незванный гость писал(а):
:evil:
Попробуйте рассмотреть удовлетворяющую граничным условиям
![$v(x)$ $v(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/b/43b291e51d9ec0324a2f6648d60de89a82.png)
такую, что
![${\frac{{\partial ^2 v}} {{\partial t^2 }} = a^2 \frac{{\partial ^2 v}} {{\partial x^2 }} + k\sin (\omega t)}$ ${\frac{{\partial ^2 v}} {{\partial t^2 }} = a^2 \frac{{\partial ^2 v}} {{\partial x^2 }} + k\sin (\omega t)}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/5/17502259a3dbdce629e1420ed07d20be82.png)
. Тогда
![$w(x,y) = u(x, y) - v(x)$ $w(x,y) = u(x, y) - v(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/0/8c00558a30de30a8599fe7ce6996d43a82.png)
удовлетворяет однородному уравнению
![$v(x)$ $v(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/b/43b291e51d9ec0324a2f6648d60de89a82.png)
такую, что
![${\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 w}$ ${\frac{{\partial ^2 w}} {{\partial t^2 }} = a^2 \Delta _2 w}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/e/45e9dfa568ccaeb1ad5fa4ab152c2dc182.png)
(и граничным условиям).
Ну нет, такую функцию в жизнь не найти.
Нужно перейти к полярным координатам, и, поскольку в задаче от угла ничего не зависит,
функция будет зависеть только от
![r,t r,t](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/6/5d60f00588dc2b1cb8dde15eb7c5e6e682.png)
.
Уравнение запишется в виде
После этого в ОДНОРОДНОМ уравнении делим переменные, то есть
ищем решения специального вида,
В результате для F получается уравнение Бесселя. Eго собственные функции будут
![$F_n(r)=
J_0(r\alpha_n/R),,,, \alpha_n$ $F_n(r)=
J_0(r\alpha_n/R),,,, \alpha_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/b/e5badbb29dae43f6b167069934e310b582.png)
положительные нули функции Бесселя.
В заключение решение задачи ищется в виде
Подаставляем в уравнение и начальные условия, для
![$T_n(t)$ $T_n(t)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/d/eed4f4f931989be1a0a0ac7ddb3b72cc82.png)
получается уравнение
![$T_n''+(\alpha_n/R)^2 T_n= C_n a^2 \sin(kt)$,'' где $C_n=\int_0^R J_0(r\alpha_n/R) r dr , T_n(0)=T_n'(0)=0$ $T_n''+(\alpha_n/R)^2 T_n= C_n a^2 \sin(kt)$,'' где $C_n=\int_0^R J_0(r\alpha_n/R) r dr , T_n(0)=T_n'(0)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/8/738ff6846e68acd3783de3402c09640a82.png)
. решил и ура.