Является ли наше декартово пространство плоским?

[Toucan]

evgeniy в сообщении #907907 писал(а):

Поэтому нужно ввести функцию G(x)=2F(x)-1

evgeniy, в $\TeX$ надо набирать все формулы.

[warlock66613]

Someone в сообщении #908140 писал(а):

В каком "в этом"?

В самом очевидном. Назовём обобщённой областью определения обобщённой функции объединение её носителя и множества точек, в которых она равна нулю. Будем говорить, что обобщенная функция определена и имеет значение в некоторой точке "в этом смысле", если эта точка принадлежит обобщённой области определения, в противном случае будем говорить, что обобщённая функция не определена в этой точке "в этом смысле".

[evgeniy]

Тут необходимо сказать, что моделируя функцию $(1+g|z|/c^2)^2 $с помощью полинома в переходном слое, мы не добьемся непрерывности на границе переходного слоя равенства справа и слева производных от тензора кривизны. Третья производная от полинома равна $24a_4h \ne 0$. Т.е. сохранится разрыв производных от тензора кривизны.
Но с разрывом производных и функций можно смириться, если бы удовлетворялись условия инвариантности тензора кривизны. Кроме того, можно смириться с тем, что формально продифференцированная функция является дельта функцией. Вопрос в том, является ли она инвариантной относительно линейного преобразования, т.е. сохраняется ли тензорный характер тензора кривизны с дельта функцией. Формул преобразования дельта функции при линейном преобразовании я не знаю. У меня только качественные соображения, хотя такие формулы существуют, ведь записывают волновое уравнение, где справа стоит дельта функция, и уравнение инвариантно относительно преобразования Лоренца в вакууме.

[Oleg Zubelevich]

warlock66613 в сообщении #908268 писал(а):

Назовём обобщённой областью определения обобщённой функции объединение её носителя и множества точек,

что-то чуднОе написано. обобщенная функция это линейный функционал на векторном пространстве

-- Вт сен 16, 2014 10:39:47 --

есть понятие "носитель обобщенной функции", только не надо так уж буквально думать, что обобщенная функция является функцией точек носителя

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #908357 писал(а):

обобщенная функция это линейный функционал на векторном пространстве

Давайте ограничимся векторным пространством хороших функций на $\mathbb{R}^n$.

-- 16.09.2014, 11:41 --

Oleg Zubelevich в сообщении #908357 писал(а):

только не надо так уж буквально думать, что обобщенная функция является функцией точек носителя

Нет конечно. Она является обобщённой функцией точек носителя.

[Oleg Zubelevich]

warlock66613 в сообщении #908359 писал(а):

Она является обобщённой функцией точек носителя.

это то есть как?

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #908360 писал(а):

это то есть как?

Ну вот так. Линейным функционалом на пространстве основных функций, являющихся функциями точек носителя. Но ведь $\delta(1)=0$, не правда ли?

[Oleg Zubelevich]

Пора ознакомиться с определением.

1) Обобщенная функция $f\in\mathcal{D}'(\mathbb{R}^m)$ обращается в 0 в открытой области $M\subseteq \mathbb{R}^m$ по определению тогда и только тогда когда $\mathrm{supp}\,\psi\subset M\Longrightarrow (f,\psi)=0$.
2) Дополнение до объединения всех областей, в которых $f$ обращается в 0, называется носителем $f$.

-- Вт сен 16, 2014 10:53:18 --

warlock66613 в сообщении #908363 писал(а):

о ведь $\delta(1)=0$

кстати $1\notin\mathcal{D}(\mathbb{R}^m)$

[warlock66613]

Ну всё правильно. $\delta(x)$ обращается в ноль на $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ по этому определению.

-- 16.09.2014, 11:58 --

Oleg Zubelevich в сообщении #908364 писал(а):

$1\notin\mathcal{D}(\mathbb{R}^m)$

Я написал не $(\delta, 1)$, а $\delta(1)$
$1\in \mathbb{R}$

[Oleg Zubelevich]

$\delta$ функция, как и любая другая обобщенная функция не определена в точках $\mathbb{R}^m$

[warlock66613]

Oleg Zubelevich в сообщении #908373 писал(а):

$\delta$ функция, как и любая другая обобщенная функция не определена в точках $\mathbb{R}^m$

Определена в тех, где совпадает с обычной (где разность между ними обращается в ноль).

[Otta]

Нет.

[warlock66613]

Хотел найти цитату, но не нашёл: действительно говорят только об обращении в нуль. Но это странно: если сужение обобщённой функции является регулярной функцией и, таким образом, является обычной функцией (так же как комплексные числа с нулевой мнимой частью являются действительными), значит оно (сужение) имет значения в каждой точке. Почему нельзя говорить, что и исходная функция имеет такие же значения в этой области? Просто странно.

[Oleg Zubelevich]

Ничего странного. Рассмотрим функцию, например $f(x)=x^2$. Ей соотвествует обобщенная функция $\psi\mapsto\int f\psi dx,\quad \psi\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$. Если значения функции $f$ изменить на множестве меры нуль то обобщенная функция не изменится

[evgeniy]

Я не понимаю, какие могут быть проблемы с обобщенными функциями. Рассматриваем метрический тензор как обобщенную функцию на всем пространстве изменения аргумента. И задача переформулируется в пространстве обобщенных функций с помощью функционала. Причем эта обобщенная функция образует вектор и тензор. При этом в части пространства эта обобщенная функция совпадает с обычной функцией.