Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[Mihr]

DVN в сообщении #976245 писал(а):

Так же. Только для бесконечности нужно быть аккуратным, доказать, что элементы одни и те же. А для этого недостаточно построить взаимооднозначное отображение.

А речь как раз и идёт о том, что в случае, когда шары извлекаются подряд, без пропусков, множество положенных шаров и множество изъятых состоят из одних и тех же элементов (из всех натуральных чисел, если отождествить шар с его номером).

atlakatl в сообщении #976249 писал(а):

Ваше мистическое выделение о чём говорит? Условия задачи могут быть некорректно поставлены. Типа: Где будет черепаха, когда Ахиллес добежит до бесконечности?

atlakatl,
здесь обсуждается именно та задача, которую предложил ТС. Предложите свою - будет обсуждаться Ваша. Если, конечно, она кого-то заинтересует. И, кстати, что такое "мистическое выделение"?
По условию этой задачи, когда Ахиллес добежит до бесконечности, Черепаха будет там же, где и Ахиллес. А именно - в бесконечности.

[iifat]

DVN в сообщении #976258 писал(а):

Доказывается, что нечто существует

Публика затаила дыхание. Доказывайте.

[sup]

Mihr в сообщении #976261 писал(а):

По условию этой задачи, когда Ахиллес добежит до бесконечности, Черепаха будет там же, где и Ахиллес. А именно - в бесконечности.

Хм, вспоминается одна статейка, которая вроде бы называлась "Хождение за три бесконечности". И там обсуждалось следующее любопытное "определение":
Бесконечно большим числом называется такое число, которое бесконечно больше любого другого.
Черепаху спрашивать бесполезно, а вот у Ахиллеса можно было бы поинтересоваться, что он по этому поводу думает.

Здесь это оффтоп, но я не удержусь и выложу одну замечательную задачу, которая наверняка привлечет внимание всех настоящих любителей математики.

В. Ерофеев писал(а):

Два поросенка пробегают за час восемь верст.
Сколько поросят пробегут за час одну версту?

Вот где настоящий вызов разуму. Не то что пересчитывать шары.

[Aritaborian]

atlakatl в сообщении #976217 писал(а):

А может ли кто-нибудь предоставить скачиваемую ссылку книги Литлвуда или привести сабжевый отрывок из неё?

Дж. Литлвуд, «Математическая смесь», 5 издание. М., «Наука», 1990. Стр. 9.

[DVN]

Mihr в сообщении #976261 писал(а):

А речь как раз и идёт о том, что в случае, когда шары извлекаются подряд, без пропусков, множество положенных шаров и множество изъятых состоят из одних и тех же элементов (из всех натуральных чисел, если отождествить шар с его номером).

А как все-таки быть с пределом? Допустим, мы в момент времени кладем в ящик 9 шаров. Число шаров в ящике в разные моменты составляет бесконечную последовательность 0, 9, 18,27... Предел этой последовательности (число шаров в полдень) "плюс бесконечность".
Затем мы в момент времени кладем в ящик 10 шаров и 1 забираем. Число шаров в ящике в разные моменты составляет бесконечную последовательность 0, 9, 18,27... Предел этой последовательности (число шаров в полдень)- 0 .
Так как правильно считать предел?

[Mihr]

sup в сообщении #976266 писал(а):

Здесь это оффтоп, но я не удержусь и выложу одну замечательную задачу, которая наверняка привлечет внимание всех настоящих любителей математики.

В. Ерофеев
писал(а):
Два поросенка пробегают за час восемь верст.
Сколько поросят пробегут за час одну версту?

Вот где настоящий вызов разуму. Не то что пересчитывать шары.

Ну, что ж, примите вызов, предъявите решение. А мы Вам поаплодируем.

DVN в сообщении #976271 писал(а):

Так как правильно считать предел?

Считайте так:
0, 9, 18, 27, ... , 0

[AGu]

Ребяты, умные, хорошие, со всем уважением к вашей математической заинтересованности, братцы, вы маетесь дурью.
Математикам уже даже не смешно, а откровенно больно видеть происходящее здесь.
Ведь стоит дать математические определения всем упоминаемым тут понятиям, как «парадокс» мгновенно исчезает и все вопросы становятся тривиальными.
Участники этой, мягко говоря, странной дискусии, кажется, сами понимают, что дискуссия давно покинула область математики.
Может быть, тогда и этой теме тоже пора перенестись куда-нибудь подальше от математического раздела, а?
Я не настаиваю, но настоятельно предлагаю. Ибо дурь это все, феерическая дурь.

[DVN]

Mihr в сообщении #976277 писал(а):

Считайте так:
0, 9, 18, 27, ... , 0

Не, я буду считать, как в школе учили.
Как я понимаю парадокс бесконечности:
Пусть в ящике лежат красные шары, пронумерованные "всеми" натуральными числами, и синие, пронумерованые "всеми" квадратами. Берем шары из ящика по времени Литлвуда, за раз берем красный и синий с самыми младшими номерами. В полдень ящик пуст. Тут я спорить не буду, хоть множество квадратов есть подмножество натуральных чисел.
Нечто похожее своей задачей хотел продемонстрировать Литлвуд, но перемудрил с формулировкой, нестыковки так и прут.
На этом заканчиваю дозволенные речи, хто хотел, тот понял.

[tolstopuz]

Кстати, о математическом определении.

1. Запишем индикаторную функцию $I_i(t)$ нахождения $i$-го шара в ящике в момент времени $t$. Это легко делается, например, через функцию Хевисайда, детали расписывать лень, но если попросите, могу. Определена эта индикаторная функция, очевидно, на всей числовой прямой. Ее график выглядит как прямоугольный импульс высотой 1, начинающийся и заканчивающийся до полудня.

2. Заметим, что в каждый фиксированный момент времени $t$ значения $I_i(t)$ отличны от нуля только при конечном числе $i$. Это означает, что сумма $\sum_i I_i(t)$ корректно определена и конечна на всей числовой прямой.

3. Осталось нарисовать график этой суммы, чтобы наглядно представить себе зависимость числа шаров в ящике от времени. График в том числе даст наглядный ответ о количестве шаров в ящике в полдень.

[iifat]

DVN в сообщении #976304 писал(а):

Нечто похожее своей задачей хотел продемонстрировать Литлвуд, но перемудрил с формулировкой, нестыковки так и прут

Кажется, нас почтил своим присутствием человек, знающий, чего хотел Литтлвуд и достаточно мудрый, чтоб свысока его поправлять. Вы чувствуете на себе мой почтительный взгляд? Как — нет!?

[arseniiv]

DVN в сообщении #976251 писал(а):

arseniiv в сообщении #976100 писал(а):

DVN в сообщении #976058 писал(а):

Имелось в виду, что сначала сильно отстающая черепаха затем должна бежать быстрее Ахиллеса, чтобы его догнать.

Вот это и неверно. Тем более что если несобственную точку к множеству положений Ахиллеса/черепахи не подсоединять, она его и не догонит. А если её приделать, то задача ведь о поведении в ней всё равно ничего не говорит! Придётся ввести дополнительное условие: например, «в полдень значение таких-то величин совпадает с пределами таких-то последовательностей». А пределы могут и не существовать (и условие тогда лучше не вводить — только противоречие получим)…

Не совсем понимаю, о какой несобственной точке идет речь и почему в ней значение должно быть "пусто", а не "плюс бесконечность".
И о пределах. Число шаров в ящике в разные моменты составляет бесконечную последовательность 0, 9, 18,27... Если я ничего не попутал, предел этой последовательности "плюс бесконечность". Для любого числа можно указать элемент последовательности, начиная с которого все элементы будут больше этого числа, так вроде бы в школе учили. Как у вас ноль получается, вы наверное в другой школе учились.

Где пусто, какой ноль? Я перечитал свою цитату и ничего этого в ней не нашёл, потому ответить вам не могу.

Несобственная точка — это та «бесконечная».

-- Вт фев 10, 2015 21:24:13 --

AGu в сообщении #976301 писал(а):

Участники этой, мягко говоря, странной дискусии, кажется, сами понимают, что дискуссия давно покинула область математики.

Угу.

-- Вт фев 10, 2015 21:27:56 --

atlakatl в сообщении #976362 писал(а):

Есть два счётных множества. Между ними всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие. Значит, их разность равна нулю.

Конечно! $\mathbb N\setminus2\mathbb N = \varnothing \Rightarrow 1\in\varnothing$.

[AGu]

Ох... ну и развели тут... на пустом месте...

Итак, нужно придать математический смысл ситуации, описанной в парадоксе, и прояснить его суть.
Парадокс заключается в наличии двух разных ответов на поставленный вопрос («0» и «бесконечно много»), причем каждый из этих ответов имеет вполне разумное обоснование («0», так как каждый шар будет вынут до полудня; «бесконечно много», так как количество шаров с каждым моментом увеличивается).

Пусть $S_n\subseteq\mathbb N$ — множество чисел (шаров), находящися в ящике за $1/n$ минуты до полудня.
По условию мы имеем $S_n=\{n+1,\dots,10n\}$.
Спрашивается: сколько шаров будет в ящике в полдень?

Содержимое ящика описано лишь для моментов, предшествующих полудню.
На каком основании можно сделать вывод о содержимом ящика в полдень?
Мы привыкли к непрерывности реальных процессов, а значит, вполне естественным представляется предположение о том, что содержимое ящика в полдень является в том или ином смысле пределом его содержимого в моменты, предшествующие полудню.
Стало быть — математически — поставленный вопрос сводится к поиску количества элементов предела $S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$.

Количество элементов $|S|$ множества $S$ — это мощность, понятие классическое и всем хорошо известное.
Предел последовательности множеств — понятие тоже не экзотическое, но менее известное и поэтому нуждающееся в уточнении.
Итак, какой смысл было бы разумно придать фразе «множество $S\subseteq\mathbb N$ является пределом последовательности множеств $S_n\subseteq\mathbb N$»?

В силу привычной нам непрерывности реальных процессов представляются естественными следующие два предположения:

если шар оказался в ящике до полудня и больше до полудня ящик не покидал, то этот шар останется в ящике и в полдень;
если же шар покинул ящик до полудня и больше до полудня в ящике не появлялся, то этого шара не будет в ящике и в полдень.

На формальном уровне эти соображения приводят к следующему определению.

Последовательность множеств $S_n\subseteq\mathbb N$ имеет предел (и этот предел равен множеству $S\subseteq\mathbb N$)
тогда и только тогда, когда для каждого числа $m\in\mathbb N$ верно следующее:

либо существует номер $N$ такой, что $m\in S_n$ для всех $n\geqslant N$ (и тогда $m\in S$),
либо существует номер $N$ такой, что $m\notin S_n$ для всех $n\geqslant N$ (и тогда $m\notin S$).

Это классическое понятие предела последовательности множеств.
(Такой предел еще называют порядковым. Его равносильное определение уже возникало в этой теме.)
В переводе на язык характеристических функций (индикаторов) оно совпадает с понятием поточечного предела.

Коль скоро упоминаемые понятия получили математические определения, можно вернуться к поставленной задаче.
Надеюсь, теперь любому из нас хватит нескольких секунд, чтобы понять, что последовательность $S_n=\{n+1,\dots,10n\}$ имеет предел и что этот предел равен пустому множеству.
Стало быть, чисто математически, ответ на поставленный вопрос — «0».

Почему же тогда ситуация кажется парадоксальной и ответ «бесконечно много» тоже кажется разумным?
По очень простой причиние: с одной стороны, $S_n\to\varnothing$, а с другой стороны, $|S_n|\to\infty$ (точнее, $|S_n|\to\omega$).
Вот и весь «парадокс». Как можно его понять и как можно с ним «смириться»?
Просто-напросто функция $|{\cdot}|$, сопоставляющая множествам их мощность, не коммутирует с пределом:

$\Bigl|\lim\limits_{n\to\infty}S_n\Bigr| \ne \lim\limits_{n\to\infty}|S_n|$,

а именно,

$\Bigl|\lim\limits_{n\to\infty}S_n\Bigr| = |\varnothing| = 0 \ne \infty = \lim\limits_{n\to\infty}(10n-n) = \lim\limits_{n\to\infty}|S_n|.$

Рискуя быть непонятым, употреблю еще несколько «ученых слов»: функция мощности разрывна относительно порядковой топологии. Если порядковая топология отражает непрерывность реальных процессов, то функция мощности ее не отражает, она разрывна и ее поведение способно удивить нас, привыкших к «непрерывной реальности».

[upgrade]

я с шарами ответ совсем не понял, операции то одновременно две (не только вынимание шара из ящика, но и вложение шаров в ящик) - да, любое названное число будет вынуто из ящика, но в момент вынимания всегда найдётся шар, который будет вложен в ящик да при том не один. разве нет?
нумерация - это же искусственное внесение, можно шары пронумеровать всего двумя номерами и класть и вынимать их поочередно, и тогда в ящике всегда будет находиться хотя бы один шар с вынимаемым номером.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Тема начиналась как легкий мазохизм, а превратилась в жесточайшее порно. С чего бы это.

AGu в сообщении #976301 писал(а):

Ребяты, умные, хорошие, со всем уважением к вашей математической заинтересованности, братцы, вы маетесь дурью.
Математикам уже даже не смешно, а откровенно больно видеть происходящее здесь.
Ведь стоит дать математические определения всем упоминаемым тут понятиям, как «парадокс» мгновенно исчезает и все вопросы становятся тривиальными.
Участники этой, мягко говоря, странной дискусии, кажется, сами понимают, что дискуссия давно покинула область математики.
Может быть, тогда и этой теме тоже пора перенестись куда-нибудь подальше от математического раздела, а?
Я не настаиваю, но настоятельно предлагаю. Ибо дурь это все, феерическая дурь.

$+\infty$

[DVN]

to AGu
Спасибо за разъяснения.
Остается только объяснить, почему фраза "сколько шаров будет в ящике в полдень?" на математический язык переводится
"найти предел последовательности множеств" и ни в коем случае нельзя перевести "найти предел мощности последовательности множеств"? Ведь вопрос "сколько" подразумевает количество, что для множеств и есть мощность.