Опять про элементарные функции

[Aritaborian]

Someone в сообщении #1196620 писал(а):

Нет там никакой закавыки

И ведь прекрасно это знал Видимо, у меня тоже немножко «сбилось».

[Someone]

Munin в сообщении #1196551 писал(а):

Someone
В любом случае, вы можете объяснить, чем интересен такой класс функций?

Степени происходят из операций умножения и деления. Соответственно, они дают степенную и показательную функцию. Логарифм происходит от показательной функции. Эти функции обслуживают вычислительные потребности.
Тригонометрические функции и обратные им обслуживают геометрию.
Замыкание этого набора функций относительно арифметических операций и суперпозиции даёт естественно возникающий класс элементарных функций.
Дальнейшие расширения связаны с последующим развитием математики.

[g______d]

Someone в сообщении #1196631 писал(а):

Степени происходят из операций умножения и деления. Соответственно, они дают степенную и показательную функцию. Логарифм происходит от показательной функции. Эти функции обслуживают вычислительные потребности.
Тригонометрические функции и обратные им обслуживают геометрию.
Замыкание этого набора функций относительно арифметических операций и суперпозиции даёт естественно возникающий класс элементарных функций.

Мне всегда было удобнее думать, что элементарные функции -- это комплексные логарифм и экспонента, константы, и то, что можно из них получить с помощью элементарных арифметических операций. Корни и тригонометрия будут уже следствием.

[Someone]

g______d в сообщении #1196634 писал(а):

Мне всегда было удобнее думать, что элементарные функции -- это комплексные логарифм и экспонента, константы, и то, что можно из них получить с помощью элементарных арифметических операций. Корни и тригонометрия будут уже следствием.

Да, в ТФКП это так. Но речь идёт о математическом анализе исключительно в области действительных чисел.

[warlock66613]

g______d в сообщении #1196627 писал(а):

"решить уравнение в квадратурах" означает "свести ответ к конечному числу интегралов от элементарных функций"

А может к конечному числу интегралов от элементарных функций и от функций, использовавшихся в самом уравнении? Гипотетический пример:

Решить в квадратурах уравнение $\frac {dy} {dx}=J_0(x)$, где $J_0(x)$ — функция Бесселя. Ответ: $y=\int J_0(x) dx + C$.

[Munin]

Someone в сообщении #1196631 писал(а):

Степени происходят из операций умножения и деления.

Э нет. Рациональные степени, а тем более иррациональные, - не происходят.

С показательной и логарифмом - тем более.

Someone в сообщении #1196631 писал(а):

Эти функции обслуживают вычислительные потребности.

Очень плохо они это делают, если их самих можно вычислить только за бесконечное число шагов.

g______d в сообщении #1196634 писал(а):

Мне всегда было удобнее думать, что элементарные функции -- это комплексные логарифм и экспонента, константы, и то, что можно из них получить с помощью элементарных арифметических операций.

Композицию забыли. А это очень много.

[reptiloid]

Вообще, почему все думают, что уравнения вида

Цитата:

полином = тригонометрия/логарифм/экспонента

- не решаются в терминах этих же функций?

[g______d]

Munin в сообщении #1196667 писал(а):

Композицию забыли. А это очень много.

Да, забыл, хотя и подразумевал (потому что даже для $\sqrt{z}$ нужна композиция).

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1196667 писал(а):

Очень плохо они это делают, если их самих можно вычислить только за бесконечное число шагов.

С любой наперед заданной точностью - за конечное. А с бесконечной точностью - это нужно кому и для чего? Ну вычислили мы, что в проектируемом удаве должно быть точно $38 e^{17/18} \sin \ln \sqrt 2$ попугаев. И какой линейкой мы будем отмерять иррациональное число попугаев, заданное с бесконечной точностью?

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1196675 писал(а):

С любой наперед заданной точностью - за конечное.

Неограниченно растущее вместе с точностью.

[Aritaborian]

reptiloid в сообщении #1196670 писал(а):

Вообще, почему все думают, что уравнения вида

Цитата:

полином = тригонометрия/логарифм/экспонента

- не решаются в терминах этих же функций?

Ну решите мне уравнение $\cos x = x$.

Anton_Peplov в сообщении #1196675 писал(а):

Ну вычислили мы, что в проектируемом удаве должно быть точно $38 e^{17/18} \sin \ln \sqrt 2$ попугаев.

Это $\approx 33{,}1907$, если вдруг кому-то интересно ;-D

[warlock66613]

Мне думается, лёгкость или трудность вычисления — это ложный путь. Ведь действительно, нет большого практического смысла в выражениях вроде $38 e^{17/18} \sin \ln \sqrt 2$. Элементарные функции интересны скорее именно как функции: у них много свойств, полезных для проведения выкладок, для них легко («устно») строится график, находятся асимптоты. То есть их преимущество скорее не в вычислении их значений, а в сравнительной лёгкости качественного анализа.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1196694 писал(а):

Мне думается, лёгкость или трудность вычисления — это ложный путь.

Ну, он исторический. Если оправдывать элементарные функции исторически, то исторические факты надо не замалчивать.

warlock66613 в сообщении #1196694 писал(а):

Элементарные функции интересны скорее именно как функции: у них много свойств, полезных для проведения выкладок

Дело в том, что и у многих других - много. Например, знаете, какие полезные свойства есть у эллиптических функций?

warlock66613 в сообщении #1196694 писал(а):

для них легко («устно») строится график

Скорее, это вы подразумеваете "исходные" элементарные функции: показательную/логарифмическую и тригонометрические. И то, только по той причине, что вас этим графикам натренировали ещё в школе.

А чего-нибудь посложнее, типа $\ln(x+\sqrt[3]{x^2-1})$ - и боюсь, вы уже призадумаетесь.

warlock66613 в сообщении #1196694 писал(а):

...находятся асимптоты. То есть их преимущество скорее не в вычислении их значений, а в сравнительной лёгкости качественного анализа.

Исключительно потому, что вы натренированы проводить с ними выкладки. А с другими - не натренированы. А кто-то натренирован с интегральными синусами и косинусами, и для него они - "устные", и легко качественно анализируются. И что? Все ваши аргументы расплываются.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1196686 писал(а):

Неограниченно растущее вместе с точностью.

Да. По-моему, это плата за то, что функции принимают значения из всего $\mathbb R$. Было бы странно потребовать в ответе большее число знаков и при этом надеяться не увеличить число итераций при вычислении. Любые другие функции, принимающие значения из всего $\mathbb R$, будут страдать тем же пороком. Из всего $\mathbb Q$, впрочем, тоже, если выражать результат в десятичных дробях. А если в обыкновенных, то придется переделывать всю систему единиц измерения и приборов. Да и людям придется научиться сравнивать в уме обыкновенные дроби, что для дробей с большими знаменателями зачастую нетривиально.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1196731 писал(а):

Из всего $\mathbb Q$, впрочем, тоже, если выражать результат в десятичных дробях.

Выражение $0.(1)$ (это тоже десятичная дробь) имеет такую же точность, как и $\frac19$.