Опять про элементарные функции

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1196736 писал(а):

Выражение $0.(1)$ (это тоже десятичная дробь) имеет такую же точность, как и $\frac19$.

Да. А это Вы к чему?

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1196737 писал(а):

Да. А это Вы к чему?

Это я к тому, что точное десятичное представление рационального числа можно получить за конечное число операций. (В том сообщении Вы утверждали, что число операций неограниченно растёт вместе с требуемой точностью для десятичных представлений рациональных чисел.)

[Anton_Peplov]

Я не имел в виду, что для какого-то рационального числа вычисление его десятичного представления требует бесконечного числа шагов. Я имел в виду, что для любого наперед взятого натурального $n$ между любыми двумя $a \ne b$ найдется рациональное число, у которого будет не менее $n$ знаков после запятой. То есть для функции, принимающей значения из всего $\mathbb Q \cap[a, b]$, на вопрос, сколько десятичных знаков бывает у ее значений, ответ "сколько угодно".

[Dmitriy40]

warlock66613 в сообщении #1196694 писал(а):

Мне думается, лёгкость или трудность вычисления — это ложный путь.

Я тоже согласен с этим. Есть много полезных и очень просто вычисляемых функций (знак числа, целая и дробные части, факториал, битовые операции, ...), которые тем не менее к элементарным не причисляются.
Кроме того, от смены основания системы счисления кажется может меняться сложность вычисления функций, например взяв основанием $\sqrt{2}$ получим простое и абсолютно точное представление и всех рациональных чисел (как следствие обычной двоичной системы) и некоторых иррациональных. Взяв основанием $e^1$ резко упростим вычисление натурального логарифма (усложнив всё остальное). И т.д. Так что это не путь.

[Someone]

Munin в сообщении #1196667 писал(а):

Э нет. Рациональные степени, а тем более иррациональные, - не происходят.

Да ладно Вам. Путь

умножение и деление → степени с натуральным показателем → степени с целым показателем →
→ корни → степени с рациональным показателем → степени с действительным показателем

я проходил ещё в школе, по школьному учебнику. Подробно. В обычной средней школе города Северодвинска.

Munin в сообщении #1196667 писал(а):

С показательной и логарифмом - тем более.

Господь с Вами! Если у нас есть степень $a^b$, то, заменяя $a$ на $x$, получаем степенную функцию $x^b$, а заменяя $b$ на $x$ — показательную функцию $a^x$.
Что касается логарифмов, то таблица (почти) натуральных логарифмов элементарно составляется последовательным умножением. Переход к другому основанию также сводится к умножению (или делению). И вообще, таблица логарифмов с основанием $a$ — это таблица степеней числа $a$, прочитанная "наоборот".
Не говоря уже о том, что возникли они исключительно с целью упрощения умножения и деления.

Munin в сообщении #1196722 писал(а):

Если оправдывать элементарные функции исторически

Недостаточно того, что это были первые функции, явно или неявно использовавшиеся человечеством?

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1196743 писал(а):

То есть для функции, принимающей значения из всего $\mathbb Q \cap[a, b]$, на вопрос, сколько десятичных знаков бывает у ее значений, ответ "сколько угодно".

В таком случае я затрудняюсь понять общую мысль утверждения:

Anton_Peplov в сообщении #1196731 писал(а):

Из всего $\mathbb Q$, впрочем, тоже, если выражать результат в десятичных дробях. А если в обыкновенных, то придется переделывать всю систему единиц измерения и приборов. Да и людям придется научиться сравнивать в уме обыкновенные дроби, что для дробей с большими знаменателями зачастую нетривиально.

Не могу понять, чем Вам не угодили десятичные дроби по сравнению с обыкновенными (см. моё выделение в цитате). Каждое число по отдельности и так и так записывается в конечном виде. А на любом отрезке обыкновенные дроби тоже будут иметь неограниченно большие знаменатели.

[Anton_Peplov]

Мысль моя обиделась на попытку сформулировать ее строго и ушла. Пока она не появится вновь, беру рассуждения о преимуществах обыкновенных дробей обратно. Но тогда мой основной тезис - что любая функция, принимающая значения хотя бы на всем $\mathbb Q \cap [a, b]$, для вычислений с произвольной точностью может потребовать произвольного числа итераций - становится только сильнее.

[Munin]

Someone в сообщении #1196748 писал(а):

Munin в сообщении #1196667 писал(а):

Э нет. Рациональные степени, а тем более иррациональные, - не происходят.

Да ладно Вам. Путь

умножение и деление → степени с натуральным показателем → степени с целым показателем →
→ корни → степени с рациональным показателем → степени с действительным показателем

я проходил ещё в школе, по школьному учебнику. Подробно. В обычной средней школе города Северодвинска.

Угу. Но сейчас вы намного более грамотны. И можете сами навскидку сказать, где в этом пути:
- используется переход к обратной функции;
- используется предельный переход;
- используется выбор одного из возможных значений многозначной функции, просто по соглашению;
- предельный переход использовать невозможно...
Это я и называю "не происходят". То есть, перечисленных вами средств - недостаточно.

Someone в сообщении #1196748 писал(а):

Господь с Вами! Если у нас есть степень $a^b$, то, заменяя $a$ на $x$, получаем степенную функцию $x^b$, а заменяя $b$ на $x$ — показательную функцию $a^x$.

Опять-таки, если. Как я уже сказал, действительный показатель так просто не получается. И даже после этого, логарифм требует обратной функции.

Someone в сообщении #1196748 писал(а):

Недостаточно того, что это были первые функции, явно или неявно использовавшиеся человечеством?

Ну как вам сказать... Я думаю, корень семнадцатой степени к таким функциям отнести трудно. С другой стороны, если брать первые функции, использовавшиеся человечеством, да ещё и "неявно", то можно найти и какие-нибудь античные "замечательные кривые", которые в ваш список не входят. Да что далеко ходить, как насчёт длины эллипса?

Напомню:

Munin в сообщении #571054 писал(а):

Ales в сообщении #570992 писал(а):

Первым изобрести логарифмы должен был Меркатор (1512 - 1594), ведь его карта вычисляется через логарифмы.


Ну, тогда - моллюски с раковиной в виде логарифмической спирали. Поздний Кембрий. 500 млн лет назад.

[Someone]

Munin в сообщении #1196763 писал(а):

И можете сами навскидку сказать, где в этом пути: …

Да неважно, где. Речь идёт об историческом происхождении, а не о доказательствах на современном уровне строгости. Вы ещё пожелайте довести всё до аксиом математической логики и теории множеств.

Не нужны там ни обратные функции, ни пределы. Можно обойтись вообще без термина "функция". Вместо пределов достаточно элементарных оценок, показывающих, что искомое значение можно "зажать" между двумя сколь угодно близкими рациональными числами. Введение понятия предела и аккуратное определение действительного числа — дело гораздо более позднее.

[Munin]

Someone в сообщении #1196772 писал(а):

Да неважно, где.

Верно, не важно, где, важно, что это вообще есть.

Someone в сообщении #1196772 писал(а):

Речь идёт об историческом происхождении

Я, вроде, чётко сказал, что мой вопрос касается не исторического происхождения, а оправданности в современном контексте.

Someone в сообщении #1196772 писал(а):

Вместо пределов достаточно элементарных оценок, показывающих, что искомое значение можно "зажать" между двумя сколь угодно близкими рациональными числами.

Ну то есть, топология. Пределам это эквивалентно.

[Someone]

Munin в сообщении #1196773 писал(а):

Я, вроде, чётко сказал, что мой вопрос касается не исторического происхождения, а оправданности в современном контексте.

Дык, обсуждалось-то происхождение.

Munin в сообщении #1196773 писал(а):

Ну то есть, топология. Пределам это эквивалентно.

А топология появилась ещё позже.

Мне вообще непонятно, с чего Вы прицепились к элементарным функциям. Ну есть такой класс функций. Минимальный класс, обслуживающий, так сказать, арифметические и геометрические потребности древней математики. Ещё доньютоновского периода. Мало ли, какие есть классы функций. Если ваши потребности этим классом не удовлетворяются, ради бога, пользуйтесь другими функциями.

[Munin]

Someone в сообщении #1196779 писал(а):

Дык, обсуждалось-то происхождение.

Извините, где?

Someone в сообщении #1196779 писал(а):

Мне вообще непонятно, с чего Вы прицепились к элементарным функциям. Ну есть такой класс функций.

А с чего он в учебники попал, и там изучается?

[Lia]

Оффтоп про длину эллипса отделен насмерть в «Эллиптический юмор». Просьба избегать такого сорта юмора в учебном разделе. По понятным причинам.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1196832 писал(а):

А с чего он в учебники попал, и там изучается?

Любопытно было бы проделать такую работу. Берем стопку учебников физики - скажем, полный курс ЛЛ. Раздербаниваем все формулы на предмет того, из каких функций они составлены с помощью суперпозиции и арифметических операций. Составляем рейтинг получившихся функций по частоте упоминания. Интересно, какое место займет $x^n$, какое $e^x$, какое синусы-косинусы, какое логарифмы? Понятно, что никто такую работу делать не будет (я не буду, во всяком случае). Но интуитивный, субъективный прогноз у кого-нибудь есть?

[Someone]

Munin в сообщении #1196832 писал(а):

А с чего он в учебники попал, и там изучается?

Вы ему завидуете, что-ли?

А какой класс функций Вы порекомендуете для изучения вместо элементарных? В школе, в технических ВУЗах? Элементарные функции совсем изучать не будем, только указанный Вами класс. Надеюсь, ни одной элементарной функции в нём не будет.

Munin в сообщении #1196832 писал(а):

Извините, где?

Собственно, сначала обсуждалось само понятие элементарной функции. Потом речь зашла о происхождении. Вопрос "чем интересен этот класс" мне непонятен: эти функции возникают чуть ли не насильно и лезут во все щели, и обойти их никак нельзя. Я не представляю, как можно было бы изучать какие-нибудь эллиптические функции или функции Бесселя, не имея понятия об элементарных функциях.

Anton_Peplov в сообщении #1196898 писал(а):

Интересно, какое место займет $x^n$, какое $e^x$, какое синусы-косинусы, какое логарифмы? Понятно, что никто такую работу делать не будет (я не буду, во всяком случае). Но интуитивный, субъективный прогноз у кого-нибудь есть?

Какое место займёт та или иная функция не знаю. Скорее всего это будут сложение и умножение, хоть это и не функции. А неэлементарные функции там надо искать очень старательно, хотя, скорее всего, что-нибудь найдётся.