Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[arseniiv]

DVN в сообщении #976058 писал(а):

Имелось в виду, что сначала сильно отстающая черепаха затем должна бежать быстрее Ахиллеса, чтобы его догнать.

Вот это и неверно. Тем более что если несобственную точку к множеству положений Ахиллеса/черепахи не подсоединять, она его и не догонит. А если её приделать, то задача ведь о поведении в ней всё равно ничего не говорит! Придётся ввести дополнительное условие: например, «в полдень значение таких-то величин совпадает с пределами таких-то последовательностей». А пределы могут и не существовать (и условие тогда лучше не вводить — только противоречие получим)…

[Mihr]

DVN,
по первому и последнему пунктам Вам уже дали исчерпывающие ответы Someone и arseniiv. Мне добавить нечего.
По поводу второго пункта.

DVN в сообщении #976058 писал(а):

А я показал, несущественно изменив условия, что это равносилно ответу "черепаха догонит Ахиллеса".

Только не забывайте, где догонит. Не в какой-то конкретной (конечной) точке. А в точке, следующей за всем натуральным рядом. Такое "неожиданное выравнивание" ничем не лучше и не хуже, чем "неожиданное выравнивание" на уровне "плюс бесконечность" двух функций, о котором я говорил. Если Вы настаиваете на чрезмерной искусственности символа "плюс бесконечность", я могу лишь заметить, что точка, следующая за всем натуральным рядом, ничуть не менее искусственна. Более того, как мне представляется, это и есть некая интерпретация "плюс бесконечности" (для натуральных чисел).

DVN в сообщении #976058 писал(а):

укажите, как форма ящика и персонификация бросающих и забирающих шары влияет на ответ.

Очевидно, никак. Я уже дважды подчёркивал: на результат влияет лишь способ извлечения шаров - с пропусками или без пропусков. Всё остальное - "от лукавого".

[Лукомор]

(Оффтоп)

DVN в сообщении #975755 писал(а):

С Лукомор спорить легко, он то верит, то не верит, что ящик будет пустой, его легко запутать.

Это неправда!
Верю я всегда, но иногда сомневаюсь! :-)

-- Вт фев 10, 2015 07:28:29 --

DVN в сообщении #975755 писал(а):

Значит черепаха бегает быстрее чем Ахиллес?

Нет!
Два объекта с разными скоростями могут пройти одинаковое расстояние...
Правда для этого им нужно разное время...

[iifat]

(Sonic86)

Sonic86 в сообщении #975955 писал(а):

Чем такое определение неестественно? Разве может быть иное определение?

Упаси меня боже возбранять вам или кому бы то ни было на Земле (и не только) вводить любые непротиворечивые определения и выводить из них, пользуясь логикой, любые следствия. (В качестве мелкого замечания и касательно иных определений — я не сторонник определения базовых понятий теории множеств через какие бы то ни было функции, которые суть подмножества прямых произведений). Я говорю только, что не встречал в литературе подобных определений. Возможно, это факт исключительно моей личной биографии, но если этот вопрос действительно никому не был интересен, следует сформулировать определение (к примеру, ваше) и из него уже выводить следствия. Любой другой подход к рассуждению о бесконечностях безрассуден.
Ну и, кстати говоря, как только отстановишься на каком-нибудь определении, например, вашем, сразу становится очевидной разгадка парадокса Литтлвуда: действительно, в пределе получается пустое множество.

Sonic86 в сообщении #975955 писал(а):

Другое дело, что толку от этого немного...

Дык! Потому, думаю, никто всерьёз и не занимался.

[Лукомор]

Mihr в сообщении #975841 писал(а):

Теперь рассмотрим две функции $f(x)=1/x^2$ и $g(x)=1/x^4$ в окрестности нуля.

Вот две функции:
$f(x)=1\cdot x$ и $g(x)=10\cdot x$
Их графики пересекаются в точке $x=0$
Вопрос: В какой еще точке пересекаются графики этих функций, и сколько решений имеет уравнение: $f(x)=g(x)$ ?

-- Вт фев 10, 2015 07:57:00 --

Mihr в сообщении #976023 писал(а):

И чем, интересно, сверхскоростной Ахиллес, до полудня пробегающий весь натуральный ряд, менее искусственен, чем сверхскоростная Черепаха?

Тут дело не в Ахиллесе и даже не в черепахе.
Вот, к примеру, такая задачка.
На старте Ахиллес находится на 1 метр впереди черепахи.
Теперь рассуждаем в стиле Зенона.
Черепаха проползает этот 1 метр, за это же время Ахиллес пробегает 10 метров.
Черепаха проползает эти 10 метров, но за это время Ахиллес пробегает 100 метров
И так далее...
Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[Mihr]

Лукомор в сообщении #976166 писал(а):

Вот две функции:
$f(x)=1\cdot x$ и $g(x)=10\cdot x$
Их графики пересекаются в точке $x=0$
Вопрос: В какой еще точке пересекаются графики этих функций, и сколько решений имеет уравнение: $f(x)=g(x)$ ?

1) Графики, построенные в декартовых координатах (прямоугольных или общих), не пересекаются более нигде. Если, однако, подыскать такое преобразование координат, при котором бесконечно удалённая точка получает зримое воплощение, то именно в этой точке графики пересекутся повторно.
2) Если речь идёт об обычных (конечных) решениях, то ответ - одно. Если искать решения на "расширенной числовой прямой", то уже не одно.

Лукомор в сообщении #976166 писал(а):

Вот, к примеру, такая задачка.

Ответ существенно зависит от того,
1) утверждаете ли Вы дополнительно, что и Черепаха и Ахиллес пробегают за конечное время бесконечный путь, заканчивая движение одновременно
2) устраивает ли Вас ответ "догонит в бесконечно удалённой точке".

[hurtsy]

DVN в сообщении #975910 писал(а):

Я же этим говорю, что тот кто соглашается с ответом Литлвуда о пустом ящике, автоматически должет согласится и с этим, как вы выразились опрометчивым выводом.

Тот кто соглашается с Литлвудом, принимает по умолчанию, что множество любых шаров совпадает со множеством всех индексированных шаров. А это невозможно без признания конечности бесконечного процеса. Кому хочется покидать "светлый рай который построил Кантор"?
В "этой связи" возникает вопрос существует ли элемент множества всех подмножеств континуума не входящий в континуум и какое ему место в математике? С уважением,

[atlakatl]

А может ли кто-нибудь предоставить скачиваемую ссылку книги Литлвуда или привести сабжевый отрывок из неё?
Сомневаюсь, что профессиональный математик сказал глупость. Скорее, кто-то его не понял и переврал. А мы теперь дружно поправляем Литлвуда, который ни слухом ни духом.

[sup]

(Оффтоп)

Я думаю, что прежде чем считать, сколько ангелов поместится на кончике иглы, виноват, сколько шаров останется в ящике, почтенной публике, возможно, стоило бы озаботиться вопросом: а с чего бы это полдень вообще наступит?
Вот и классик говорит

Высоцкий писал(а):

И двенадцать в полночь не пробило,
Все ждали полдня, но опять не дождалися,-
Вот какое время наступило -
Такое нервное,- взгляни, Алиса!

Кстати, а почему бы и вопросы замедления времени здесь же не рассмотреть? В связи с нарастающей массой шаров. Ну, чтобы два раза не вставать.
Примерно как у другого классика, слабительное со снотворным.

[Mihr]

sup в сообщении #976224 писал(а):

стоило бы озаботиться вопросом: а с чего бы это полдень вообще наступит?

Вообще-то, полдень наступает по условию задачи.

[DVN]

Someone в сообщении #976087 писал(а):

DVN в сообщении #976058 писал(а):

Если же шары берутся без пропусков, значит, по вашему множества равны вне зависимости от пропорции положенных и вынутых. Вы считаете это аксиомой.

Эта аксиома является определением равных множеств: множества равны, если они имеют одни и те же элементы. Никакие "пропорции" тут ни при чём.

А как бы Вы хотели определить равные множества?

Так же. Только для бесконечности нужно быть аккуратным, доказать, что элементы одни и те же. А для этого недостаточно построить взаимооднозначное отображение.

[atlakatl]

Mihr в сообщении #976238 писал(а):

Вообще-то, полдень наступает по условию задачи.

Ваше мистическое выделение о чём говорит? Условия задачи могут быть некорректно поставлены. Типа: Где будет черепаха, когда Ахиллес добежит до бесконечности?

[DVN]

arseniiv в сообщении #976100 писал(а):

DVN в сообщении #976058 писал(а):

Имелось в виду, что сначала сильно отстающая черепаха затем должна бежать быстрее Ахиллеса, чтобы его догнать.

Вот это и неверно. Тем более что если несобственную точку к множеству положений Ахиллеса/черепахи не подсоединять, она его и не догонит. А если её приделать, то задача ведь о поведении в ней всё равно ничего не говорит! Придётся ввести дополнительное условие: например, «в полдень значение таких-то величин совпадает с пределами таких-то последовательностей». А пределы могут и не существовать (и условие тогда лучше не вводить — только противоречие получим)…

Не совсем понимаю, о какой несобственной точке идет речь и почему в ней значение должно быть "пусто", а не "плюс бесконечность".
И о пределах. Число шаров в ящике в разные моменты составляет бесконечную последовательность 0, 9, 18,27... Если я ничего не попутал, предел этой последовательности "плюс бесконечность". Для любого числа можно указать элемент последовательности, начиная с которого все элементы будут больше этого числа, так вроде бы в школе учили. Как у вас ноль получается, вы наверное в другой школе учились.

[iifat]

Ну может, благородный дон, который учился в правильной школе, таки назовёт номер хоть одного шара из этого бесконечного количества?

[DVN]

atlakatl в сообщении #976217 писал(а):

А может ли кто-нибудь предоставить скачиваемую ссылку книги Литлвуда или привести сабжевый отрывок из неё?
Сомневаюсь, что профессиональный математик сказал глупость. Скорее, кто-то его не понял и переврал. А мы теперь дружно поправляем Литлвуда, который ни слухом ни духом.

Я формулировку задачи взял в теме Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"
Там много народу участвовало в обсуждении, на 16 страницах. И никто об ошибке не говорил. Зато почти все настаивали, что ящик будет пустой. С тем и закрылы тему.

-- Вт фев 10, 2015 14:24:07 --

iifat в сообщении #976253 писал(а):

Ну может, благородный дон, который учился в правильной школе, таки назовёт номер хоть одного шара из этого бесконечного количества?

Не назову, и что из этого. Ведь есть же в математике такие вещи, как теоремы существования. Доказывается, что нечто существует, хоть и не ясно, как это нечто построить.