Наглядное представление алгоритма построения геодезических

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #973340 писал(а):

я тут пытаюсь объяснить, что не в координатах счастье, а вы задаёте задачу именно в координатах :-)

Munin
Так получилось потому, что когда я приступил к оформлению этой задачки, беседа ещё, вроде, не вырулила на чисто качественные рельсы. Понимаю, что не вовремя вклинился, это надо бы позже - после того как топик-стартер поймёт интуитивно, что есть геодезические на простых качественных примерах. Ну, теперь уж пусть будет и это ему для раздумий (тем более, что ТС, похоже, собирался продолжать лишь "катать кубики" - хоть по равнине, хоть по сфере; надо же как-то стимулировать интерес к уравнениям тоже).

К тому же, расчётный примерчик с продолжением может быть; помимо обсуждения замены переменных в связи с видом метрического тензора (переход от полярных координат к декартовым), тут и символы Кристоффеля при желании ТС может легко посчитать (их там всего-то три не равных нулю), тогда и на ур-е геодезической вдруг захочет взглянуть. Эта задачка про плоскость, а следующую аналогичную можно про сферу дать: тогда будет уже количественный пример с кривизной, для подкрепления интуитивного понимания.

[Lexey]

Cos(x-pi/2) в сообщении #973326 писал(а):

но некая теория выдала нам карту этого куска поверхности в неких координатах $a, \, b,$ с указанием, что квадрат длины $ds$ любого бесконечно малого отрезка на этой поверхности описывается формулой:

$(ds)^2=(da)^2+a^2(db)^2$ .

Эта наша игровая ситуация по своему духу аналогична физике: там уравнения ОТО тоже выдают решения вида $ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu},$

Я бы интерпретировал постановку задачки иначе:
Некий эксперимент выдал нам некие линии в координатах $(a,b)$, а теория предполагает что какие-то из них должны быть геодезическими и что $(ds)^2=(da)^2+a^2(db)^2$. Мы сначала пытаемся найти другую систему координат (в виде функций $x(a,b)$ и $y(a,b)$), в которой все эти линии будут прямыми , и такую что получится $(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2$. Если нам удается найти такую, то мы говорим что пространство плоское. Но если не находим таковой, мы испытываем некоторый конфуз, затем выкручиваемся из ситуации: ослабляем условие поиска формулой $ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$, и... ура! находим такую систему. Теория спасена, но пространство оказывается кривым.

Задачка интересная для тестирования метода кубиков, спасибо Cos(x-pi/2). Но сам метод у меня пока на стадии идеи, на досуге может быть займусь матаппаратом.

[Munin]

[Lexey]

Munin в сообщении #973324 писал(а):

Ну, теперь можно представить себе горбатую поверхность. Например, поверхность шара. Тоже покрытую снегом, и тоже по ней едет лыжник.

Не томите, мысль давайте. Горбатая поверхность - это когда есть внешняя кривизна. Как быть если ее нет?

-- Чт фев 05, 2015 16:56:12 --

Координатная сетка, построенная кубиками в криволинейном пространстве будет актуальна лишь в малой окрестности конкретной траектории, вдоль которой она построена, это несколько усложняет жизнь, но в принципе не мешает использовать эту сетку для ориентации в пространстве.

[Munin]

Lexey в сообщении #974176 писал(а):

Не томите, мысль давайте. Горбатая поверхность - это когда есть внешняя кривизна. Как быть если ее нет?

Горбатая поверхность - это когда есть внешняя кривизна. Но также, это когда есть и внутренняя кривизна. И на самом деле, внешняя не нужна, чтобы проводить геодезические, и любые построения на поверхности. Достаточно знать внутреннюю. Точнее, достаточно знать метрику и связность.

Вот я и объясняю, что такое связность. Связность - это куда поедет лыжник. Если вы зададите, куда у него смотрели лыжи в начале линии, то сможете продолжать эту линию дальше и дальше, докуда хотите.

Теперь, если вы задаёте на поверхности закон, куда продолжается линия, если известно, где и в каком направлении она начинается (этот закон, вообще говоря, - некоторое дифференциальное уравнение второго порядка), то можно считать, что вы задали связность, и искривлённую внутреннюю геометрию. Никакой внешней кривизны для этого не требуется.

[Lexey]

Так я вот как раз говорю об алгоритме численного решения этого дифференциального уравнения методом конечных разностей. В этом уравнении смешаны производные по всем размерностям пространства, поэтому нужно рассматривать $N$-мерную структуру опорных точек, а линейка или лыжа - это в идеализированном понимании одномерный объект, не имеющий $N$-мерной пространственной структуры. В конце-концов, дифференциал, если мне память не изменяет, определялся как предел конечной разности, а не наоборот, так что в каком-то смысле уравнения в конечных разностях не менее фундаментальны чем дифуры. Дифуры просто красивше выглядят и обычно удобней при выкладках.

[Утундрий]

Квадрат не менее фундаментален чем круг, потому что линеек у нас завались, а циркулей не завезли...

[Lexey]

Munin в сообщении #974191 писал(а):

И на самом деле, внешняя не нужна, чтобы проводить геодезические, и любые построения на поверхности. Достаточно знать внутреннюю. Точнее, достаточно знать метрику и связность.

Это я понял: если есть внешняя, то внутренняя кривизна отчасти или полностью обусловлена внешней. Лыжник наглядно объясняет происхождение той части внутренней кривизны, которая обусловлена внешней кривизной. Метрический тензор отражает обе эти компоненты внутренней кривизны. Правильно?
У нашего ПВ нет внешней кривизны.
Связность - это положение лыжника в пространстве, метрика определяет изменение этого положения за единицу пройденного пути кроме банального перемещения вперед.
То есть, по ходу он может вращаться и деформироваться относительно предыдущего положения. Так?

[Munin]

Lexey в сообщении #974255 писал(а):

а линейка или лыжа - это в идеализированном понимании одномерный объект, не имеющий $N$-мерной пространственной структуры.

Дык не лыжа сама по себе. А лыжа в пространстве. В пространстве она имеет нужную структуру.

Lexey в сообщении #974255 писал(а):

В конце-концов, дифференциал, если мне память не изменяет, определялся как предел конечной разности, а не наоборот, так что в каком-то смысле уравнения в конечных разностях не менее фундаментальны чем дифуры.

Неправильный вывод, и сильно отвлекающий вас от сути дела.

Lexey в сообщении #974322 писал(а):

То есть, по ходу он может вращаться и деформироваться относительно предыдущего положения. Так?

Нет. И вращаться и деформироваться ему запрещено. Иначе он поедет не по геодезической.

[arseniiv]

Lexey в сообщении #974322 писал(а):

Связность - это положение лыжника в пространстве

Неа.

Lexey в сообщении #974322 писал(а):

метрика определяет изменение этого положения за единицу пройденного пути кроме банального перемещения вперед

Снова неа.

Lexey в сообщении #974322 писал(а):

То есть, по ходу он может вращаться и деформироваться относительно предыдущего положения. Так?

Что значит «деформироваться» для вектора? И куда вращаться? Касательные пространства в разных точках разные, и любые их векторы — разные! Один из них нельзя понимать как вращение другого.

Лыжник здесь определяет точку поверхности и заодно касательный вектор, торчащий из этой точки. Связность позволяет переносить этот вектор по какой-то кривой, чтобы получить вектор, торчащий из другой точки. (Только в плоском пространстве касательные пространства во всех точках можно отождествить.) Метрика — это функция двух аргументов, задающая расстояние между двумя любыми точками поверхности.

Вводя на куске поверхности координаты, мы можем выразить точки этого куска наборами координат. Мы также получаем возможность обозначать касательные векторы координатами. Имея то и это, мы, наконец, можем выразить в координатах метрику и связность.

(Ну и пусть это повтор. Вы должны стараться распределить информацию на несколько полочек и не смешивать разные понятия. И как можно скорее взглянуть на определения этих вещей.)

[Lexey]

Я подразумеваю, что при каждом шаге мы переходим к новой системе координат, связанной с новым вектором. Сравнивать координаты нового вектора в новой системе с координатами старого в старой вообще как-то глупо, они заведомо одинаковы. Когда я говорю о вращении/деформации лыжника я говорю о сравнении лыжника до и после прохождения одного метра в одной и той же системе координат (не важно в какой именно).

[Munin]

Lexey в сообщении #974377 писал(а):

Я подразумеваю, что при каждом шаге мы переходим к новой системе координат, связанной с новым вектором.

Нет. Можно никакой системы координат в виду не иметь. Вектор - это просто вектор.

Lexey в сообщении #974377 писал(а):

Сравнивать координаты нового вектора в новой системе с координатами старого в старой вообще как-то глупо, и они заведомо одинаковы.

Эх, если бы... Это в плоском пространстве можно ввести прямолинейные координаты, в которых это будет так.

Lexey в сообщении #974377 писал(а):

Когда я говорю о вращении/деформации лыжника я говорю о сравнении лыжника до и после прохождения одного метра в одной и той же системе координат (не важно в какой именно),

Такое сравнение называется "параллельный перенос вектора". Он бывает только вдоль какой-то линии. Так вот, сравнивая лыжника путём параллельного переноса вдоль его лыжни, мы увидим, что он не вращается и не деформируется. Это как раз можно считать определением геодезической линии.

[arseniiv]

Lexey в сообщении #974377 писал(а):

Я подразумеваю, что при каждом шаге мы переходим к новой системе координат, связанной с новым вектором. Сравнивать координаты нового вектора в новой системе с координатами старого в старой вообще как-то глупо, и они заведомо одинаковы.

А вот систему координат как раз менять не нужно и не стоит. Я говорил про касательные пространства — это и означает касательные пространства, а не системы координат.

Lexey в сообщении #974377 писал(а):

Когда я говорю о вращении/деформации лыжника я говорю о сравнении лыжника до и после прохождения одного метра в одной и той же системе координат (не важно в какой именно),

А, в системе координат объемлющего пространства? (Я-то уже про координаты на одной только поверхности упоминал.) А если мы про него не знаем? Потом, ничего не меняется. Вектор остаётся вектором и точка точкой. Как деформировать вектор? (Это риторический вопрос, конечно.)

[Munin]

arseniiv в сообщении #974384 писал(а):

А, в системе координат объемлющего пространства? (Я-то уже про координаты на одной только поверхности упоминал.) А если мы про него не знаем?

Более того: а если её вообще не существует, вместе с объемлющим пространством?

[Lexey]

arseniiv в сообщении #974384 писал(а):

Вектор остаётся вектором и точка точкой. Как деформировать вектор? (Это риторический вопрос, конечно.)

Я вообще про лыжника говорил, про муравья и про кубики, и про их N-мерную структуру. Это вы перешли к вектору.
А если серьезно, то там по ходу тензор фигурирует в построении, а для его однозначной ориентации в пространстве одного вектора направления в общем случае мало.