Задачка по Уравнениям мат. физики

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

После этого в ОДНОРОДНОМ уравнении делим переменные, то есть
ищем решения специального вида, u(r,t)=T(t)F(r)
В результате для F получается уравнение Бесселя. Eго собственные функции будут $F_n(r)= J_0(r\alpha_n/R),,,, \alpha_n$ положительные нули функции Бесселя.
В заключение решение задачи ищется в виде
$ u(r,t)=\sum F_n(r ) T_n(t)$
Подаставляем в уравнение и начальные условия, для $T_n(t)$ получается уравнение
$T_n''+(\alpha_n/R)^2 T_n= C_n a^2 \sin(kt)$,'' где $C_n=\int_0^R J_0(r\alpha_n/R) r dr , T_n(0)=T_n'(0)=0$. решил и ура.

перешел в к полярным координатам, не ясно что вы имеете в виду под словом ОДНОРОДНОЕ уравнение, это с членм u _{tt} или без него? Да и как искать собственную функцию Бесселя долее ? У меня пока такое получилось.

\[ \frac{{F^{''} }} {F} + \frac{1} {r}\frac{{F^' }} {F} = - \frac{1} {{a^2 }}\frac{{T^{''} }} {T} \]

[shwedka]

замечательно!! Только в знаке ошиблись, плюс вместо минуса стоять должен.
А теперь заметьте, что левая часть Вашего равенства зависит только от
r , а правая только от t . Поэтому обе постоянны. Обозначьте эту постоянную какой- нибудь буквочкой и получите 2 уравнения. Начните с уравнения для F. Это уравнение Бесселя. Напишите для него граничные условия, вытекающие из исходной задачи. Посмотрите в Вашем учебнике, как уравнение Бесселя с такими условиями решать.

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

замечательно!! Только в знаке ошиблись, плюс вместо минуса стоять должен.
А теперь заметьте, что левая часть Вашего равенства зависит только от
r , а правая только от t . Поэтому обе постоянны. Обозначьте эту постоянную какой- нибудь буквочкой и получите 2 уравнения. Начните с уравнения для F. Это уравнение Бесселя. Напишите для него граничные условия, вытекающие из исходной задачи. Посмотрите в Вашем учебнике, как уравнение Бесселя с такими условиями решать.

Я пробую искать решения в виде ряда

$$ F(r) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k } r^{k + \alpha } = a_0 r^\alpha + a_1 r^{\alpha + 1} + a_2 r^{\alpha + 2} + a_3 r^{\alpha + 3} + a_4 r^{\alpha + 4} +... $$

Далее подставляю в уравнение ряд (что получилось см ниже.)и приравниваю нулю коэффициены при

$$ r^\alpha ,r^{\alpha + 1} ,r^{\alpha + 2} ,r^{\alpha + 3} ,... $$

$$ \sum\limits_{k = 0}^\infty {(\alpha + k - 1)(\alpha + k)a_k r^{\alpha + k - 2} } + {1 \over r}\sum\limits_{k = 0}^\infty {(\alpha + k)a_k r^{\alpha + k - 1} } - \mu \sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k r^{\alpha + k} = 0} $$

$$ \eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {\alpha ^2 a_0 = 0 (\,r^{\alpha - 2} )} , \cr {(\alpha + 1)^2 a_1 = 0 (\,r^{\alpha - 1} )} ,\cr {(\alpha + 2)^2 a_2 - \mu a_0 = 0 (\,r^\alpha )} , \cr {(\alpha + 3)^2 a_3 - \mu a_1 = 0 (\,r^{\alpha + 1} )} , \cr \cdots \cr , \cdots \cr , {(\alpha + l)^2 a_l - \mu a_{l - 2} = 0} ,\cr {(l = 2,3,...)} , \cr } } \right. \cr & \cr} $$

Потом получается, что все нечетные коэффициенты a _l = 0

А все четные друг из друга выражаются.

$$ \eqalign{ & a_{2m} = a_{2m - 2} {\mu \over {m^2 }} ; \cr & a_{2m - 2} = a_{2m - 4} {\mu \over {m^2 }}; \cr & \ldots \cr & a_{2m - 2m} = a_{2m - 4m} {\mu \over {m^2 }};a_0 = a_{ - 2m} {\mu \over {m^2 }} \cr} $$

Дальше - тупик...

[shwedka]

Нет, Антошка,
Это уравнение Бесселя, Искать в виде ряда трудно, придется повторить весь долгий научный путь, приведший к функциям Бесселя. Искать решение нужно в том месте книжки, где говорится о функциях Бесселя.
Там и уравнение обсуждается и правило, как решение находить....
УДАЧИ

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Нет, Антошка,
Это уравнение Бесселя, Искать в виде ряда трудно, придется повторить весь долгий научный путь, приведший к функциям Бесселя. Искать решение нужно в том месте книжки, где говорится о функциях Бесселя.
Там и уравнение обсуждается и правило, как решение находить....
УДАЧИ

Нам сказали пользоваться книгой Тихонов,Самарский "Уравнения математической физики", там как раз говорится как искать решение через ряд...
<b>shwedka</b> а вы какой книгой пользуетесь,какую посоветуете?

[shwedka]

Книга вполне хорошая.
Посмотрите на стр.642 (издание 77 года, Дополнение 2 парагр. 2) и вокруг, о краевых задачах для Бесселя.
и Стр, 430, Гл. 5, пар.3.3, колебания круглойй мембраны.

[antoshka1303]

shwedka писал(а):

Книга вполне хорошая.
Посмотрите на стр.642 (издание 77 года, Дополнение 2 парагр. 2) и вокруг, о краевых задачах для Бесселя.
и Стр, 430, Гл. 5, пар.3.3, колебания круглойй мембраны.

я как раз на 642 и смотрел как делать...

[shwedka]

Вот и хорошо . вам нужны формулы 13, 14, 18

[antoshka1303]

Значит так, пишу подробно.

$$ {{F^{''} } \over F} + {1 \over r}{{F^' } \over F} = \mu $$

=>

$$ F^{''} + {1 \over r}F^{' } - \mu F = 0 $$

Граничное условие

$$ \left. F \right|_{r = R} = 0 $$

то есть

$$ F(R) = 0 $$

Таким образом, получили систему.

$$ \left\{ \matrix{ F^{''} + {1 \over r}F^{'} - \mu F = 0 \hfill \cr , F(R) = 0 \hfill \cr} \right. $$

Далее

$$ \eqalign{ & rF^{''} + F^{'} - \mu rF = 0 \cr & (F^{'}r)^{'} - \mu rF = 0 \cr} $$

F(R) = 0
с другой стороны

$$ {{T^{''} } \over T} = \mu a^2 $$

$$ T^{''} - \mu a^2 T = 0 $$

Условие периодичности для T(t) дает

$$ \mu a^2 =n^2 $$

n-целое число.
Таким образом, функция F(r) должна определяться из уравнения Бесселя.

$$ {\partial \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) - \mu rF = 0 $$

$$ {\partial \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) - {{n^2 } \over {a^2 }}rF = 0 $$

$$ \wp [F] = {\partial \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) $$

Таким образом, функция F(r) должна удовлетворять условию

$$ \wp [F] - {{n^2 } \over {a^2 }}rF = 0 $$

Пока все верно?

[shwedka]

antoshka1303 писал(а):

Значит так, пишу подробно.

$$ {{F^{''} } \over F} + {1 \over r}{{F^' } \over F} = \mu $$

=>

$$ F^{''} + {1 \over r}F^{' } - \mu F = 0 $$

Граничное условие

$$ \left. F \right|_{r = R} = 0 $$

то есть

$$ F(R) = 0 $$

Таким образом, получили систему.

$$ \left\{ \matrix{ F^{''} + {1 \over r}F^{'} - \mu F = 0 \hfill \cr , F(R) = 0 \hfill \cr} \right. $$

Далее

$$ \eqalign{ & rF^{''} + F^{'} - \mu rF = 0 \cr & (F^{'}r)^{'} - \mu rF = 0 \cr} $$

F(R) = 0

Совершенно верно!!

Цитата:

с другой стороны

$$ {{T^{''} } \over T} = \mu a^2 $$

$$ T^{''} - \mu a^2 T = 0 $$

Условие периодичности для T(t) дает

А вот тут уже неверно!! Нет здесь никакой периодичности!!

Цитата:

$$ \mu a^2 =n^2 $$

n-целое число.
Таким образом, функция F(r) должна определяться из уравнения Бесселя.

$$ {\partial \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) - \mu rF = 0 $$

$$ {\partial \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) - {{n^2 } \over {a^2 }}rF = 0 $$

$$ \wp [F] = {\partial \over {\partial r}}\left( {{{\partial F} \over {\partial r}}r} \right) $$

Таким образом, функция F(r) должна удовлетворять условию

$$ \wp [F] - {{n^2 } \over {a^2 }}rF = 0 $$

Пока все верно?

Забудьте пока про уравнение для Т!!
Смотрите на уравнение Бесселя.
решайте его, следуя Тихонову, стр. 642, начиная с формулы 5.
или как на стр 432, форм,улы 25-30. Получится, что Ваше число
$mu$ не какое попало, а выражается через нули функции Бесселя $J_0$
по формулам 13, 14. А после того, как эти $mu$
найдены,
запишите искомое решение в виде ряда
\sum F_k(k)T_k(t)
и подставьте в уравнение, получите НОВОЕ уравнение для Т_к.
И только тогда его решайте. Посмотрите еще раз мое первое письмо.

ВАЖНО::
То уравнение для Т , которое Вы получили в начале, носит исключительно вспоомогательный характер и его решать НЕ НАДО!!!

[antoshka1303]

antoshka1303 писал(а):

Значит так, пишу подробно.

$$ {{F^{''} } \over F} + {1 \over r}{{F^' } \over F} = \mu $$

=>

$$ F^{''} + {1 \over r}F^{' } - \mu F = 0 $$

Граничное условие

$$ \left. F \right|_{r = R} = 0 $$

то есть

$$ F(R) = 0 $$

Таким образом, получили систему.

$$ \left\{ \matrix{ F^{''} + {1 \over r}F^{'} - \mu F = 0 \hfill \cr , F(R) = 0 \hfill \cr} \right. $$

Далее

$$ \eqalign{ & rF^{''} + F^{'} - \mu rF = 0 \cr & (F^{'}r)^{'} - \mu rF = 0 \cr} $$

F(R) = 0

Исправлю.

$$ x = \sqrt \mu r $$ $$ r = {x \over {\sqrt \mu }} $$ $$ y(x) = F(r) = F({x \over {\sqrt \mu }}) $$ $$ {1 \over {\sqrt \mu }}{d \over {dx}}({1 \over {\sqrt \mu }}{{dy} \over {dx}}{x \over {\sqrt \mu }}) - \mu {x \over {\sqrt \mu }}y = 0 $$ $$ {d \over {dx}}({{dy} \over {dx}}x) - \mu ^2 xy = 0 $$ $$ y(\sqrt \mu R) = 0 $$ $$ \eqalign{ & y(\sqrt \mu R) = 0 \cr & \left| {y(0)} \right| < 0 \cr} $$

Так?

[antoshka1303]

Отсюда находим

$$ y(x) = AJ_n (x) $$

В силу граничного решения

$$ y(\sqrt \mu R) = 0 $$

Имеем

$$ \eqalign{ & J_n (\xi ) = 0 , \cr & \;\xi = \sqrt \mu R \cr} $$

Тогда

$$ \mu _m^{(n)} = ({{\xi _m^{(n)} } \over R})^2 $$

Которым соосветствует собственная функия

$$ F(r) = AJ_n ({{\xi _m^{(n)} } \over R}r) $$

Ортогональность системы собственных функций

$$ \int\limits_0^R {J_n ({{\xi _{m_1 }^{(n)} } \over R}r)J_n ({{\xi _{m_2 }^{(n)} } \over R}r)rdr = 0,m_1 \ne m_2 } $$ $$ \alpha _1 = {{\xi _m^{(n)} } \over R} $$

Квадрат нормы:

$$ \left\| F \right\|^2 = \left\| {J_n (\alpha _1 r)} \right\|^2 = \int\limits_0^R {F^2 (r)rdr = {{R^2 } \over 2}\left[ {J_n^{'} (\alpha _1 )} \right]} ^2 $$

в частности

$$ \int\limits_0^R {J_0^2 ({{\xi _m^{(0)} } \over R}r)rdr = {{R^2 } \over 2}J_1^2 ({{\xi _m^{(0)} } \over R})} $$

Всякая дважды дифф ф-я W(r), ограниченная в нуле и W(R)=0 допускает представления

$$ W(r) = \sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m J_n ({{\xi _m^{(n)} } \over R}r)} $$

Отсюда

$$ A_m = {{\int\limits_0^R {W(r)} J_n ({{\xi _m^{(n)} } \over R}r)} \over {\left\| {J_n } \right\|^2 }} $$ $$ \left\| {J_n } \right\|^2 = {{R^2 } \over 2}[J_1^{'} (\xi _m^{(n)} )]^2 $$

Как двигаться дальше?

[shwedka]

Все СОВЕРШЕННО правильно. Молодец.
Только

Цитата:

Отсюда находим

$$ y(x) = AJ_n (x) $$

Здесь и дальше всюду n=0 то есть нужны Бесселевы функции нулевого полрядка. Это потому, что
Ваше уравнение, в конце предыдущего письма это ур. Бесселя НУЛЕВОГО порядка.


Дальше я написала, Прочитай мое вчерашнее письмо и первое письмо внимательно..
Ищи решение в указанном виде. подставь в исходное уравнение.
Умножь на $rF_k(r)$
при каком-нибудь к и проинтегрируй по
$r$. Из-за ортогональности найденных функций
$F_k(r)$ из всего ряда сохранится только один член, с n=k.
Вот и получится уравнение для $T_k(t)$.

[antoshka1303]

В качестве W(r) я какую функцию беру?

[shwedka]

Антошка. Ты читать умеешь??

пока никакого W(r).
Далай, как я сказала!!!