2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4404
misha.physics в сообщении #1205766 писал(а):
Ведь и те и другие задаються набором $n$ чисел.
Одни наборами чисел задаются (и в зависимости от базиса один и тот же вектор будет задаваться разными наборами), а другие этими наборами являются. Иначе говоря, в первом случае ни один базис никак не выделен, а во втором есть выделенный базис, в котором набор координат вектора является самим вектором.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 22:01 
Заслуженный участник


23/07/08
7195
Харьков
misha.physics в сообщении #1205766 писал(а):
А то я раньше всегда проверял чтобы индексы стояли так чтобы строка первой матрицы умножалась на столбец второй :)
Да, тензорные обозначения дают в этом плане большую свободу, это их преимущество.

В то же время, в тех случаях, когда мне при тензорной записи легко соблюсти ещё и правильный матричный порядок (нижний индекс предыдущего множителя сворачивается с верхним индексом следующего множителя), я его соблюдаю (не ожидая этого от других). Так, чтобы легко, почти автоматически, получалась матричная запись. См. примеры ниже.
misha.physics в сообщении #1205766 писал(а):
Кстати в Рашевском мне не очень понравилось обозначение для матриц прямого и обратного перехода с помощью штрихов над верхним или над нижним индексами. Я у себя обозначаю просто $A^i_k$ и $B^m_n$, а для координат в новой системе использую "тильду".
Тильда и мне нравится больше штриха. А вот остальное, мне кажется, напрасно. Покажу свои любимые обозначения:
$\tilde {\mathbf e}_k=\mathbf e_i P^i{}_{\tilde k} \quad\quad \mathbf e_i=\tilde{\mathbf e}_k P^{\tilde k}{}_i$
И тогда
$P^i{}_{\tilde k}P^{\tilde k}{}_\ell=\delta^i_\ell \quad\quad P^i{}_{\tilde k} P^{\tilde k}{}_{\hat\ell} P^{\hat\ell}{}_m=\delta^i_m$
В последней формуле появляется третья система координат.

Вот какие правила я соблюдаю здесь и всюду, где это возможно (но не требуя этого от других):
$\bullet$ Упомянутая «матричная правильность».
$\bullet$ Векторы обозначены полужирным, чтобы разгрузить формулу от лишних значков.
$\bullet$ Индексы матрицы перехода записаны не друг под другом, а со сдвигом, так, чтобы было ясно, какой первый (номер строки), а какой второй (номер столбца) в матричной форме. Первый-верхний соответствует системе, «из которой», второй-нижний — «в которую» переход, это полезно запомнить.
$\bullet$ Если тильда относится ко всем индексам (как в тензорах), она пишется над буквой тензора. Если к отдельным индексам, то над индексом.
$\bullet$ Каждая индексная буковка закрепляется за своей системой координат, и это соглашение распространяется на все формулы пункта текста.
$\bullet$ Вместо $l$ я использую лучше различимую $\ell$ \ell.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 22:03 
Аватара пользователя


17/03/17
72
Львов
Metford, да об изоморфизме читал.
После сообщения warlock66613 я подумал о таком:
Рассмотрим векторное простраство геометрических векторов ${(\vec a, \vec b ,...)}$.
Рассмотрим векторное простраство упорядоченных наборов из $n$ чисел $(a, b,...)$, где $a=(a_1,...,a_n)$.
До этого момента это определенно разные пространства. Теперь мы в первом прострастве зададим базис, тогда каждый вектор можно рассматривать как набор упорядоченных чисел ${(a_1,...a_n)}$ относительно выбранного базиса. В то время как для второго простраства наборы чисел являются в некотором смысле абсолютными. Хотя я и не уверен что я сейчас правильно понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20824
Уфа
svv в сообщении #1205779 писал(а):
Индексы матрицы перехода записаны не друг под другом, а со сдвигом, так, чтобы было ясно, какой первый (номер строки), а какой второй (номер столбца) в матричной форме.
А помните, мы добавляли «псевдоиндексы» базисов к обозначениям матриц, чтобы они «сворачивались» при их композиции ожидаемым образом? Конечно, получается у каждой по четыре индекса, но зато точно не запутаться!

UPD. Ах да, ну и к обозначениям базисных векторов, конечно. И пояснение для ТС: делалось вот так: пусть у нас есть два базиса, тогда векторы одного из них назовём, скажем, $\mathbf e^{(I)}_i$, а другого — $\mathbf e^{(II)}_i$. Тогда для определения $P^{(I)}_{(II)}$ имеем $$\mathbf e^{(I)}_i = P^{(I)}_i{}_{(II)}^j\mathbf e^{(II)}_j,$$где в обозначении матрицы перехода мы можем сгруппировать вместе индекс и «тип базиса», координаты в котором перебирает этот индекс. Всё остальное получится автоматически: $$x^i_{(II)} = P^{(I)}_j{}_{(II)}^i x^j_{(I)},$$перепутать индексы тут не получится — свёртка не сойдётся.

Хм, да, легковеснее выходит отличать индексы координат в разных базисах штрихами и прочей диакритикой.

UPD2. Или у нас было что-то другое, а я вспомнил неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
4404
misha.physics, ну правильно: указанные пространства изоморфны, а задавая базис вы задаёте тем самым конкретный изоморфизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 22:27 
Аватара пользователя


17/03/17
72
Львов
svv, я сейчас пользуюсь следующей записью (которую и придумал), которая мене пока не запутывала (тоже захотелось поделится :-)):
$\tilde{\vec e}_i=A^k_i \vec e_k$
$\vec e_k=B^i_k \tilde{\vec e}_i$

$AB=E$

$\tilde{a}^{i_1...i_p}_{k_1...k_q}=A^{n_1}_{k_1}...A^{n_q}_{k_q}B^{i_1}_{m_1}...B^{i_p}_{m_p}a^{m_1...m_p}_{n_1...n_q}$
$a^{m_1...m_p}_{n_1...n_q}=B^{k_1}_{n_1}...B^{k_q}_{n_q}A^{m_1}_{i_1}...A^{m_p}_{i_p}\tilde{a}^{i_1...i_p}_{k_1...k_q}$

Причем матрицы определяются так, что верхний индекс обозначает строку а нижний - столбец. То есть коеффициенты разложения базисных векторов надо "транспонировать" и потом уже "вкласть" в матрицу.

На бумаге немного проблематично обозначать векторы полужирным шрифтом :) Я иногда так делаю для операторов (теперь уже и для аффиноров, как я понял из Рашевского, это одно и тоже). Для линейных конечно.

-- 01 апр 2017, 21:49 --

Вот, ёще вспомнил, что мне было не совсем понятно:
Говорится, что для того чтобы рассматривать абсолютный дифференциал тензора поля, нам достаточно чтобы тензорное поле было задано вдоль кривой по которой берется приращение к точке.
А вот чтобы посчитать абсолютную производную, нужно чтобы тензорное поле было задано уже в области, в некоторой окрестности точки в которой эта производная взята. Сейчас у меня есть только идея, что это может быть связано с тем что для производной нам надо, в процессе, вычислять $$\frac{dx^i}{d \tilde{x}^k}$$.
Но не уверен.
А правильно ли что, "эта окрестность" должна вмещать в себе "эту елементарную кривую" вдоль которой береться дифференциал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
misha.physics в сообщении #1205789 писал(а):
svv, я сейчас пользуюсь следующей записью

svv вам не зря советовал упорядочивать индексы многоиндексных символов по порядку. Даже если они идут сверху или снизу поочерёдно. Привычка к этому делу сильно помогает в тензорных выкладках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 23:35 
Аватара пользователя


17/03/17
72
Львов
Munin, наверное я пока не столкнулся с ситуациями где бы это меня запутывало. Хотя уже в операциях поднятия/опускания индексов приходится использовать точки чтобы не запутаться. Может есть и какие-то другие примеры.

Но этот порядок мне пока непонятен. Пусть у нас есть $a^i_k$, опустим верхний индекс. Тогда у нас есть два варианты записи: $a_{ik}$ и $a_{ki}$. Но ми ведь не знаем который индекс считать в $a^i_k$ первым а который вторым. Значит должно быть какое-то соглашение...

Пока понятно, что в случае с метрическим тензором неважно который индекс поднимать, ведь он симметричен.

Может быть я пойму на примере, зачем нам этот порядок.
Имеем $a^{ik}_{mn}$. Поднимаем второй индекс: $g^{ns}a^{ik}_{ms}=?$, вот здесь непонятно что будет означать если мы напишем что это равно $a^{ikn}_m$ или $a^{nik}_m$, то есть чем отличаються эти тензоры и что будет означать если мы выберем какой-то вариант записи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение01.04.2017, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
Такое соглашение есть. И оно в каждом тензоре своё собственное. Когда тензор вводят, тогда и соглашение устанавливают. Это аналогично тому, как когда вы придумываете функцию с многими аргументами, то уточняете смысл каждого из аргументов по отдельности. (Тензор и есть такая функция.)

Вам пока могли встречаться простые примеры тензоров, например, метрический. Метрический тензор симметричен, и в нём не будет проблем от перепутывания первого со вторым индексом. Но есть тензоры, которые от этого меняют знак, а есть такие, которые вообще никакой связи между "нормальным" и "перепутанным" порядком не имеют.

misha.physics в сообщении #1205805 писал(а):
Пусть у нас есть $a^i_k$, опустим верхний индекс. Тогда у нас есть два варианты записи: $a_{ik}$ и $a_{ki}$.

Обычно так: пусть у нас есть $a^i{}_k.$ Опустим верхний индекс: получится $a_{ik}.$ Другого варианта получиться не может.
Если же у нас изначально был $a_k{}^i,$ то при опускании верхнего индекса получится заведомо $a_{ki}.$
То есть, порядок индексов устанавливают ещё тогда, когда индексы "стоят на разных этажах".

А полный цикл "индексной гимнастики" для одного тензора выглядит так: $a^i{}_k\leftrightarrow a_{ik}\leftrightarrow a_i{}^k\leftrightarrow a^{ik}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение02.04.2017, 00:36 
Аватара пользователя


17/03/17
72
Львов
Сейчас я вижу такую потенциальную проблему. Например нам дан $a^{ik}_{mn}$. Пусть мы по первому и второму нижних индексах произвели альтернирование. Теперь поднимаем второй нижний индекс, например мы запишем $a^{nik}_m$ или $a^{ikn}_m$. Да, теперь мы уже не можем сказать что альтернированные индексы у нас первый и второй нижние. Для того чтобы такое было возможно нам надо сразу ввести единую нумерацию как верхних так и нижних индексов. Но если мы например будем указывать не порядок альтернированых индексов а явно называть их, в нашем случае: альтернирование совершено по индексам $m$ и $n$. Значит ли это что отпадает необходимось в единой нумерации?

Или, вот в чем здесь дело: если $a^i_k$ мы понимаем как матрицу, где верхний индекс строка, а нижний - столбец. То при поднятии индекса мы должны получить $a^{ik}$, где первый индекс - строка, второй - столбец? Это если мы так договоримся... Вообщем, чем больше узнаю нового тем больше возникает вопросов :) И это, как я думаю, конечно хорошо :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение02.04.2017, 00:38 
Заслуженный участник


06/04/13
1534
Москва
misha.physics
Нередко при выполнении альтернирования соответствующие индексы заключают в квадратные скобки. А вообще, в сложных случаях лучше просто лишний раз явно прописать, что именно понимается в используемой записи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение02.04.2017, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20824
Уфа

(Оффтоп)

Кстати, по-моему, все эти скобочки и запятушечки (для дифференцирования) вокруг-между индексами — не менее гениальная вещь, чем «основное» (суммирование по немым индексам, верхние и нижние). Кто их придумал? Третью замечательную вещь — что их можно понимать все формально, не думая о компонентах вообще — уже, вроде, осветил Пенроуз (не верю, что раньше не додумались).

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение02.04.2017, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/11/17
63897
misha.physics в сообщении #1205815 писал(а):
Но если мы например будем указывать не порядок альтернированых индексов а явно называть их, в нашем случае: альтернирование совершено по индексам $m$ и $n$. Значит ли это что отпадает необходимось в единой нумерации?

Вот названия индексов обычно никакой роли не играют. Их переименовывают для удобства как угодно.

А симметризацию и антисимметризацию обычно записывают так: $a_{(mn)}{}^{ik},a_{[mn]}{}^{ik}.$ Да, вы правы, что если поднять один из индексов, то этого уже не будет явно видно. Однако такие индексы обычно удобно держать "на одном уровне". Кстати, если их оба поднять, то симметричность/антисимметричность восстановится (проверьте).

-- 02.04.2017 00:56:22 --

Запятые приняты в ОТО, но в других областях часто приняты другие обозначения. Самые неудобные - в учебниках ДУЧП/УМФ, где штрихов вообще не ставят, $u_{xx}$ - вторая производная от $u.$ Самые удобные - в книжках по теории поля, где пишут префикс $\partial_i$ для частной производной, и $D_i$ - для ковариантной (можно и $\nabla_i$ при желании). Префиксы позволяют производную, как оператор, оторвать от функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение02.04.2017, 01:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
20824
Уфа
Munin в сообщении #1205819 писал(а):
Да, вы правы, что если поднять один из индексов, то этого уже не будет явно видно.
А разве можно альтернировать/симметризовать по разновариантным индексам? Получается же бессмысленный результат. Я не против формальных сумм, но не видно, кому бы понадобилась вот такая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальные формы в физике
Сообщение02.04.2017, 01:19 
Аватара пользователя


17/03/17
72
Львов
Мне почему-то тяжело сформулировать главный вопрос который меня сейчас волнует, и поэтому я пробую снова и снова.
Пусть нам задан $a^{ik}_{mn}$. Это какой-то геометрический или физический обьект. Я понимаю, что если нам задан $a^{ik}_{mn}$, то $a^{ki}_{mn}$ это уже какой-то другой обьект, хотя совокупность координат у них одинакова, но здесь мы совершили подстановку индексов.
Пусть теперь нам задан тот же $a^{ik}_{mn}$. Поднимем второй нижний индекс. Запишем всевозможные обозначения: $a^{nik}_{m}$, $a^{ink}_{m}$, $a^{ikn}_{m}$.
Я не понимаю как отсюда выбрать тот обьект, который соответствует исходному $a^{ik}_{mn}$ у которого мы подняли индекс.
Пусть например мы ввели единую нумерацию и имеем: $a^{ik..}_{..mn}$. Тогда после поднятия второго нижнего индекса имеем $a^{ik.n}_{..m.}$. Два последних обьекта это один и тот же обьект, или разные но соответствующие друг другу? Конечно разные, говорю я себе, так как у них различные строения. Но что-то здесь меня беспокоит. Мы как бы искусственно вводим эту единую нумерацию. И я почему-то думаю что надо считать $a^{nik}_{m}$, $a^{ink}_{m}$, $a^{ikn}_{m}$ в каком-то смысле одинаковыми.
То есть одинаково возможними пока ми не ввели эту единую нумерацию. Но зачем ёе вводить то, задаю я себе вопрос.

Вот если бы мы всегда когда поднимаем любой нижний индекс, дописывали бы его наверху в самом конце или вначале, мы ведь получили бы какой-то обьект, который соответствует исходному. Вот здесь я думаю ближе к тому что имею ввиду.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 111 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group