Догонит ли черепаха Ахиллеса?

[DVN]

to atlakatl
Значит черепаха бегает быстрее чем Ахиллес? Судя по всему ваш ответ "да", раз вы говорите что в полдень ящик пустой. Или найдите ошибку в моих рассуждениях, только конкретно укажите, ответ типа "финт руками" будет засчитан как слив .
С Лукомор спорить легко, он то верит, то не верит, что ящик будет пустой, его легко запутать. Попробуйте со мной.

[atlakatl]

DVN в сообщении #970449 писал(а):

Наверное, выбор ответа на эту задачу зависит от того, с какой стороны в этот выдуманный мир приходишь. Если со стороны теории множеств, то собрал шарики, разложил их по-другому. Были множества неравны, стали равны, ну и что. Парадоксы ТМ. А если со стороны реального мира, то действует принцип наблюдателя, как в физике. Пока ты ничего не знаешь о множествах, ты можешь разложить его как угодно, все возможно. Но если уже раз разложил, понаблюдал его и увидел, что множества не равны, то все, далее это не изменится. И если кто-то собрал шарики и разложил их по новому, и множества стали равны, то он жулик и спрятал часть в рукаве. А за это канделябрами бьют.

Вы разделяете мир на ТМ и "реальный". А "реальным" Вы называете свои субъективные ощущения, которые готовы защищать с канделябром в руках.
Всё верно. На какую платформу встанешь, такой ответ и получишь. Суммируя сабжевый знакопеременный ряд "по Литлвуду", можно получить любое количество шаров в итоге. Полезно разобраться с этим явлением и согласиться: да, по разному группируя элементы, мы получаем разный итог. Полезно подойти к парадоксу с точки зрения теории пределов. Там парадокса не возникает.
Объявлять свой собственный взгляд единственно "реальным" тоже можно. Вопрос в продуктивности этого заявления. С помощью математиков и их теорий мы цивилизацию построили. А что развил Ваш взгляд?

[DVN]

У меня нет вопросов к ТМ, сомнений в ее правильности как математической теории.
Мне непонятно, почему так всех заворожил неправильный(по моему мнению) ответ на конкретную задачу Напомню:
Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом.
За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся шары от 11 до 20, и шар 2 вынимаетсяобратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся шары от 21 до 30, и шар 3 вынимается обратно.
И т.д.
Сколько шаров останется в ящике в полдень?
Ответ: ни одного, ящик пустой.
В задаче не указана ни форма ящика, ни кто опускает и вынимает шары. Это не существенные детали. Вот давайте и заполним эти детали, не нарушая условия задачи. Ящик у нас будет длинный, вдоль него и будут бежать наши бегуны. Попутно Ахиллес будет класть шары в ящик, а черепаха следом их вытаскивать. Ахиллес бежит быстрее, следовательно, и шаров он кладет больше, чем черепаха вытаскивает. Всем ясно, что количество шаров в ящике можно соотнести с расстоянием между Ахиллесом и черепахой. Вначале ящик пустой, оба начинают бег с одной точки. Затем с каждым интервалом в ящике все больше шаров, расстояние между бегунами растет. А в полдень? Ящик пуст, потому что черепаха в конце концов доберется до любого шара. А это значит, что расстояние между черепахой и Ахиллесом ноль, они снова в одной точке, черепаха догнала Ахиллеса. И всего лишь за час (правда час этот равен вечности).

Если вы считаете, что все правы, а я ошибаюсь, то явно укажите, в каком именно месте и как надо было правильно.
Не можете или не хотите, тогда признайте, что черепаха иногда бегает быстрее быстро бегущего человека - на этом дискуссия закончится.

[atlakatl]

DVN в сообщении #975799 писал(а):

Если вы считаете, что все правы, а я ошибаюсь, то явно укажите, в каком именно месте и как надо было правильно.

Вы сподобились изложить точку зрения оппонентов.
Я теперь хотел бы понять Вашу точку зрения. Стартовый коммент - с канделябрами - не очень понятен. Попробуйте ещё раз.

[iifat]

Фокусы ж бесконечных величин, не более.
Ахиллес за бесконечное время убежит в бесконечность, как и черепаха.
Однако, делать из этого вывод о том, что они встретятся, опрометчиво.
Предел последовательности множеств — штука, насколько я знаю, вообще определения не имеющая, так что искусными рассуждениями можно обосновать что угодно (ну, почти). Вот и всё.

[Mihr]

DVN в сообщении #975799 писал(а):

Если вы считаете, что все правы, а я ошибаюсь, то явно укажите, в каком именно месте и как надо было правильно.

Прежде всего: очевидно, результат не может зависеть от того, какие парные соответствия для положенных и извлечённых шаров мы построим. Это вопрос "левый".
А зависит результат лишь от способа извлечения шаров.
1. Если шары извлекаются подряд, без пропусков, и если при этом считать, что процесс может быть завершён, то следует признать, что вынуты все шары. А то, что Черепаха безнадёжно отставала, но в полдень оказалась на одной черте с Ахиллесом, - не столь важно. Это фокусы "актуальной бесконечности" (рассмотрения бесконечного процесса как завершённого).
2. Если шары извлекаются выборочно, с пропусками, и к пропущенным шарам Черепаха уже никогда не возвращается, то, очевидно, к полудню, когда Ахиллес и Черепаха станут блаженно отдыхать, в ящике останется неизвлечённым бесконечное множество шаров.
Когда Черепаха отдаёт предпочтение шарам с наименьшими номерами, она действует по схеме 1. В итоге ящик пуст.
Когда Черепаха отдаёт предпочтение шарам с наибольшими номерами, она действует по схеме 2. В итоге ящик переполнен.

Может быть, Вам поможет осознать отсутствие реального парадокса и такая аналогия.
Присоединим к множеству действительных чисел символы "плюс бесконечность" и "минус бесконечность". Получим так называемую "расширенную числовую прямую" (это не мой термин, я встречал его в учебнике матанализа Кудрявцева).
Теперь рассмотрим две функции $f(x)=1/x^2$ и $g(x)=1/x^4$ в окрестности нуля.
Очевидно, чем ближе аргумент к нулю, тем безнадёжней отставание $f(x)$ от $g(x)$. Но в самой точке ноль происходит "чудо" - значения функций одним махом выравниваются (на уровне "плюс бесконечность").
По-моему, "парадокс" такого же уровня. Вы не находите?

[DVN]

atlakatl в сообщении #975817 писал(а):

Вы сподобились изложить точку зрения оппонентов.
Я теперь хотел бы понять Вашу точку зрения. Стартовый коммент - с канделябрами - не очень понятен. Попробуйте ещё раз.

ИМХО, моя точка зрения должна быть понятна из всех моих сообщений. Хорошо, повторюсь вкратце.
Моя формулировка задачи Литлвуда существенно не меняет начальной формулировки задачи.
Мои ответы: черепаха никогда не догонит Ахиллеса, в полдень между ними будет бесконечное расстояние. Следовательно, в полдень в ящике будет бесконечное число шаров.
Теперь о "доказательстве" Литлвуда: строя взаимооднозначное отображение положенных и вынутых шаров Литлвуд доказывает только равномощность этих множеств, а разность таких множеств не обязательно дает пустое множество. Примеры уже приводил.

-- Пн фев 09, 2015 17:48:04 --

iifat в сообщении #975840 писал(а):

Фокусы ж бесконечных величин, не более.
Ахиллес за бесконечное время убежит в бесконечность, как и черепаха.
Однако, делать из этого вывод о том, что они встретятся, опрометчиво.
Предел последовательности множеств — штука, насколько я знаю, вообще определения не имеющая, так что искусными рассуждениями можно обосновать что угодно (ну, почти). Вот и всё.

Ну вы иронии не понимаете совсем. Я же этим говорю, что тот кто соглашается с ответом Литлвуда о пустом ящике, автоматически должет согласится и с этим, как вы выразились опрометчивым выводом. Но что-то никто не спешит это делать, но , как ни странно, продолжают меня убеждать, что ящик пустой.

-- Пн фев 09, 2015 18:32:15 --

Mihr в сообщении #975841 писал(а):

А зависит результат лишь от способа извлечения шаров.
1. Если шары извлекаются подряд, без пропусков, и если при этом считать, что процесс может быть завершён, то следует признать, что вынуты все шары. А то, что Черепаха безнадёжно отставала, но в полдень оказалась на одной черте с Ахиллесом, - не столь важно. Это фокусы "актуальной бесконечности" (рассмотрения бесконечного процесса как завершённого).

Ну хоть один человек, настаивающий на пустом ящике признал сверхскоростную черепаху, хоть и посчитал это не столь важным, "фокусом". Понятно, мне вас не переубедить

Mihr в сообщении #975841 писал(а):

Может быть, Вам поможет осознать отсутствие реального парадокса и такая аналогия.
Присоединим к множеству действительных чисел символы "плюс бесконечность" и "минус бесконечность". Получим так называемую "расширенную числовую прямую" (это не мой термин, я встречал его в учебнике матанализа Кудрявцева).
Теперь рассмотрим две функции $f(x)=1/x^2$ и $g(x)=1/x^4$ в окрестности нуля.
Очевидно, чем ближе аргумент к нулю, тем безнадёжней отставание $f(x)$ от $g(x)$. Но в самой точке ноль происходит "чудо" - значения функций одним махом выравниваются (на уровне "плюс бесконечность").
По-моему, "парадокс" такого же уровня. Вы не находите?

Слишком искусственны символы "плюс бесконечность" и "минус бесконечность". И потом, я нахожу пример ближе к своему ответу. Разница между максимумами растет и в итоге получаем бесконечность. А вы предполагаете в итоге 0.

[atlakatl]

DVN в сообщении #975910 писал(а):

о "доказательстве" Литлвуда: строя взаимооднозначное отображение положенных и вынутых шаров Литлвуд доказывает только равномощность этих множеств, а разность таких множеств не обязательно дает пустое множество.

Это так. Как группируешь элементы, столько и получишь.

DVN в сообщении #975910 писал(а):

Мои ответы: черепаха никогда не догонит Ахиллеса, в полдень между ними будет бесконечное расстояние. Следовательно, в полдень в ящике будет бесконечное число шаров.

Вот так раз. Только что согласились, что разные суммы при разных группировках возникают, - и тут же застолбили одну "самую верную". И чем же она единственна? Своей естественностью? - Что 10 шаров единомоментно всегда больше одного? А чем Вас не устраивает изложенная Вами же точка зрения оппонентов?

[Aritaborian]

DVN в сообщении #975910 писал(а):

Слишком искусственны символы "плюс бесконечность" и "минус бесконечность".

Что значит «слишком искусственны»? С тем же успехом можно заявлять, что и прочие математические объекты искусственны. Как сказал Леопольд Кронекер, «Господь создал натуральные числа, а всё остальное — дело рук математиков».

[Sonic86]

(iifat)

iifat в сообщении #975840 писал(а):

Предел последовательности множеств — штука, насколько я знаю, вообще определения не имеющая

Это почему это?
Пусть $X_n$ - последовательность множеств, определим ее предел $X=\lim\limits_{n\to \infty}X_n$
Множество состоит из элементов. Для каждого элемента $x$ имеем последовательность значений характеристических функций $a_n(x)=\chi_{X_n}(x)\in \{0;1\}$. Если последовательность $a_n(x)=1$ при $n>n_{0,x}$, то $x\in X$, иначе $x\not\in X$.
Чем такое определение неестественно? Разве может быть иное определение?
Например, $\lim\limits_{n\to\infty}X = X$
Если $\lim\limits_{n\to\infty}X_n= X, \lim\limits_{n\to\infty}Y_n=Y$, то $\lim\limits_{n\to\infty}(X_n\cup Y_n) = X\cup Y$ и $\lim\limits_{n\to\infty}(X_n\cap Y_n) = X\cap Y$
С другой стороны, ясно, что $\overline{\lim\limits_{n\to\infty}\overline{X_n}} = X$ в общем случае неверно.
Ну и $\lim\limits_{n\to\infty}|X_n|\neq \left|\lim\limits_{n\to\infty}X_n\right|$ в общем случае неверно.
Вообще, в последовательности множеств $X_n$ есть 3 типа элементов:
1) которые всегда есть в элементах последовательности начиная с какого-то шага (это $\lim = \mathrm{limup}\limits_{n\to \infty}X_n$)
2) которых всегда нет в элементах последовательности начиная с какого-то шага (это $\mathrm{limdown}\limits_{n\to \infty}X_n$)
3) которые то есть, то нет ($\mathrm{jump}\limits_{n\to \infty}X_n$).
Терм $\mathrm{limdown}$ "двойственен" предыдущему: $\mathrm{limup}\limits_{n\to \infty}\overline{X_n} = \overline{\mathrm{limdown}\limits_{n\to \infty}X_n}$. Так же $\overline{\mathrm{jump}\limits_{n\to \infty}X_n } = \mathrm{jump}\limits_{n\to \infty}\overline{X_n}$.
Ну и ниче так. Что не удовлетворяет? Можно плотности добавить и мер на множествах.
Другое дело, что толку от этого немного...

[DVN]

atlakatl в сообщении #975935 писал(а):

DVN в сообщении #975910 писал(а):

о "доказательстве" Литлвуда: строя взаимооднозначное отображение положенных и вынутых шаров Литлвуд доказывает только равномощность этих множеств, а разность таких множеств не обязательно дает пустое множество.

Это так. Как группируешь элементы, столько и получишь.

ИМХО, не так. Результат зависит не от группировки, а от того, какое множество есть подмножеством. Если множества равны, то только в этом случае разность их будет пуста. Если же множество, например, квадратов является подмножеством натуральных чисел, то как не группируй, множество натуральных чисел не станет подмножеством квадратов. Хотя и подмножество может быть равномощным с включающиму его множеству. Так что из того, что Литлвуд показал равномощность множеств положенных и вынутых шаров, не следует, что их разность равна пустому множеству. Нужно было доказать что множество положенных шаров есть подмножеством вынутых и одновременно множество вынутых есть подмножество положенных шаров. А вот это доказать и не получится, т. к. это неверно.

atlakatl в сообщении #975935 писал(а):

DVN в сообщении #975910 писал(а):

Мои ответы: черепаха никогда не догонит Ахиллеса, в полдень между ними будет бесконечное расстояние. Следовательно, в полдень в ящике будет бесконечное число шаров.

Вот так раз. Только что согласились, что разные суммы при разных группировках возникают, - и тут же застолбили одну "самую верную". И чем же она единственна? Своей естественностью? - Что 10 шаров единомоментно всегда больше одного? А чем Вас не устраивает изложенная Вами же точка зрения оппонентов?

Ну хотя бы тем, что черепаха бежит быстрее Ахиллеса.

-- Пн фев 09, 2015 20:13:33 --

Aritaborian в сообщении #975947 писал(а):

DVN в сообщении #975910 писал(а):

Слишком искусственны символы "плюс бесконечность" и "минус бесконечность".

Что значит «слишком искусственны»? С тем же успехом можно заявлять, что и прочие математические объекты искусственны. Как сказал Леопольд Кронекер, «Господь создал натуральные числа, а всё остальное — дело рук математиков».

В смысле "выравниваются (на уровне "плюс бесконечность")". Я не вижу смысла в "плюс бесконечность"="плюс бесконечность".

[Aritaborian]

DVN в сообщении #975984 писал(а):

Я не вижу смысла в "плюс бесконечность"="плюс бесконечность".

Более того, никто не видит в этом смысла без должных уточнений ;-) Бесконечности бывают разными, и математики не скрывают это от простых людей. Термин «бесконечность» всегда употребляется не от балды, но в некотором строго определённом смысле. Простите, что наговорил банальностей, но не вижу, как ещё можно с вами разговаривать.

[Mihr]

DVN,
ладно, не нравится Вам аналогия с функциями - оставим эту аналогию. Хотя мне эта конструкция представляется искусственной не в большей степени, чем утверждение о том, что за конечное время Ахиллес и Черепаха пересчитают все натуральные числа. Но всё же бог с ней, забудем.
Самую главную мысль Вы проигнорировали. Вот она:

Mihr в сообщении #975841 писал(а):

результат не может зависеть от того, какие парные соответствия для положенных и извлечённых шаров мы построим. Это вопрос "левый".
А зависит результат лишь от способа извлечения шаров.

Вы же, как мне запомнилось, все попытки "нарисовать" парадокс строили на том, что можно так построить соответствие между положенными и изъятыми шарами, но можно и этак...
Соответствий можно построить бесконечно много. Но это не имеет никакого отношения к результату "забега".
Важно лишь то, извлекает Черепаха шары подряд или выборочно. Вот эту - главную! - мысль Вы оставили без внимания.

DVN в сообщении #975910 писал(а):

Ну хоть один человек, настаивающий на пустом ящике признал сверхскоростную черепаху

Что значит "признал"? Вы её задали по условию задачи. При чём здесь я?
И чем, интересно, сверхскоростной Ахиллес, до полудня пробегающий весь натуральный ряд, менее искусственен, чем сверхскоростная Черепаха?

[DVN]

Mihr в сообщении #976023 писал(а):

Важно лишь то, извлекает Черепаха шары подряд или выборочно. Вот эту - главную! - мысль Вы оставили без внимания.

Если черепаха берет шары с пропусками, то легко определить, что вынутые шары есть подмножество от положенных в ящик шаров. Если же шары берутся без пропусков, значит, по вашему множества равны вне зависимости от пропорции положенных и вынутых. Вы считаете это аксиомой. Ну тогда я пас.

Mihr в сообщении #976023 писал(а):

DVN в сообщении #975910 писал(а):

Ну хоть один человек, настаивающий на пустом ящике признал сверхскоростную черепаху

Что значит "признал"? Вы её задали по условию задачи. При чём здесь я?

А при том, что вы настаиваете на ответе о пустом ящике. А я показал, несущественно изменив условия, что это равносилно ответу "черепаха догонит Ахиллеса". Если не согласны, тогда укажите, как форма ящика и персонификация бросающих и забирающих шары влияет на ответ.
И не надо говорить, что я такой ответ дал. Мой ответ как раз противоположный: в ящике в полдень будет бесконечное число шаров, черепаха бесконечно отстанет от Ахиллеса.

Mihr в сообщении #976023 писал(а):

И чем, интересно, сверхскоростной Ахиллес, до полудня пробегающий весь натуральный ряд, менее искусственен, чем сверхскоростная Черепаха?

В этом смысле Черепаха и Ахиллес одинаковы -оба до полудня пробегают весь натуральный ряд. Имелось в виду, что сначала сильно отстающая черепаха затем должна бежать быстрее Ахиллеса, чтобы его догнать.

[Someone]

DVN в сообщении #976058 писал(а):

Если же шары берутся без пропусков, значит, по вашему множества равны вне зависимости от пропорции положенных и вынутых. Вы считаете это аксиомой.

Эта аксиома является определением равных множеств: множества равны, если они имеют одни и те же элементы. Никакие "пропорции" тут ни при чём.

А как бы Вы хотели определить равные множества?