Всегда смотрел на это так. Взяли мы простейшие алгебраические свойства сложения и умножения чисел и получили поле. Выкинули из этого поля какие-то свойства и получили целостное кольцо. Выкинули требование об отсутствии делителей нуля и получили кольцо. Выкинули нафиг умножение - получилась абелева группа. Выкинули коммутативность - группа. Выкинули обратные элементы - моноид. Единицу - полугруппа. Наконец, ассоциативность - остался группоид, просто множество с заданной на нем бинарной операцией, какой угодно. И на каждом этапе мы смотрим, какие свойства чисел все еще справедливы, а какие уже нет, какие появились новые возможности, как их классифицировать и т.д. Есть же не только теория групп, но и теория полугрупп, колец, полей и черта в ступе.
А мне, кстати, комфортнее было смотреть на алгебру в обратном порядке :) От n-арной универсальной алгебры в одну сторону (одна операция) к группоиду -> полугруппе -> полугруппе с единицей -> группе -> абелевой группе, и в другую сторону (две операции) к кольцу -> кольцу с единицей -> целостному кольцу -> полю, плюс с ответвлением в модули над кольцами -> векторные пространства. Но это больше относится к общей схеме/картинке понятий и их определений, а не обязательно к порядку изучения и углубления в детали. Например, проще изучать сначала векторные пространства, чем модули над кольцами (хотя и в этом отношении, кажется, есть разные мнения).
Общих мотивировок хватает ИМХО и для абстрактного определения группы, не обязательно сразу смотреть на это как на группу преобразований, тем более последнее все равно потом быстро докажется. Аналогично, например, и с кольцами. Определение простое, особых мотивировок и мучений не требует, но сразу после него надо детально разобраться с кольцами целых чисел и классов вычетов, чтобы сначала добавить мяса на кости и только потом пойти в дальнейшие абстракции. А потом, и часто параллельно, с дальнейшими абстракциями, добавлять еще мяса и примеров: гауссовы числа, многочлены и т.д.