Наглядное представление алгоритма построения геодезических

[Munin]

По-моему, тут всё очевидно без бумаги. Достаточно представить два характерных примера: параллель (нормальная образующим) на цилиндре и окружность на плоскости.

Спасибо.

[Lexey]

Еще раз попытаюсь объяснить мою позицию, и почему я встрял в разговор про искривление пространства.
Любое пространство вообще - это нечто, в чем любой маленький субъект в принципе может эффективно и однозначно ориентироваться, свободно перемещаясь по этому пространству. Это очень важное определение "работает" на уровне подсознания любого человека, поэтому знакомство человека с понятием об искривлении пространства должно начинаться именно с этого момента: как в нем можно однозначно ориентироваться. Иначе человек, пытающийся в этом разобраться быстро входит ступор, упираясь в мысль о том, что однозначно ориентироваться в таком пространстве невозможно. Сообразительный человек и сам поймет, что однозначно прямых линеек в таком пространстве не бывает, но ему продолжают объяснять что-то делая какие-то построения при помощи каких-то удивительных магических линеек. Отчаянно пытаясь выйти из этого ступора, человек приходит к мысли о том, что чтобы ориентироваться в $N$-мерном пространстве, нужно представить его как искривленную гиперповерхность в $N+1$-мерном пространстве. Я предложил свой деформируемый гиперкуб как разумную альтернативу непонятной магической линейке. По сути этот гиперкуб и является той маленькой линейкой, которой пользуются маги-учителя, не раскрывающие таинство внутреннего устройства этой магической линейки.

[Lexey]

Маленький ребенок, строящий башню из кубиков, способен понять что башня получается кривой из-за того что кубики кривые. Ведь с геодезической происходит по сути то же самое.

[Lexey]

Сообразительный человек, не имеющий понятия о том что такое дифгеом, понимает что такое атлас. Дифгеом у него нормально работает на подсознательном, интуитивном уровне без всяких учебников. Этим нужно пользоваться, а не отрицать это. Это понятие очень важно для ориентации в криволинейном пространстве, и его можно и нужно вводить не откладывая уже после некоторых манипуляций с кривыми кубиками, которые могут вводить человека в некоторый ступор без этого понятия. Я не берусь кого-то учить, поскольку не имею педагогического опыта, просто выражаю свое недоумение как человек, который сам пришел к какому-то непротиворечивому пониманию этого вопроса с трудом пробираясь через дебри всяких противоречивых и непонятных объяснений.

[Geen]

Lexey в сообщении #973031 писал(а):

Ведь с геодезической происходит по сути то же самое.

Нет. Потому что Ваши "кубики" привязаны к конкретным координатам, а геодезическая - нет.

[Lexey]

Geen в сообщении #973086 писал(а):

Нет. Потому что Ваши "кубики" привязаны к конкретным координатам, а геодезическая - нет.

Геодезическую можно привязывать к любым координатам. Без привязки к каким-либо конкретным координатам всякое построение лишено смысла. Кубики дают конкретную координатную сетку, в которой геодезическая идет по конкретной координатной линии. Более того, координатная сетка, даваемая кубиками, дает достаточную информацию для преобразования построений к любой другой координатной сетке, построенной другими кубиками.

[Munin]

Lexey в сообщении #972994 писал(а):

Это очень важное определение "работает" на уровне подсознания любого человека, поэтому знакомство человека с понятием об искривлении пространства должно начинаться именно с этого момента: как в нем можно однозначно ориентироваться.

Это не момент, а очень долгие объяснения. И не обязательно начинать именно с них: можно начать с внешней геометрии, со взгляда на искривлённую поверхность "со стороны". В частности, для объяснения начал топологии это более легко.

Короче, давайте зафиксируем два момента. Вы:
1) сами очень смутно представляете себе римановую дифференциальную геометрию и ОТО;
2) и при этом пытаетесь указывать, как эти вещи нужно преподавать.

Давайте вы сначала сами всему научитесь, потом накопите какой-то опыт объяснений, и после этого можно будет обсудить дидактическую сторону дела.

Lexey в сообщении #972994 писал(а):

Я предложил свой деформируемый гиперкуб как разумную альтернативу непонятной магической линейке.

Не самая лучшая альтернатива.

Lexey в сообщении #972994 писал(а):

По сути этот гиперкуб и является той маленькой линейкой, которой пользуются маги-учителя, не раскрывающие таинство внутреннего устройства этой магической линейки.

Нет, учителя пользуются другими инструментами, и всё раскрывают - но всё мимо, если "чукча не читатель, а писатель".

Lexey в сообщении #973031 писал(а):

Маленький ребенок, строящий башню из кубиков, способен понять что башня получается кривой из-за того что кубики кривые. Ведь с геодезической происходит по сути то же самое.

Нет, с геодезической не то же самое.

-- 03.02.2015 18:19:57 --

Lexey в сообщении #973080 писал(а):

Сообразительный человек, не имеющий понятия о том что такое дифгеом, понимает что такое атлас. Дифгеом у него нормально работает на подсознательном, интуитивном уровне без всяких учебников. Этим нужно пользоваться, а не отрицать это.

Аналогии с геодезией, с географическими атласами и картами, и так широко используются, без ваших советов.

Lexey в сообщении #973080 писал(а):

Я не берусь кого-то учить, поскольку не имею педагогического опыта, просто выражаю свое недоумение как человек, который сам пришел к какому-то непротиворечивому пониманию этого вопроса с трудом пробираясь через дебри всяких противоречивых и непонятных объяснений.

Почему бы вам не попросить вместо этого помощи?

Lexey в сообщении #973110 писал(а):

Геодезическую можно привязывать к любым координатам. Без привязки к каким-либо конкретным координатам всякое построение лишено смысла.

Первое верно, второе - нет. Как раз прежде всего надо стремиться понять дифференциальную геометрию как построения сами по себе, свободные от координат. И геодезическая точно так же свободна от координат, как линия карандашом на чистом листе бумаги (или на глобусе).

[Lexey]

Munin в сообщении #973111 писал(а):

И геодезическая точно так же свободна от координат, как линия карандашом на чистом листе бумаги (или на глобусе).

Линия на чистом листе бумаги представляет собой множество точек, расположенных определенным образом друг относительно друга, являясь друг для друга уже каким-то подобием системы координат, введенных неявно. В процессе любых построений на листе бумаги вы неявно используете систему координат, образованную уже нарисованными или даже воображаемыми объектами, которые вы планируете нарисовать или даже не планируете. Например, рисуя круг, вы представляете себе центр этого круга. Стараясь рисовать прямую, вы ориентируетесь на уже нарисованную часть этой прямой. Если же вы рисуете случайную кривую, то это врядли можно считать построением.

[Munin]

Lexey в сообщении #973162 писал(а):

Линия на чистом листе бумаги представляет собой множество точек, расположенных определенным образом друг относительно друга

Да-да-да.

Lexey в сообщении #973162 писал(а):

являясь друг для друга уже каким-то подобием системы координат, введенных неявно.

Нет!

Lexey в сообщении #973162 писал(а):

В процессе любых построений на листе бумаги вы неявно используете систему координат, образованную уже нарисованными или даже воображаемыми объектами, которые вы планируете нарисовать или даже не планируете.

Нет. Вы плохо понимаете, что такое система координат.

Lexey в сообщении #973162 писал(а):

Стараясь рисовать прямую, вы ориентируетесь на уже нарисованную часть этой прямой.

Это верно. И вот это ведёт к гораздо более правильному представлению о геодезической, чем то, что решили проповедовать вы.

[Lexey]

Munin в сообщении #973206 писал(а):

Lexey в сообщении #973162

писал(а):
Стараясь рисовать прямую, вы ориентируетесь на уже нарисованную часть этой прямой.
Это верно. И вот это ведёт к гораздо более правильному представлению о геодезической, чем то, что решили проповедовать вы.

Я пока не улавливаю разницы. Составляя кубики я тоже ориентируюсь на предыдущий кубик, полагая что если кубики ровные, то ребро следующего кубика продолжит соответствующее ребро предыдущего по прямой. И муравей двигает лапками так, что если лапки "ровные" и поверхность ровная, то и двигался бы по прямой, ориентируясь на точки, на которые он опирается.
Я честно стараюсь понять и благодарен вам за попытку помочь.

Я также не понимаю смысл столь принципиального отказа от полноценной системы координат. Я привык что всегда можно ввести систему координат, пусть и произвольную, пусть и не имеющую особого физического смысла, и по мере необходимости, и даже без особой необходимости, а просто для удобства переходить к любой другой.

[Munin]

Представьте себе заснеженную равнину. И по ней едет лыжник. Вперёд. Представили?

[Lexey]

Да, но мысли пока не уловил, пытаюсь думать об этом.
Ну едет себе по прямой, кривизна то где тут проявится?
Только если лыжи искривятся либо поверхность горбатая, все как и в случае с муравьем.

[Munin]

Ну, теперь можно представить себе горбатую поверхность. Например, поверхность шара. Тоже покрытую снегом, и тоже по ней едет лыжник.

[Cos(x-pi/2)]

Lexey
Не прерывая вашей беседы с Munin, а в параллель с ней, предложу Вам поучительную задачку на осмысление понятия "геодезическая"; может быть, на досуге, попробуете хоть как-то решить (думается, такая задачка более-менее доступна вдумчивым старшеклассникам).

Сачала, в качестве предисловия, подчеркну, что в физике мы лишены возможности бегать и всячески кружить туда-сюда по пространству-времени (ПВ), как муравьи по яблоку. Но у нас есть теория (ОТО, а для задач, в которых кривизной ПВ можно пренебречь, - СТО), позволяющая рассматривать своего рода "географические карты" пространства-времени в разных системах координат.

Дальше для простоты речь веду не о ПВ, а о более простой картине, о 2-мерной аналогии. Даже подскажу больше, чем следовало бы; совсем конкретно: речь пойдёт о куске поверхности с обычной евклидовой геометрией. Представим себе для учебных целей, что мы по каким-то причинам лишены возможности бегать туда-сюда по этому кусочку поверхности (так же, как мы лишены возможности произвольно разгуливать по ПВ), но некая теория выдала нам карту этого куска поверхности в неких координатах $a, \, b,$ с указанием, что квадрат длины $ds$ любого бесконечно малого отрезка на этой поверхности описывается формулой:

$(ds)^2=(da)^2+a^2(db)^2$ .

Эта наша игровая ситуация по своему духу аналогична физике: там уравнения ОТО тоже выдают решения вида $ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu},$ где по четырём значениям индексов ведётся суммирование, а набор функций $g_{\mu \nu}(x)$, называемый метрическим тензором, определяет все свойства ПВ. Только в нашей игре всё намного проще: наша формула для $ds^2$ содержит всего два слагаемых, и она сильно похожа на формулу Пифагора (однако не совпадает с ней; обратите внимание на этот важный для дальнейшего анализа факт).

Вы, конечно, понимаете, что карта поверхности это ещё не сама поверхность (но если формула для $ds^2$ известна, то, в принципе, всю информацию о свойствах поверхности отсюда извлечь можно). В частности, лишь глядя на координатную сетку карты, ещё нельзя сразу сказать, как выглядят геодезические на поверхности. А о них-то и будет задачка.

Геодезическая между двумя заданными точками нашей поверхности это, по определению, линия кратчайшей длины, проходящая через указанные две точки. Карта нарисована на плоском клочке бумаги, и, конечно же, геодезические на плоском куске бумаги - это отрезки обычных прямых. Но нас-то интересуют линии кратчайшей длины на самой поверхности, а не на клочке бумаги. И тут может быть много разных вариантов. Возможно, поверхность кривая, имеет сложный рельеф (холмы, впадины), и геодезические как-то "струятся" по дну долин? А может быть, поверхность-то плоская, но координаты $a, \, b$ оказались криволинейными - на карте они нарисованы как прямые, но на поверхности им соответствуют какие-то кривые, вовсе не геодезические линии?

Вот этому вопросу и посвящена задачка. В ней задана метрика (см. выше формулу для $ds^2$ в координатах $a, \, b$). И заданы, для примера, четыре разных "кривых" на карте куска поверхности: А, Б, В и Г (см. ниже четыре рисунка и формулы там, параметрически описывающие изображённые "кривые"). В задачке требуется сказать, какие из этих четырёх линий А, Б, В и Г геодезические, а какие нет:





Вот, определите для себя, можете ли Вы решить эту задачку (а она простая) своим "методом кубиков"; и если не сможете, то лучше забросьте "кубики" на далёкое потом, и займитесь всё-таки изучением геометрии и математического анализа.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #973326 писал(а):

Вот, определите для себя, можете ли Вы решить эту задачку (а она простая) своим "методом кубиков"; и если не сможете, то лучше забросьте "кубики" на далёкое потом, и займитесь всё-таки изучением геометрии и математического анализа.

С этим призывом я полностью согласен, но в целом, я тут пытаюсь объяснить, что не в координатах счастье, а вы задаёте задачу именно в координатах :-)