Еще раз о мотивировке математики

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1210538 писал(а):

Понятно, что это совсем не так

А действительно ли это совсем не так?

[g______d]

По-видимому, разница между двумя подходами в том, что алгебраист постарается выкинуть всё лишнее из задачи, чтобы ничто не отвлекало от её сути. А Арнольд, наоборот, считает, что в абстрактную задачу можно добавлять "шум", чтобы можно было представить её в контексте реального мира. Кому-то проще так, кому-то сяк; кроме того, это зависит от задачи и от конечной цели.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1210516 писал(а):

Книжки Вавилова давно лежат в директории "прочесть", но сейчас я (само)обучаюсь другим разделам математики.

Ну я этого не понимаю. Вы тут говорите про группы, а книжку про группы даже пролистать не пролистали. Если вы сейчас занимаетесь другим, то про группы можно было бы не вступать в разговор, например.

Mikhail_K в сообщении #1210538 писал(а):

Но всё равно остаётся такая мысль: может, если бы определение было другим, то тоже удалось бы придумать много примеров, просто других?

На такое, мне кажется, ответ может быть только: "придумайте определение лучше". Причём не как риторическая фигура речи, а как реальное упражнение. Когда студент попробует придумать 3-5 разных определений, и подбирать на каждое по 3-5 примеров (по 10 - зверство), он почувствует на своей шкуре, что не всё так просто.

Можно из этого сделать коллективное развлечение, когда все студенты на семинаре высказываются и голосуют за разные аксиомы.

Ну и в конце концов. Да, есть другие определения! Кроме групп, есть и полугруппы, и кольца, и векторные пространства, например. Однако все они получают в математике свою долю внимания, и исторически так сложилось, что эта доля внимания пропорциональна тому:
- насколько эти объекты важны, и
- насколько легко, много и содержательных фактов о них можно найти.
Поэтому, группы - один из центров внимания не просто так. Это эволюционно достигнутый результат.

Mikhail_K в сообщении #1210538 писал(а):

И кроме того: примеры - они разнообразны, и в этом их ценность. А толкование групп как групп преобразований даёт удобный образ, который, наоборот, собирает вместе все представления об этом понятии. Мне кажется, что важно и то и другое.

А я, вроде, так и сказал, что важно и то и другое.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1210550 писал(а):

Ну я этого не понимаю. Вы тут говорите про группы, а книжку про группы даже пролистать не пролистали. Если вы сейчас занимаетесь другим, то про группы можно было бы не вступать в разговор, например.

Про группы я знаю то, что написано в первом томе Кострикина и в книжке Ильина-Позняка "Линейная алгебра", плюс еще начал разбираться с топологическими группами по Виро и К. Это, конечно, самые азы: определение, циклические группы, нормальные делители, все в таком духе.

[Munin]

Вопрос скорее в другом. Это хороший базис. Но насколько давно вы это знаете? Насколько хорошо вы с группами освоились? С примерами групп? Знаете ли вы, как понятие группы используется в понятиях кольца, поля, векторного пространства, алгебры над полем? Знаете ли вы, скажем, группы векторов и матриц, хотя бы некоторые? Группы симметрий, группы перестановок?

Эти вопросы - не чтобы проэкзаменовать вас, а чтобы объяснить направление разговора. Ответьте на них не мне, а самому себе.

[arseniiv]

Anton_Peplov
Меня тоже те два места смутили. На втором даже машинально вспомнил бритву Хэнлона.

Потом полез в учебник Кострикина и обрадовался, что с группами преобразований в качестве примера там всё в порядке. (В том числе с соответствующим примером полного множества преобразований для моноидов: если уж вспоминать, то масштабно!)

Mikhail_K в сообщении #1210538 писал(а):

Но всё равно остаётся такая мысль: может, если бы определение было другим, то тоже удалось бы придумать много примеров, просто других? И в учебниках нет этих примеров потому, что определение группы ввели именно таким, и стали искать после этого примеры именно групп. (Понятно, что это совсем не так, но, насколько я понимаю студенческую психологию, такой ход мыслей возможен.)

На такой ход мысли единственный ответ — ну так это было бы другое понятие, и если оно полезное и получается небольшими исправлениями определения, то оно уже должно быть известно и попадётся вам (мотивирующемуся читателю), видимо, чуть позже. [Ага, уже Munin отметил.] В таком случае автор, конечно, может тоже сделать какую-то пометку: а вот так будет то-то, а вот если вместо автоморфизмов чего-то брать изоморфизмы, получим груду etc.. Понятно, что для групп группы автоморфизмов (в том числе множеств, конечно) должны обязательно входить в примеры, но обычно на момент приведения примеров для групп есть только множества, так что получается даже слишком бедно.

Ну, это обычная проблема: абстракцию надо ввести не слишком рано, чтобы были примеры, и не слишком поздно, чтобы не навредить удлинением текстов. Однако её нельзя решить, просто сказав «так не делай». Пока только эвристики.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1210561 писал(а):

насколько давно вы это знаете?

Несколько лет, если не говорить о топологических группах, которые ботаю буквально сейчас.

Munin в сообщении #1210561 писал(а):

Насколько хорошо вы с группами освоились?

Расплывчатый вопрос, не могу ответить.

Munin в сообщении #1210561 писал(а):

Знаете ли вы, как понятие группы используется в понятиях кольца, поля, векторного пространства, алгебры над полем?

Только то, что кольцо (и соответственно, поле), равно как и векторное пространство, являются абелевыми группами по сложению. Что-то всплывает в памяти про группы линейных операторов (если говорить о векторных пространствах).

Munin в сообщении #1210561 писал(а):

Знаете ли вы, скажем, группы векторов и матриц, хотя бы некоторые?

Знаю определение $\rm{GL(n), \ SL(n), \ O(n), \ SО(n)}$. Для чего они нужны - не знаю. Я их из Кострикина и Манина выписал, но не прорабатывал этот учебник.

Munin в сообщении #1210561 писал(а):

Группы симметрий

Знаю примерно так: назовем симметрией поворот фигуры на столько градусов, чтобы результат поворота совпал с исходной фигурой. Например, для круга это будет любой поворот, для квадрата - любой поворот на угол, кратный прямому. Очевидно, что для любой фигуры все ее симметрии образуют группу с поворотом на ноль градусов в качестве единицы.

Munin в сообщении #1210561 писал(а):

группы перестановок

Это про теорему Кэли? Помнится, я этот параграф в конспекте полностью переформулировал, мне показалось ужасно неуклюжим говорить о перестановках, поэтому я говорил о группе биекций. Группе всех биекций $A \to A$, которых $n!$, и любая конечная группа порядка $n$ изоморфна... ну и так далее.

[arseniiv]

Да, группа биекций — это и есть группа перестановок (для конечных множеств точно, а для бесконечных, насколько понимаю, принято перестановками звать только те, которые оставляют на месте почти все элементы), но когда хочется рассмотреть группу саму по себе, получается удобным рассматривать именно $S_n\equiv S(\{1,2,\ldots,n\})$, а не какую-то другую $S(A), |A| = n$.

[kp9r4d]

Anton_Peplov в сообщении #1210585 писал(а):

Знаю примерно так: назовем симметрией поворот фигуры на столько градусов, чтобы результат поворота совпал с исходной фигурой. Например, для круга это будет любой поворот, для квадрата - любой поворот на угол, кратный прямому. Очевидно, что для любой фигуры все ее симметрии образуют группу с поворотом на ноль градусов в качестве единицы.

Ну это только в $\mathbb{R}^2$, только ограниченных фигур c центром симметрии в нуле, и только симметрии сохраняющие ориентацию.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1210570 писал(а):

Потом полез в учебник Кострикина и обрадовался, что с группами преобразований в качестве примера там всё в порядке.

А я где-то говорил, что первый раз слышу о группах преобразований? По-моему, я уже (или еще?) во втором своем посте в этой теме о них сказал. И даже об их возможной педагогической роли.

Я всего лишь заметил, что не готов согласиться с утверждением, что понятие группы преобразований дает более удачное, глубокое или какое там еще интуитивное понимание идеи группы, чем знание аксиом группы. И указал, что, быть может, не готов с этим согласиться лишь из-за моего малого опыта общения с группами (может быть, и нет, но этот вопрос поддается только экспериментальной проверке). Никак не ожидал на эту свою реплику столь бурной реакции.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #1210595 писал(а):

А я где-то говорил, что первый раз слышу о группах преобразований?

Так я ведь не про вас, меня Арнольд напугал.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1210591 писал(а):

Ну это только в $\mathbb{R}^2$, только ограниченных фигур c центром симметрии в нуле и только ориентированные симметрии.

Потому и "примерно так", что на уровне примеров. На уровне определений было бы "определенно так":))))

-- 18.04.2017, 23:05 --

arseniiv в сообщении #1210596 писал(а):

Так я ведь не про вас, меня Арнольд напугал.

А. Тогда извините.

[arseniiv]

Не за что. Вдогонку:

Anton_Peplov в сообщении #1210595 писал(а):

Я всего лишь заметил, что не готов согласиться с утверждением, что понятие группы преобразований дает более удачное, глубокое или какое там еще интуитивное понимание идеи группы, чем знание аксиом группы.

А я с этим даже не спорил. Я готов спорить только с тем, что не надо приводить группы преобразований примером для группы, но никто этого здесь не утверждал.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #1210598 писал(а):

А я с этим даже не спорил.

А я и не про Вас. Давайте вспомним, как все начиналось.

Mikhail_K в сообщении #1210505 писал(а):

Это так, и тем не менее толкование групп как групп преобразований формирует гораздо более чёткое интуитивное представление о том, что вообще такое группа, чем перечисление аксиом.

Anton_Peplov в сообщении #1210507 писал(а):

Не знаю. Видимо, у нас с Вами разные интуитивные представления. Впрочем, у меня очень мало опыта общения с группами, если не иметь в виду группы "Сплин" и "Оргия праведников". Возможно, дело в этом.

Munin в сообщении #1210515 писал(а):

Anton_Peplov
Почитайте книжки Вавилова, он как раз старается много примеров приводить.

И все заверте...

[amon]

Встрять что ли... Встряну. IMHO, Арнольд не о группах писал (группы - просто не очень удачный, на мой взгляд, пример). Он писал о том, что современная математика стала чем-то напоминать алхимию. Алхимики, что бы хранить свои страшные тайны, придумали особый язык, который понимали только посвященные, и на изучение этого языка времени уходило больше, чем собственно на получение философского камня.

В.Арнольд писал(а):

И точ
но так же, как невозможно объяснить, чем формально отличается настоящая поэзия от риф
моплетства, настоящая матема
тика, если ее не поддерживать,
легко тонет в массовой продукции...

Особенно трудно отличить настоящие
 гениальные стихи от графомании, если поэты пишут на суахили.

Я, как обычный физик средней руки, вместо того, чтобы придумать что-то новое и абсолютно гениальное, как правило где-то что-то тырю, и приделываю это к другому предмету. Казалось (когда это было...), что математика - золотое дно для такой научной клептомании. Так вот, довольно давно я математические работы читать (за очень малым исключением) бросил за бесполезностью этого занятия - надо быть членом цеха Алхимиков Математиков, что бы понять, что там написано, а если потратить кучу усилий, то с вероятностью 99.9% это будет для меня либо бесполезно, либо (сейчас тапки полетят) тривиально. IMHO, Арнольд о чем-то таком.