/05
400
незванный гость писал(а):
:evil:
Это зависит от того, как понимать границу $|x|=R$. Я тоже сначала понял как круг, и перешел к полярным координатам. Но потом решил, что все-таки имеется в виду полоса вдоль оси $y$, и исходил из этого в решении. antoshka1303 -- выбор за Вами.


так что выбирать: круг или полосу???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Да круг, круг. Ведь в условии стоят $x_1, x_2$ а тогда $x=(x_1,x_2), \;|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$.
Если бы была полоса, то записали бы $|x_1|=R$.
а игрека никакого нет!!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
shwedka писал(а):
Да круг, круг. Ведь в условии стоят $x_1, x_2$ а тогда $x=(x_1,x_2), \;|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$.
Если бы была полоса, то записали бы $|x_1|=R$.
а игрека никакого нет!!!

Вашими бы устами да мёды пить. Из самого первого сообщения:
Цитата:
$\Delta _2  = \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial y^2 }}$

А вот где Вы увидели $x_1$, $x_2$ -- не знаю.

Я, впрочем, не настаиваю на том, что это -- полоса. Я плохо знаю традиционные обозначения. А лапласиан меня смутил.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Виновата, затмение. Но еще довод в пользу круга:
Там говорят о собственных частотах, а в полосе спектр непрерывный, собственных значений нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 21:42 
Аватара пользователя


24/10/05
400
незванный гость писал(а):
:evil:
shwedka писал(а):
Да круг, круг. Ведь в условии стоят $x_1, x_2$ а тогда $x=(x_1,x_2), \;|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$.
Если бы была полоса, то записали бы $|x_1|=R$.
а игрека никакого нет!!!

Вашими бы устами да мёды пить. Из самого первого сообщения:
Цитата:
$\Delta _2  = \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial y^2 }}$

А вот где Вы увидели $x_1$, $x_2$ -- не знаю.

Я, впрочем, не настаиваю на том, что это -- полоса. Я плохо знаю традиционные обозначения. А лапласиан меня смутил.

А чем может смутить Лапласиан?В вормуле ошибка?Да вроде нет...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 21:42 
Аватара пользователя


24/10/05
400
Значит все-таки круг?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
antoshka1303 писал(а):
незванный гость писал(а):
... Из самого первого сообщения:
Цитата:
$\Delta _2  = \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial y^2 }}$
...
А лапласиан меня смутил.

А чем может смутить Лапласиан?В вормуле ошибка?Да вроде нет...

Лапласиан у Вас использует $(x,y)$ обозначения. Это наводит на мысль, что $x$ в $|x|$ -- первая координата, а не вектор. И, соответственно, область -- полоса, а не круг. Но мы не знаем, откуда эта часть условия -- может быть, Вы просто хотели сказать, что задача двумерная.

Я и сам первоначально посчитал область кругом и перешел к полярным координатам. Это более типично для таких задач, особенно учебных. Но вот $y$ в лапласиане...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 23:21 
Аватара пользователя


24/10/05
400
незванный гость писал(а):
:evil:
antoshka1303 писал(а):
незванный гость писал(а):
... Из самого первого сообщения:
Цитата:
$\Delta _2  = \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial x^2 }} + \frac{{\partial ^2 }}
{{\partial y^2 }}$
...
А лапласиан меня смутил.

А чем может смутить Лапласиан?В вормуле ошибка?Да вроде нет...

Лапласиан у Вас использует $(x,y)$ обозначения. Это наводит на мысль, что $x$ в $|x|$ -- первая координата, а не вектор. И, соответственно, область -- полоса, а не круг. Но мы не знаем, откуда эта часть условия -- может быть, Вы просто хотели сказать, что задача двумерная.

Я и сам первоначально посчитал область кругом и перешел к полярным координатам. Это более типично для таких задач, особенно учебных. Но вот $y$ в лапласиане...

а, понял,конечно, имелось в виду лапласиан от x_1 x_2

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.04.2006, 23:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Тогда -- круг и полярные координаты.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 78 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group