2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:30 
Здравствуйте!

Небходимо доказать, что $2^ n - 1$ не делится на n для целого n>1.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:33 
Аватара пользователя
Немного напоминает малую теорему Ферма, вам не кажется? :D

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:41 
Может быть. Но надо доказать.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:42 
Аватара пользователя
Да, собственно, малая теорема Ферма и есть доказательство. Или вам ее использовать нельзя?

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:46 
Скорее всего, нельзя.

Пробовал 1) методом индукции и 2) принципом делимости

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:46 
Малая теорема Ферма здесь пригодится, но предварительно нужно будет ещё кое-что сделать.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:48 
Аватара пользователя
nnosipov, ну, есть ведь общий вариант, для произвольных $p$. Если я правильно поняла ваш намек.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:49 
timber в сообщении #946060 писал(а):
Пробовал 1) методом индукции и 2) принципом делимости
Здесь будет полезным принцип крайнего.

-- Вс дек 14, 2014 17:50:49 --

provincialka в сообщении #946063 писал(а):
nnosipov, ну, есть ведь общий вариант, для произвольных $p$.
Не понимаю Вас. Что за общий вариант? Обобщение этой задачи?

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:51 
Можно ли рассуждать так:

1) При $n = 2$, имеем $2^2 - 1 = 3$, 3 не делится на 2 без остатка, доказано. Пусть $n = k$ и $2^k - 1$ не делится на k.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 13:55 
timber в сообщении #946067 писал(а):
Можно ли рассуждать так: ...
Нет, индукция здесь не поможет.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 14:00 
Есть еще признак делимости: разность двух чисел не делится на число n, если и вычитаемое и уменьшаемое не делится на n.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 14:04 
timber в сообщении #946072 писал(а):
Есть еще признак делимости: разность двух чисел не делится на число n, если и вычитаемое и уменьшаемое не делится на n.
Нет такого признака (не)делимости.

-- Вс дек 14, 2014 18:18:34 --

timber, начните всё-таки с Малой теоремы Ферма. Найдите её формулировку, узнайте доказательство. Потом можно будет вернуться к этой задаче (она не такая простая, как кажется на первый взгляд).

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 14:54 
Друзья, даже и не знаю. Как-то неочевидно. МТФ - это теорема о простых числах. В условии задачи числа могут быть и простые и составные.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 15:01 
Никто не говорит, что МТФ нужно применять в лоб. Просто она понадобится в процессе доказательства. Иными словами, сначала нужно подготовить почву для её применения.

 
 
 
 Re: Доказательство неделимости числа (2^n - 1) на n
Сообщение14.12.2014, 15:02 
Ну, хотя .... Ну, хотя есть обобщение МТФ на случай составного числа - это теорема Эйлера.

 
 
 [ Сообщений: 89 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group