Задачка по Уравнениям мат. физики

[antoshka1303]

значит так...

$$ F(r) = J_n ({{\xi _m^{(n)} } \over R}r) $$ $$ \alpha _n = {{\xi _m^{(n)} } \over R} $$ $$ F_n (r) = AJ_0 (\alpha _n r) $$

То есть задачу ищем в виде

$$ u(t,r) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {F_n (r)T _n (t)} $$

подставляю в исходное уравнение

$$ u_{tt} - a^2 (u_{rr} + {1 \over r}u_r ) = k\sin (\omega t) $$

$$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {rF_q (r)F_n (r)T_n ^{''} (t) - a^2 \sum\limits_{n = 1}^\infty {rF_q (r)F_n ^{''} (r)T_n (t) - {{a^2 } \over r}\sum\limits_{n = 1}^\infty {rF_q (r)F_n ^' (r)T_n (t) = rF_q (r)k\sin (\omega t)} } } $$

умножаем на

$$ rF_q (r) $$

$$ \alpha _q = {{\xi _m^{(q)} } \over R} $$ $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t) - a^2 \sum\limits_{n = 1}^\infty {rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{''} (\alpha _q r)T_n (t) - {{a^2 } \over r}\sum\limits_{n = 1}^\infty {rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)T_n (t) = rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)} } } $$

интегрируем от 0 до R

$$ \int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t)} dr - a^2 \int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{''} (\alpha _q r)T_n (t)dr - } {{a^2 } \over r}\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)T_n (t)dt = } $$ $$ = \int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)dr} } $$

Теперь в виду ортогональности должно сократится все, кроме q=n
Так?

[shwedka]

Правильно, только нужно сначала собрать
в последней формуле две последние суммы слева в одну,
Там будет общий множитель $T_n(t)$.
после этого выразить сумму членов, содержащих производные от Бесселей, через Бесселево уравнение

$$ F_n ^{''} (r)+r^{-1}F_n' (r) = \alpha_n ^2 F_n (r)$$

И только тогда ссылаться на ортогональность.

[antoshka1303]

собираю

$$ \int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t)} dr - T_n (t)\int\limits_0^R {} \left[ {a^2 rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{''} (\alpha _q r) - {{a^2 } \over r}rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)} \right]dr = $$ $$ = = \int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)dr} $$

использую Бесселево уравнение

$$ J_n^{''} (\alpha _n r) + {1 \over r}J_n^{'} (\alpha _n r) = \alpha _n^2 J(\alpha _n r) $$

подробное вычисление в []

$$ \left[ {a^2 rJ_0 (\alpha _n r)\left( {\alpha _q^2 J(\alpha _q r) - {1 \over r}J_q^' (\alpha _q r)} \right) - {{a^2 } \over r}rJ_0 (\alpha _n r)J_0^' (\alpha _q r)} \right] = $$ $$ = a^2 rJ_0 (\alpha _n r)\alpha _q^2 J(\alpha _q r) - {1 \over r}J_q^{'} (\alpha _q r)a^2 rJ_0 (\alpha _n r) - {{a^2 } \over r}rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r) $$

Явно должны сократиться последние 2 слагаемых, но не сокращаюся!!!!!???

[shwedka]

ошибка в знаке в первом уравнении. должно быть

$$ \int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t)} dr - T_n (t)\int\limits_0^R {} \left[ {a^2 rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{''} (\alpha _q r) + {{a^2 } \over r}rJ_0 (\alpha _n r)J_0^{'} (\alpha _q r)} \right]dr = $$ $$ = = \int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)dr} $$

Тогда сократится

[antoshka1303]

точно, не просек сразу, затмение.

$$ \int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)T_n ^{''} (t)} dr - T_n (t)\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} a^2 rJ_0 (\alpha _n r)\alpha _q^2 J(\alpha _q r)} dr = \int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)k\sin (\omega t)dr} $$

$$ T_n ^{''} (t)\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)} dr - T_n (t)\int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} a^2 rJ_0 (\alpha _n r)\alpha _q^2 J(\alpha _q r)} dr = k\sin (\omega t)\int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)dr} $$

$$ \int\limits_0^R {\sum\limits_{}^{} {} rJ_0 (\alpha _n r)J_0 (\alpha _q r)} dr = {{R^2 } \over 2}J_1^2 (r) $$

получается

$$ T_n ^{''} (t) - a^2 \alpha _n T_n (t) = {{\int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)dr} } \over {{{R^2 } \over 2}J_1^2 (r)}}k\sin (\omega t) $$ $$ C_n = {{\int\limits_0^R {rJ_0 (\alpha _q r)dr} } \over {{{R^2 } \over 2}J_1^2 (r)}} $$ $$ T_n ^{''} (t) - a^2 \alpha _n T_n (t) = C_n k\sin (\omega t) $$

Правильно?

[shwedka]

Вот, правильно. только множитель к потерял в последней формуле. И должно быть \alpha_n^2. Осталось решить последнее уравнение с нулевыми начальными условиями. справишься??

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Вот, правильно. только множитель к потерял в последней формуле.. Осталось решить последнее уравнение с нулевыми начальными условиями. справишься??

Какой множитель?

[shwedka]

Да, он есть, но в последней строчке альфа должна быть в квадрате.

[antoshka1303]

$$ T_n ^{''} (t) - a^2 \alpha ^2 _n T_n (t) = C_n k\sin (\omega t) $$ $$ T_n (0) = T^{'} (0) = 0 $$

[antoshka1303]

antoshka1303 писал(а):

$$ T_n ^{''} (t) - a^2 \alpha ^2 _n T_n (t) = C_n k\sin (\omega t) $$ $$ T_n (0) = T^{'} (0) = 0 $$

Ну а это уже обычные диффуры:)))

[shwedka]

Желаю удачи. Научился кое чему???

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Желаю удачи. Научился кое чему???

Я так понял,ч то это уже ответ!!!;)
Спасибо большое.

[shwedka]

Ну, все-таки нужно обыкновенный диффур решить.

[antoshka1303]

Решил диф ур. и нашел константы из начальных условий

$$ T_n (t) = C_1 e^{\alpha _n a_n t} + C_2 e^{ - \alpha _n a_n t} + \alpha ^2 _n a^2 _n \cos (\omega t) + (\alpha _n^2 a^2 _n + C_n )\sin (\omega t) $$ $$ C_1 = {{\alpha _n^2 a^2 _n + C_n } \over {2\alpha _n^{} a_n }} - \alpha _n^2 a^2 _n $$ $$ C_2 = {{ - \alpha _n^2 a^2 _n - C_n } \over {2\alpha _n^{} a_n }} $$

[shwedka]

Опять в знаке ошибся!! в диффуре, кторый нужно решить, 4 поста назад, нужен плюс, а не минус!!(я не заметила)
Этот минус издалека, из задачи на собственные значения для Бесселя тянется... виновата!
В результате в решении у экспонент i появится.