2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4731
Mikhail_K в сообщении #1210538 писал(а):
Понятно, что это совсем не так
А действительно ли это совсем не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4278
По-видимому, разница между двумя подходами в том, что алгебраист постарается выкинуть всё лишнее из задачи, чтобы ничто не отвлекало от её сути. А Арнольд, наоборот, считает, что в абстрактную задачу можно добавлять "шум", чтобы можно было представить её в контексте реального мира. Кому-то проще так, кому-то сяк; кроме того, это зависит от задачи и от конечной цели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63033
Anton_Peplov в сообщении #1210516 писал(а):
Книжки Вавилова давно лежат в директории "прочесть", но сейчас я (само)обучаюсь другим разделам математики.

Ну я этого не понимаю. Вы тут говорите про группы, а книжку про группы даже пролистать не пролистали. Если вы сейчас занимаетесь другим, то про группы можно было бы не вступать в разговор, например.

Mikhail_K в сообщении #1210538 писал(а):
Но всё равно остаётся такая мысль: может, если бы определение было другим, то тоже удалось бы придумать много примеров, просто других?

На такое, мне кажется, ответ может быть только: "придумайте определение лучше". Причём не как риторическая фигура речи, а как реальное упражнение. Когда студент попробует придумать 3-5 разных определений, и подбирать на каждое по 3-5 примеров (по 10 - зверство), он почувствует на своей шкуре, что не всё так просто.

Можно из этого сделать коллективное развлечение, когда все студенты на семинаре высказываются и голосуют за разные аксиомы.

Ну и в конце концов. Да, есть другие определения! Кроме групп, есть и полугруппы, и кольца, и векторные пространства, например. Однако все они получают в математике свою долю внимания, и исторически так сложилось, что эта доля внимания пропорциональна тому:
- насколько эти объекты важны, и
- насколько легко, много и содержательных фактов о них можно найти.
Поэтому, группы - один из центров внимания не просто так. Это эволюционно достигнутый результат.

Mikhail_K в сообщении #1210538 писал(а):
И кроме того: примеры - они разнообразны, и в этом их ценность. А толкование групп как групп преобразований даёт удобный образ, который, наоборот, собирает вместе все представления об этом понятии. Мне кажется, что важно и то и другое.

А я, вроде, так и сказал, что важно и то и другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 22:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4731
Munin в сообщении #1210550 писал(а):
Ну я этого не понимаю. Вы тут говорите про группы, а книжку про группы даже пролистать не пролистали. Если вы сейчас занимаетесь другим, то про группы можно было бы не вступать в разговор, например.
Про группы я знаю то, что написано в первом томе Кострикина и в книжке Ильина-Позняка "Линейная алгебра", плюс еще начал разбираться с топологическими группами по Виро и К. Это, конечно, самые азы: определение, циклические группы, нормальные делители, все в таком духе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63033
Вопрос скорее в другом. Это хороший базис. Но насколько давно вы это знаете? Насколько хорошо вы с группами освоились? С примерами групп? Знаете ли вы, как понятие группы используется в понятиях кольца, поля, векторного пространства, алгебры над полем? Знаете ли вы, скажем, группы векторов и матриц, хотя бы некоторые? Группы симметрий, группы перестановок?

Эти вопросы - не чтобы проэкзаменовать вас, а чтобы объяснить направление разговора. Ответьте на них не мне, а самому себе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20035
Уфа
Anton_Peplov
Меня тоже те два места смутили. :-) На втором даже машинально вспомнил бритву Хэнлона.

Потом полез в учебник Кострикина и обрадовался, что с группами преобразований в качестве примера там всё в порядке. (В том числе с соответствующим примером полного множества преобразований для моноидов: если уж вспоминать, то масштабно!)

Mikhail_K в сообщении #1210538 писал(а):
Но всё равно остаётся такая мысль: может, если бы определение было другим, то тоже удалось бы придумать много примеров, просто других? И в учебниках нет этих примеров потому, что определение группы ввели именно таким, и стали искать после этого примеры именно групп. (Понятно, что это совсем не так, но, насколько я понимаю студенческую психологию, такой ход мыслей возможен.)
На такой ход мысли единственный ответ — ну так это было бы другое понятие, и если оно полезное и получается небольшими исправлениями определения, то оно уже должно быть известно и попадётся вам (мотивирующемуся читателю), видимо, чуть позже. [Ага, уже Munin отметил.] В таком случае автор, конечно, может тоже сделать какую-то пометку: а вот так будет то-то, а вот если вместо автоморфизмов чего-то брать изоморфизмы, получим груду etc.. Понятно, что для групп группы автоморфизмов (в том числе множеств, конечно) должны обязательно входить в примеры, но обычно на момент приведения примеров для групп есть только множества, так что получается даже слишком бедно.

Ну, это обычная проблема: абстракцию надо ввести не слишком рано, чтобы были примеры, и не слишком поздно, чтобы не навредить удлинением текстов. Однако её нельзя решить, просто сказав «так не делай». Пока только эвристики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4731
Munin в сообщении #1210561 писал(а):
насколько давно вы это знаете?
Несколько лет, если не говорить о топологических группах, которые ботаю буквально сейчас.
Munin в сообщении #1210561 писал(а):
Насколько хорошо вы с группами освоились?
Расплывчатый вопрос, не могу ответить.
Munin в сообщении #1210561 писал(а):
Знаете ли вы, как понятие группы используется в понятиях кольца, поля, векторного пространства, алгебры над полем?
Только то, что кольцо (и соответственно, поле), равно как и векторное пространство, являются абелевыми группами по сложению. Что-то всплывает в памяти про группы линейных операторов (если говорить о векторных пространствах).
Munin в сообщении #1210561 писал(а):
Знаете ли вы, скажем, группы векторов и матриц, хотя бы некоторые?
Знаю определение $\rm{GL(n), \ SL(n), \ O(n), \  SО(n)}$. Для чего они нужны - не знаю. Я их из Кострикина и Манина выписал, но не прорабатывал этот учебник.
Munin в сообщении #1210561 писал(а):
Группы симметрий
Знаю примерно так: назовем симметрией поворот фигуры на столько градусов, чтобы результат поворота совпал с исходной фигурой. Например, для круга это будет любой поворот, для квадрата - любой поворот на угол, кратный прямому. Очевидно, что для любой фигуры все ее симметрии образуют группу с поворотом на ноль градусов в качестве единицы.
Munin в сообщении #1210561 писал(а):
группы перестановок
Это про теорему Кэли? Помнится, я этот параграф в конспекте полностью переформулировал, мне показалось ужасно неуклюжим говорить о перестановках, поэтому я говорил о группе биекций. Группе всех биекций $A \to A$, которых $n!$, и любая конечная группа порядка $n$ изоморфна... ну и так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20035
Уфа
Да, группа биекций — это и есть группа перестановок (для конечных множеств точно, а для бесконечных, насколько понимаю, принято перестановками звать только те, которые оставляют на месте почти все элементы), но когда хочется рассмотреть группу саму по себе, получается удобным рассматривать именно $S_n\equiv S(\{1,2,\ldots,n\})$, а не какую-то другую $S(A), |A| = n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 23:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1267
Anton_Peplov в сообщении #1210585 писал(а):
Знаю примерно так: назовем симметрией поворот фигуры на столько градусов, чтобы результат поворота совпал с исходной фигурой. Например, для круга это будет любой поворот, для квадрата - любой поворот на угол, кратный прямому. Очевидно, что для любой фигуры все ее симметрии образуют группу с поворотом на ноль градусов в качестве единицы.

Ну это только в $\mathbb{R}^2$, только ограниченных фигур c центром симметрии в нуле, и только симметрии сохраняющие ориентацию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4731
arseniiv в сообщении #1210570 писал(а):
Потом полез в учебник Кострикина и обрадовался, что с группами преобразований в качестве примера там всё в порядке.
А я где-то говорил, что первый раз слышу о группах преобразований? По-моему, я уже (или еще?) во втором своем посте в этой теме о них сказал. И даже об их возможной педагогической роли.

Я всего лишь заметил, что не готов согласиться с утверждением, что понятие группы преобразований дает более удачное, глубокое или какое там еще интуитивное понимание идеи группы, чем знание аксиом группы. И указал, что, быть может, не готов с этим согласиться лишь из-за моего малого опыта общения с группами (может быть, и нет, но этот вопрос поддается только экспериментальной проверке). Никак не ожидал на эту свою реплику столь бурной реакции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20035
Уфа
Anton_Peplov в сообщении #1210595 писал(а):
А я где-то говорил, что первый раз слышу о группах преобразований?
Так я ведь не про вас, меня Арнольд напугал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4731
kp9r4d в сообщении #1210591 писал(а):
Ну это только в $\mathbb{R}^2$, только ограниченных фигур c центром симметрии в нуле и только ориентированные симметрии.
Потому и "примерно так", что на уровне примеров. На уровне определений было бы "определенно так":))))

-- 18.04.2017, 23:05 --

arseniiv в сообщении #1210596 писал(а):
Так я ведь не про вас, меня Арнольд напугал.
А. Тогда извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20035
Уфа
Не за что. :-) Вдогонку:
Anton_Peplov в сообщении #1210595 писал(а):
Я всего лишь заметил, что не готов согласиться с утверждением, что понятие группы преобразований дает более удачное, глубокое или какое там еще интуитивное понимание идеи группы, чем знание аксиом группы.
А я с этим даже не спорил. Я готов спорить только с тем, что не надо приводить группы преобразований примером для группы, но никто этого здесь не утверждал. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 23:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4731
arseniiv в сообщении #1210598 писал(а):
А я с этим даже не спорил.
А я и не про Вас. Давайте вспомним, как все начиналось.

Mikhail_K в сообщении #1210505 писал(а):
Это так, и тем не менее толкование групп как групп преобразований формирует гораздо более чёткое интуитивное представление о том, что вообще такое группа, чем перечисление аксиом.
Anton_Peplov в сообщении #1210507 писал(а):
Не знаю. Видимо, у нас с Вами разные интуитивные представления. Впрочем, у меня очень мало опыта общения с группами, если не иметь в виду группы "Сплин" и "Оргия праведников". Возможно, дело в этом.
Munin в сообщении #1210515 писал(а):
Anton_Peplov
Почитайте книжки Вавилова, он как раз старается много примеров приводить.
И все заверте...

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о мотивировке математики
Сообщение18.04.2017, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2514
ФТИ им. Иоффе СПб
Встрять что ли... Встряну. IMHO, Арнольд не о группах писал (группы - просто не очень удачный, на мой взгляд, пример). Он писал о том, что современная математика стала чем-то напоминать алхимию. Алхимики, что бы хранить свои страшные тайны, придумали особый язык, который понимали только посвященные, и на изучение этого языка времени уходило больше, чем собственно на получение философского камня.
В.Арнольд писал(а):
И точ
но так же, как невозможно объяснить, чем формально отличается настоящая поэзия от риф
моплетства, настоящая матема
тика, если ее не поддерживать,
легко тонет в массовой продукции...
Особенно трудно отличить настоящие
 гениальные стихи от графомании, если поэты пишут на суахили.

Я, как обычный физик средней руки, вместо того, чтобы придумать что-то новое и абсолютно гениальное, как правило где-то что-то тырю, и приделываю это к другому предмету. Казалось (когда это было...), что математика - золотое дно для такой научной клептомании. Так вот, довольно давно я математические работы читать (за очень малым исключением) бросил за бесполезностью этого занятия - надо быть членом цеха Алхимиков Математиков, что бы понять, что там написано, а если потратить кучу усилий, то с вероятностью 99.9% это будет для меня либо бесполезно, либо (сейчас тапки полетят) тривиально. IMHO, Арнольд о чем-то таком.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group