Еще раз о мотивировке математики

[Anton_Peplov]

dsge в сообщении #1210444 писал(а):

ИМХО.
По каким-то причинам в математическом сообществе замалчивается рецензия Арнольда с характерным названием "Математика с человеческим лицом" на "Алгебру" Шафаревича. Правда, почти 30-летней давности, но это все же Арнольд и Шафаревич. Категории и функторы там тоже упомянуются, причем в положительном тоне (но в скобкам, наряду с другими важными вещами).

Прямая ссылка на скачивание журнала. Рецензия на с. 117-119.

Предлагаю обсудить саму эту рецензию (и, что интереснее, затронутые в ней вопросы) здесь, а не в исходной теме, т.к. к теории категорий она имеет слабое отношение.

Арнольд поднимает вечные темы: все ли йогурты системы аксиом одинаково полезны, чем немногие изученные математиками системы аксиом выделены среди бесконечного числа всех возможных и так далее. Он явно стоит на позициях "математика должна быть приложима", а к играм в бисер и башням из слоновой кости относится неодобрительно. Временами он слишком категоричен.

А. Арнольд писал(а):

Алгебраисты обычно определяют группы как множества с операциями, удовлетворяющими длинному списку труднозапоминаемых аксиом.

Аксиом, сколько мне помнится, всего три, и нет никаких проблем запомнить такие естественные, с целых чисел перенесенные вещи, как ассоциативность, существование нуля и противоположных элементов (в аддитивных обозначениях).

А. Арнольд писал(а):

Я думаю, что алгебраисты ставят такие препятствия на пути изучающих их науку для того, чтобы затруднить проникновение в нее непосвященным (быть может, неосознанно).

О, теория заговора!
В общем, кажется, в этом абзаце великого человека немного занесло...

[kp9r4d]

Да, я вот кстати его постоянную методическую рекомендацию, которая, грубо, звучит как "вместо группы $G$ рассматривать $G$-множества" не понимаю. Очевидно, что $\mathbb{Z}$ удобнее мыслить саму по себе, а не как группу действующую сдвигами на чём-нибудь (на самом $\mathbb{Z}$?).

[Brukvalub]

Во-первых, Арнольд был еще тот боец, и в полемическом задоре и не такие вещи писАл.
Во-вторых, он рассмотрел простейшую, понятную даже первокуру, "модель", но, как я думаю, подразумевал при этом критику куда более сложных алгебраических понятий, которые действительно трудно понять, если они вводятся без мотивировки, а чисто аксиоматически. Ну, вот и выплеснул с водой немножко ребенка.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1210477 писал(а):

Да, я вот кстати его постоянную методическую рекомендацию, которая, грубо, звучит как "вместо группы $G$ рассматривать $G$-множества" не понимаю. Очевидно, что $\mathbb{Z}$ удобнее мыслить саму по себе, а не как группу действующую сдвигами на чём-нибудь (на самом $\mathbb{Z}$?).

Кажется, он имеет в виду что-то похожее вот на что. У $\mathbb Z$ много свойств, которых нет у произвольной группы. Это абелева группа, циклическая группа бесконечного порядка и так далее, не говоря о том, что на $\mathbb Z$ есть умножение, линейный порядок и прочее. То есть, чтобы нечаянно не создать у вчерашнего школьника вредных иллюзий, ему нужно дать много разных примеров групп, обязательно включая неабелевы, нециклические и так далее.

И вот здесь группы преобразований очень удобная вещь, потому что любые биективные отображения множества в себя вместе со своими обратными и тождественным отображением образуют группу. Здесь как раз видно разнообразие, отсутствие ограничений, естественным образом появляется и некоммутативность (логарифм от корня - не то же, что корень от логарифма). А с другой стороны, (поправьте меня кто-нибудь, если я ошибаюсь), все те группы, с которыми приходится работать в приложениях математики, скажем, к физике - это и есть группы преобразований. Так для чего же, вопрошает Арнольд, нам нужно абстрагировать группу в отдельное понятие, если все равно мы будем говорить о группе преобразований?

Этот аргумент, разумеется, неприложим к внутриалгебраическим исследованиям. Как раз выясняя вопросы типа классификации групп, удобно мыслить группы сами по себе, не таская за собой память о том, что они еще и каких-то там преобразований.

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #1210483 писал(а):

все те группы, с которыми приходится работать в приложениях математики, скажем, к физике - это и есть группы преобразований.

Я думаю он имеет в виду тот тривиальный факт, что любая группа действует сама на себя левым регулярным представлением (каждому элементу сопоставляется преобразование "умножить на этот элемент слева"), а потому является, в каком-то смысле, группой преобразований некоторого множества (самой себя).

[Brukvalub]

Есть и более глубокие причины того, почему Арнольд так писАл.
1. Содержательные результаты о группах обычно начинаются с рассмотрения именно действия группы на множестве.
2. Реально работа с группами и их изучение в большой степени происходит путем их представлений, например, в группе гомоморфизмов линейного пространства, но и не только.
Так что, как ни крути, а, по Гамбургскому счету, Арнольд прав.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1210487 писал(а):

2. Реально работа с группами и их изучение в большой степени происходит путем их представлений, например, в группе гомоморфизмов линейного пространства, но и не только.

Про классификацию конечных простых групп (один из центральных результатов математики, доказательство которого занимает несколько тысяч страниц) как раз говорят, что теория представлений там помогает далеко не везде, и некоторые считают это одной из главных причин, по которым доказательство очень длинное.

-- Вт, 18 апр 2017 09:26:48 --

Anton_Peplov в сообщении #1210483 писал(а):

Так для чего же, вопрошает Арнольд, нам нужно абстрагировать группу в отдельное понятие, если все равно мы будем говорить о группе преобразований?

Это просто особенность человеческого мышления. Абстрактная группа -- это то общее, что имеют между собой разные группы преобразований разных объектов. Если мы что-то хотим доказать даже про конкретную группу преобразований, полезно отдавать себе отчёт, важно ли для доказательства то, на чём именно она действует как группа преобразований.

Если какая-то часть задачи заведомо не важна для решения, от неё нужно избавиться как можно скорее.

С категориями, кстати, ситуация ровно та же.

[Anton_Peplov]

g______d в сообщении #1210488 писал(а):

Абстрактная группа -- это то общее, что имеют между собой разные группы преобразований разных объектов. Если мы что-то хотим доказать даже про конкретную группу преобразований, полезно отдавать себе отчёт, важно ли для доказательства то, на чём именно она действует как группа преобразований.

Если какая-то часть задачи заведомо не важна для решения, от неё нужно избавиться как можно скорее.

Я мыслю ровно так же и, наверное, именно поэтому моему глазу так приятны аксиоматические конструкции.
Но вот Арнольд мыслил иначе, и я искренне попытался понять, как именно.

[Mikhail_K]

Я понимаю Арнольда здесь.
Аксиомы группы непонятны, если их не мотивировать и не объяснять, почему они именно такие.
Непонятно, например, почему ассоциативность требуется, а коммутативность нет.
Чем так выделяются множества с операцией, удовлетворяющие именно этим трём аксиомам, среди множеств с операцией, удовлетворяющих, может быть, каким-то другим условиям, возможно не менее естественным.
Я уверен, что вот это надо объяснять. А то у студентов возникает неприятное чувство, может быть даже неосознанное: типа, надо же было математикам что-то изучать, вот они и взяли с потолка эти три аксиомы.
Понятно, что необходимое пояснение частично дают примеры групп, но только частично.
Идеальное (во всяком случае для меня) пояснение - это именно толкование групп как групп преобразований, тем более что любая группа является группой преобразований.

Вместе с тем, моему глазу тоже "приятны аксиоматические конструкции".
Поэтому я за то, чтобы вводить понятие группы аксиоматически, стандартным образом.
Но обязательно при этом рассказав о данном толковании.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1210493 писал(а):

Я понимаю Арнольда здесь.
Аксиомы группы непонятны, если их не мотивировать и не объяснять, почему они именно такие.
Непонятно, например, почему ассоциативность требуется, а коммутативность нет.
Чем так выделяются множества с операцией, удовлетворяющие именно этим трём аксиомам, среди множеств с операцией, удовлетворяющих, может быть, каким-то другим условиям, возможно не менее естественным.
Я уверен, что вот это надо объяснять. А то у студентов возникает неприятное чувство, может быть даже неосознанное: типа, надо же было математикам что-то изучать, вот они и взяли с потолка эти три аксиомы.

Всегда смотрел на это так. Взяли мы простейшие алгебраические свойства сложения и умножения чисел и получили поле. Выкинули из этого поля какие-то свойства и получили целостное кольцо. Выкинули требование об отсутствии делителей нуля и получили кольцо. Выкинули нафиг умножение - получилась абелева группа. Выкинули коммутативность - группа. Выкинули обратные элементы - моноид. Единицу - полугруппа. Наконец, ассоциативность - остался группоид, просто множество с заданной на нем бинарной операцией, какой угодно. И на каждом этапе мы смотрим, какие свойства чисел все еще справедливы, а какие уже нет, какие появились новые возможности, как их классифицировать и т.д. Есть же не только теория групп, но и теория полугрупп, колец, полей и черта в ступе.

[Mikhail_K]

Это так, и тем не менее толкование групп как групп преобразований формирует гораздо более чёткое интуитивное представление о том, что вообще такое группа, чем перечисление аксиом.

[Anton_Peplov]

Не знаю. Видимо, у нас с Вами разные интуитивные представления. Впрочем, у меня очень мало опыта общения с группами, если не иметь в виду группы "Сплин" и "Оргия праведников". Возможно, дело в этом.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1210493 писал(а):

Понятно, что необходимое пояснение частично дают примеры групп, но только частично.

По-моему, это единственное пояснение, необходимое и достаточное.

То есть, надо показать таких примеров достаточно много. Надо сделать упор на то, что их много. То есть, группы встречаются в математике на каждом шагу, их больше, чем моноидов, полугрупп и группоидов (не являющихся группами). Конечно, многие примеры будут группами преобразований (в смысле, по построению), на чём тоже надо акцентировать внимание.

Anton_Peplov
Почитайте книжки Вавилова, он как раз старается много примеров приводить.

[Anton_Peplov]

Книжки Вавилова давно лежат в директории "прочесть", но сейчас я (само)обучаюсь другим разделам математики.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1210515 писал(а):

То есть, надо показать таких примеров достаточно много. Надо сделать упор на то, что их много. То есть, группы встречаются в математике на каждом шагу

Понимаете, в чём дело: примеры групп показывают, что таких структур действительно много. Но всё равно остаётся такая мысль: может, если бы определение было другим, то тоже удалось бы придумать много примеров, просто других? И в учебниках нет этих примеров потому, что определение группы ввели именно таким, и стали искать после этого примеры именно групп. (Понятно, что это совсем не так, но, насколько я понимаю студенческую психологию, такой ход мыслей возможен.)
И кроме того: примеры - они разнообразны, и в этом их ценность. А толкование групп как групп преобразований даёт удобный образ, который, наоборот, собирает вместе все представления об этом понятии. Мне кажется, что важно и то и другое.